【正文】 蒙特卡羅方法簡介陳萍輻卑碩煤級酵嫡還贍瓜泅攪穢丟梭仍慮瑪坤袋英噪煉乎頸鑰畏突輕英稱巧蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法目 錄 ? 第一章 蒙特卡羅方法概述? 第二章 隨機數(shù)的產(chǎn)生? 第三章 EM算法和 MCMC方法參考書 : 茆詩松等 , 高等數(shù)理統(tǒng)計 (第 6章 ), 高等教育出版社 ,1998。，蒙特卡羅方法，上海科學技術(shù)出版社汝板逞奄汗茸籽馭欄脫旨系時鋒訂酉廖份贛酗驕殘莎互晤阮師驢辦讒將簾蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法第一章 蒙特卡羅方法概述 蒙特卡羅方法又稱隨機抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。 蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它以概率統(tǒng)計理論為基礎。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應用領(lǐng)域日趨廣泛。精笛競瘍脈忿購切迎摯貓涯榜汕賣玫音兌瓣宋卒炬翼蟲剛貝憚嘶鴻難繕恐蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法的基本思想 理論基礎：大數(shù)定律；中心極限定理； F(X)~U(0,1)?；舅枷耄?，或者是某個隨機變量的期望，或與概率、數(shù)學期望有關(guān)的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或該隨機變量若干個觀察值的算術(shù)平均值，根據(jù)大數(shù)定律得到問題的解；2. 要生成分布函數(shù)為 F(x)的隨機數(shù)，可先生成 U(0,1)隨機數(shù) F，則可得到隨機數(shù) X=F1(F) 。傈俠處錨廖戒酞拇熙扶壹蟲夫焊話言眷剪拌券纏無吸前菇捂雇態(tài)應蹈蟹鴉蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法例（利用 MC進行歐式期權(quán)定價）設股票價格 St服從風險中性測度下的幾何 Brown運動：其離散化形式為根據(jù)金融工程理論，設現(xiàn)在股票價格為 S0， T時刻到期（單位天），敲定價為 K的歐式看漲期權(quán)的價格為MC方案：按照（ 1）遞推產(chǎn)生 n條風險中性測度下的軌道，提取出 ST (n)；（ 2）伸錦羨服氦癢派值嘩褒廓減吵做饒筋賜包舌扣磋麓呻峭櫥咒桂矣盟兇啥曠蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法2. 蒙特卡羅方法的誤差 根據(jù)中心極限定理如果隨機變量序列 X1， X2， … ，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差 σ2 ，即則當 N充分大時，有如下的近似式它表明，誤差收斂速度的階為 以概率 1α成立。刷效俐勤膛逸瑟杭紉意儡槍韌帽異罪恐內(nèi)盅博鉸梆侄云芬知距氓勒蠻那析蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法通常，蒙特卡羅方法的誤差 ε定義為關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差 σ是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所求量的同時，可計算出 。 傀駭沁極瑪睛社幻屁翱陽你程非鮑趨仟曼誅蜒葛勺既類華臼郎殘略轉(zhuǎn)閩猜蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法減小方差的各種技巧 顯然，當給定置信度 α后，誤差 ε由 σ和 N決定。要減小 ε，或者是增大 N，或者是減小方差 σ2。在 σ固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù) N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大 N不是一個有效的辦法。降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。在固定時間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機的時間）兩者來衡量。這就是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為 其中 c是觀察一個子樣的平均費用。甘掠瘓梨合逮葫哭毖碟銅陌冰娜憶苯蝦掘拄鈞塑扶姬閡犢闡維顴戰(zhàn)寐旋佑蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法蒙特卡羅方法的特點? 優(yōu)點? 能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。? 受幾何條件限制小。? 收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。? 誤差容易確定。? 程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。 ? 缺點? 收斂速度慢。? 誤差具有概率性。螞庚埔睡蛋韓召邀它河獅胚式者竣躲無卵夜周撒洶蟻悼掠暑土幽涸膠扦維蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法第二章 逆變換法設隨機變量 X的分布函數(shù)為 F(x),定義定理 設隨機變量 U服從 U(0,1)分布，則的分布函數(shù)為 F(x).由定理 ,要生成分布函數(shù)為 F(x)的隨機數(shù)，可先生成U(0,1)隨機數(shù) U，則可得到隨機數(shù) X=F1(U) 霸炯道慈佰早瑚席汾格糾著熄咕蔗必滇染碉番練歇鐮戳筒滁氧線汽魔疇美蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法 合成法如果 X的密度函數(shù) p(x)難于抽樣 ,而 X關(guān)于 Y的條件密度函數(shù) p(x|y)以及 Y的密度函數(shù) g(y)均易于抽樣，則 X 的隨機數(shù)可如下產(chǎn)生：Step1 由 Y的分布 g(y)抽取 y。Step2 由 X關(guān)于 Y的條件密度函數(shù) p(x|y)抽取 x.例 設 X的密度函數(shù)為由合成法， X的隨機數(shù)可如下抽?。?）取 u~U(0,1)。 2)取 ,確定 i，使3) 由 pi(x)抽取 x.強茸嘉襖倆蓮朋州拄歧遷畏贈捅極避屯奴龐憊剁沛邏碘最闖圭托坡誓宛翱蒙托卡羅方法蒙托卡羅方法 篩選抽樣 當 p(x)難以直接抽樣時，如果可以將 p(x) 表示成p(x)=c?h(x)g(x),其中 h(.)是一密度函數(shù)且易于抽樣，而 0g(x)?1,c?1是常數(shù)，則 X~p(x)的抽樣可如下進行1）由 U(0,1)抽取 u，由 h(y)抽取 y；2）如果 u?g(y),則 x=y停止；3）如果 ug(y),回到 1）上述方法就是篩選抽樣法，它是一種非常重要的抽樣方法，可解決許多難以直接抽樣的分布的抽樣問題。察睛津慈醫(yī)丘牛胃