【正文】 第一章 數(shù)字濾波器概述數(shù)字濾波器是指用有限精度算法實現(xiàn)的，完成信號濾波處理的離散時間線性非時變系統(tǒng)，其輸入是一組由模擬信號取樣和量化得到的數(shù)字量，其輸出是經過變換的另一組數(shù)子量。數(shù)字濾波器具有高穩(wěn)定性、高精度、靈活性大等突出特點。這章主要講述了數(shù)字濾波器的基本概念、及數(shù)學建模，以便在后續(xù)章節(jié)中實現(xiàn)濾波算法做好準備[1]。濾波器是一種能使有用頻率信號通過而同時抑制無用頻率信號的電子裝置，或者說是可以人為調整參數(shù)來滿足給定要求的硬件或軟件系統(tǒng)[1]。 濾波器也就是一個線性移不變離散系統(tǒng)，其基本輸入輸出關系為： (11)其中h(n)為系統(tǒng)的單位沖激響應。在Z域上，有： (12)分析式（）可知，只要分母多項式ai（i=1,2,…,n）中有一個不為零，濾波器的的內部就存在反饋環(huán)。這種內部有反饋環(huán)的濾波器稱為遞歸型濾波器。相反，所有系數(shù)ai（i=1,2,…,n）都為零的濾波器稱為非遞歸型濾波器由于非遞歸型濾波器的內部沒有反饋環(huán)，所以這種濾波器總是穩(wěn)定的。從濾波器的單位沖激響應來看，濾波器可以分為IIR濾波器和FIR濾波器。由于IIR濾波器的傳遞函數(shù)存在0之外的極點，所以單位沖激響應是無限持續(xù)的。因而IIR濾波器與遞歸型濾波器是一致的。而FIR濾波器的傳遞函數(shù)不存在0之外的極點，所以，本質上FIR濾波器與非遞歸型濾波器是一致的。但是，如果穩(wěn)定的遞歸型濾波器與非遞歸型濾波器級聯(lián)后，其極點與零點相互抵消，使濾波器在0之外不存在極點，這種濾波器也是FIR濾波器[2]。這種情況下，由于濾波器內部存在反饋環(huán)，因而這種濾波器就成為遞歸型濾波器。頻率采樣濾波器就是這種結構的濾波器。具有頻率選擇功能的數(shù)字濾波器按功能分類有低通濾波器（LPF）、高通濾波器（HPF）、帶通濾波器（BPF）、帶阻濾波器[3]。另外，在全頻帶幅頻特性固定的濾波器稱為全通濾波器，可用于改善濾波器的相頻特性。 數(shù)字濾波器的頻率特性設采樣周期為T，令z=jwT，從z變換理論即可得到H（z）的頻率特性，可表示為： (13)圖11 理想幅頻特性 H（ejwT）其中，| H（ejwT）|表示數(shù)字濾波器的幅頻特性；∠H（ejwT）、Ф(wT)表示相頻特性[3]。另外，H（ejwT）是數(shù)字濾波器的頻率傳遞函數(shù)，它表示決定數(shù)字濾波器的幅頻特性與相頻特性的頻率特性。各種數(shù)字濾波器的理想幅頻特性示于圖11。 相頻特性設計數(shù)字濾波器時，不僅要考慮它的幅頻特性，相頻特性也是需要考慮的重要問題。特別是在線性相位濾波器中，相位的延遲不會造成波形失真，所以在波形要求很高時，濾波器具有線性相位是非常重要的[4]。我們知道，一般情況下要減小（增大）通帶與阻帶的波紋，會造成過渡帶的截止特性變差（變好）。根據(jù)濾波器的使用目的，其重點是不一樣的，在濾波器的階次確定后，合理的折中方案是必要的。但是當幅頻特性要求很高，不能得到滿意結果時，不僅要采用更高階次FIR濾波器，還必須考慮采用IIR濾波器。 數(shù)字濾波器的數(shù)學建模任何線性時不變集總參數(shù)離散系統(tǒng)都可用下列數(shù)學形式之一來表述其輸入輸出關系，在時域中，濾波器的功能可以用差分方程()或卷積公式()來描述： (14) (15)在變換域中可用系統(tǒng)傳遞函數(shù)（）來表示： (16)這三種方法是等價的，從任何一個都能推導出其他兩個[5]。即使用同一類表示方法。也存在著許多等價的算法結構。不同的算法會影響系統(tǒng)的某些實際性能。濾波器的工程實現(xiàn)要用計算機的硬件或軟件幫助完成，這需要考慮許多的問題：（1）計算的效率，即完成整個濾波所需要的乘法和加法次數(shù)；（2）需要的存儲量；（3）濾波器系數(shù)的量化影響；（4）運算中的舍入和截斷誤差、飽和和溢出。不同的濾波器結構可以實現(xiàn)同樣的傳遞函數(shù)，但不同的算法在滿足上述的要求方面是有差別的，有的差別還很大，改變計算結構對提高計算效率和節(jié)省存儲量能起很大的作用。本章主要討論了數(shù)字濾波器的一些基本概念。數(shù)字濾波器按單位沖激響應可以分為FIR和IIR濾波器，按頻率選擇功能的數(shù)字濾波器按功能分類有低通濾波器（LPF）、高通濾波器（HPF）、帶通濾波器（BPF）、帶阻濾波器。數(shù)字濾波的作用是濾除信號中某一部分頻率分量。信號經過濾波處理，就相當于信號頻譜與濾波器的頻率相應相乘。從時域來看，就好似輸入信號與濾波器的沖激相應作卷積和。數(shù)字濾波器具有幅度特性和相位特性。第二章 數(shù)字濾波器的設計準則及基本步驟上一章主要討論的是數(shù)字濾波器的數(shù)學表示及一些特性和分類的問題，并沒有解決如何去設計一個數(shù)字濾波器。眾所周知，計算機或DSP芯片處理的是數(shù)字信號，那么對于一個數(shù)字濾波器，要知道它設計準則。在這章主要討論數(shù)字濾波器的設計準則和基本步驟。 數(shù)字濾波器的設計準則濾波器設計誤差是濾波器的期望響應與實際響應之間的差別。在FIR濾波器設計中通常采用3種準則[6]。（1）最小平方（LS）近似，它是期望濾波器與設計濾波器頻率響應之間平方誤差的平均值。（2）切比雪夫（Chebjyshe）近似，它是頻率響應指定區(qū)域內的最大誤差。（3）巴特沃思（Butterworth）近似，它是基于泰勒級數(shù)近似的期望響應近似。大多數(shù)的有源濾波器設計算法都是以這3種近似法的一種和Parks— McCllan(最優(yōu))算法。頻率采用快速，簡單，但其對整體頻率響應的控制最弱。傅立葉設計的頻率響應中存在不合乎要求的震蕩或過沖，可以使用窗口函數(shù)控制這些效應。加窗方法的重要優(yōu)點在于其簡單性，其主要缺點是缺少對通帶和阻帶紋波控制的靈活性。ParksMcCllan算法生成一個線性相位FIR濾波器，并使切比雪夫誤差最小，但是如果不利用計算軟件，其設計非常慢[6]。 指標在設計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標。在很多實際應用中，數(shù)字濾波器常常被用來實現(xiàn)選頻操作。因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應。幅度指標主要以兩種方式給出。第一種是絕對指標。它提供對幅度響應函數(shù)的要求，一般應用于FIR濾波器的設計。第二種指標是相對指標。它以分貝值的形式給出要求。在工程實際中，這種指標最受歡迎。對于相位響應指標形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中有線性相位。運用線性相位響應指標進行濾波器設計具有如下優(yōu)點[7]：（1）只包含實數(shù)算法，不涉及復數(shù)運算；（2）不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；（3）長度為N的濾波器（階數(shù)為N1），計算量為N/2數(shù)量級。因此，本文中濾波器的設計就以線性相位FIR濾波器的設計為例。 逼近確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設計方法，設計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。 性能分析和計算機仿真　上兩步的結果是得到以差分方程或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應描述的濾波器。根據(jù)這個描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗證設計結果是否滿足指標要求；或者利用計算機仿真實現(xiàn)設計的濾波器，再分析濾波結果來判斷。一些FIR濾波器的設計方法可能比較簡單，如