【正文】 長治學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)）長 治 學(xué) 院2013屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)學(xué) 號： 09407232 姓 名： 楊 婕 指導(dǎo)教師： 上官晉太 專 業(yè)： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 系 別： 計(jì)算機(jī)系 完成時(shí)間：2013年5月數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)專業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 姓名：楊 婕 學(xué)號：09407232指導(dǎo)教師：上官晉太摘 要：現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng)常混有各種復(fù)雜成分，所以很多信號分析都是用濾波器進(jìn)行，而數(shù)字濾波器是通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，具有處理精度高、穩(wěn)定、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應(yīng)用很廣。Matlab軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化及程序設(shè)計(jì)有機(jī)融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個(gè)直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號處理工具箱使各個(gè)領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究與工程應(yīng)用。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設(shè)計(jì)要求，接著利用Matlab函數(shù)語言編程來設(shè)計(jì)濾波器，重點(diǎn)設(shè)計(jì)切比雪夫I型和切比雪夫II型數(shù)字低通濾波器,并介紹最優(yōu)化設(shè)計(jì)。關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器；IIR濾波器；Matlab III目 錄1 引言 12 IIR濾波器的設(shè)計(jì) 1 IIR濾波器介紹 1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟 2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 3 設(shè)計(jì)原理 3 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn) 4 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 5 設(shè)計(jì)原理 5 73 濾波器的Matlab設(shè)計(jì) 7 Matlab概述 7 Matlab語言介紹 7 Matlab的語言特點(diǎn) 8 Matlab的功能 8 IIR數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法 10 IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法 134 結(jié)論 16參考文獻(xiàn) 18致 謝 20附錄 21數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1 引言濾波器是一種用來消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過過濾而得到純凈的交流電?？梢酝ㄟ^基本的濾波器二階通用濾波器傳遞函數(shù)，推導(dǎo)出最通用的濾波器類型：低通、帶通、高通、帯阻和橢圓型濾波器。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的關(guān)鍵部分之一，它是語音處理、圖像處理、軟件無線電等應(yīng)用中最基本的組成部分。與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器不用考慮器件的噪聲、電壓漂移、溫度漂移等問題，可以容易的實(shí)現(xiàn)不同幅度和相位頻率等特性指標(biāo)，且精度可很高，易集成等。這些決定了數(shù)字濾波器應(yīng)用越來越廣泛。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應(yīng)用很廣。Matlab軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化及程序設(shè)計(jì)有機(jī)融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個(gè)直觀、高效、便捷的利器。本論文主要研究IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設(shè)計(jì)要求，接著利用MATLAB函數(shù)語言編程來設(shè)計(jì)濾波器，重點(diǎn)設(shè)計(jì)Chebyshev I型和Chebyshev II型數(shù)字低通濾波器,并介紹最優(yōu)化設(shè)計(jì)。2 IIR濾波器的設(shè)計(jì) IIR濾波器介紹IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 （21）假設(shè)M≤N，當(dāng)M＞N時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(MN)的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)ak和bk，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟。有許多簡單而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)公式和大量的圖表可利用，把這些成熟的技術(shù)繼承下來，用以解決數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題十分方便。另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程是：（1）確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。（2）將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（3）按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。（4）用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下：數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 模擬濾波器 模擬濾波器設(shè)計(jì)方法變換變換圖1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖在利用模擬濾波器的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)有兩種常用的方法：從時(shí)域的角度出發(fā)進(jìn)行映射，稱為脈沖響應(yīng)不變法；從頻域角度出發(fā)進(jìn)行映射，稱為雙線性變換法。 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 設(shè)計(jì)原理脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使得的數(shù)字濾波器的時(shí)域響應(yīng)與模擬濾波器的一致。使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，一個(gè)線性相位的模擬濾波器通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT) 式,T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 (22)則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。圖2 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系由（22）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 (23) 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 (24)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ， (25)但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖3脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 設(shè)計(jì)原理脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=esT將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖4 所示。圖4雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) （26） 式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Ω1由π/T經(jīng)過0變化到π/T時(shí)，Ω由∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個(gè)jΩ軸。將式（26）寫成 （27）將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得 （28）再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面 （29）從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： （210） （211）式（210）與式（211）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（26）與式（210）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ejω，可得 （212）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=σ+jΩ代入式（212），得 （213）因此 （214）由此看出，當(dāng)σ0時(shí)，|z|1；當(dāng)σ0時(shí)，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系