【正文】 基于MCFT理論的割線剛度法介紹F. J. Vecchio于1990年在ACI發(fā)表的論文中采用了基于MCFT理論的割線剛度法來進(jìn)行鋼筋混凝土的有限元分析。通過比較割線剛度法與基于切線剛度的NewtonRaphson法，可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：1. 在結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)入到下降段后，對于切線剛度法，剛度會出現(xiàn)負(fù)值，從而給計(jì)算處理帶來難度。而割線剛度法則沒有這種負(fù)剛度問題，但是割線剛度法會在卸載曲線穿越坐標(biāo)軸時出現(xiàn)數(shù)值問題，這是由于此時割線剛度極小造成的。2. 以往采用切線剛度法的程序，在更新應(yīng)變時，對于一個單元采用了4個高斯積分點(diǎn)，每次迭代得到了一個新的結(jié)構(gòu)位移，就需要在4個積分點(diǎn)上分別求出它們的應(yīng)變，再以此計(jì)算出4個新的割線剛度，用以判斷收斂與否。而F. J. Vecchio采用的割線剛度法只涉及了1個積分點(diǎn)，即中心積分點(diǎn)。根據(jù)附表1可知，單元應(yīng)變和位移的關(guān)系為：其中：令，則可以得到割線剛度法中心積分點(diǎn)的應(yīng)變計(jì)算式為： 每次循環(huán)迭代出的新位移，僅需要換算成中心積分點(diǎn)上的應(yīng)變，通過一次計(jì)算便可以得出割線剛度用于收斂判斷。相比于切線剛度法，割線剛度法簡化了計(jì)算過程。3. 切線剛度法的過程，需要通過外荷載節(jié)點(diǎn)力和結(jié)構(gòu)恢復(fù)力求解出一個殘余力，再以此計(jì)算出增量位移來判斷是否滿足收斂條件，若不收斂，便更新結(jié)構(gòu)位移并重新計(jì)算結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣。對于割線剛度法，并不需要求解殘余力，而是直接利用外荷載節(jié)點(diǎn)力和結(jié)構(gòu)割線剛度來求解出一個全量位移，之后通過計(jì)算出的應(yīng)變來重新計(jì)算結(jié)構(gòu)的割線剛度矩陣。二者相比起來，割線剛度法不需要啟用一個新的數(shù)組來儲存殘余力值，降低了對程序的存儲空間要求并提高了程序的運(yùn)算速度。從上面三點(diǎn)可以看出，切線剛度法和割線剛度法各有特點(diǎn)和不足，在某些方面，割線剛度法還體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢：1. 割線剛度法相比于切線剛度法的收斂準(zhǔn)則更為簡單。2. 割線剛度法相比于切線剛度法的有限元模型更為簡單。3. 割線剛度法的穩(wěn)定性較好。所以對割線剛度法進(jìn)行研究佐證是十分有必要的。F. J. Vecchio在其論文中所述的割線剛度法的具體過程如下：第1步：輸入結(jié)構(gòu)和材料的屬性數(shù)據(jù)第2步：計(jì)算外荷載節(jié)點(diǎn)力第3步：計(jì)算材料的剛度矩陣：1) 確定初始應(yīng)變：，； 2) 計(jì)算主方向應(yīng)變，，以及主拉應(yīng)變角；3) 根據(jù)混凝土的本構(gòu)關(guān)系，確定混凝土主拉和主壓應(yīng)力，4) 根據(jù)鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，確定鋼筋的主拉和主壓應(yīng)力，；5) 計(jì)算混凝土和鋼筋的割線剛度元素值： (31) 第4步：計(jì)算混凝土和鋼筋的材料割線剛度矩陣1) 計(jì)算混凝土主方向上的材料割線剛度矩陣： (32)2) 計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣3) 計(jì)算整體坐標(biāo)系（XY坐標(biāo)）下的混凝土割線剛度矩陣 (33)4) 計(jì)算整體坐標(biāo)系(XY坐標(biāo)系)下的鋼筋割線剛度矩陣： (34)第5步：計(jì)算組合材料剛度： (35)第6步：計(jì)算單元剛度矩陣： (36)第7步：計(jì)算單元預(yù)應(yīng)變產(chǎn)生的位移，第8步：計(jì)算單元預(yù)應(yīng)變產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力，第9步：計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)力：第10步：計(jì)算結(jié)構(gòu)總剛矩陣： (37) 圖 單元尺寸第11步：計(jì)算結(jié)構(gòu)總剛矩陣的逆矩陣：第12步：計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移 Element dimension (38) 第13步：計(jì)算單元應(yīng)變（取單元形心處的應(yīng)變?yōu)槠骄鶓?yīng)變）： (39) (310) (311)注：，為相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的水平位移和豎向位移。第14步：檢查單元應(yīng)力：第15步：重新計(jì)算單元割線剛度值：1) 根據(jù)求解出的位移，重新確定主方向上的應(yīng)變值，，；3) 根據(jù)混凝土本構(gòu)模型，計(jì)算新的混凝土應(yīng)力，；4) 根據(jù)鋼筋本構(gòu)模型，計(jì)算新的鋼筋應(yīng)力，；5) 重新計(jì)算鋼筋和混凝土的割線剛度元素：，,。第16步 收斂判斷詳細(xì)的算法流程圖如下所示： 修正斜壓場理論（MCFT）介紹修正斜壓場理論（The Modified CompressionField Theory）是一種用于預(yù)測鋼筋混凝土膜構(gòu)件在剪力和正應(yīng)力作用下的變形性能的分析模型，它可以確定混凝土和鋼筋的平均應(yīng)力應(yīng)變和局部的應(yīng)力應(yīng)變，以及裂縫的寬度和方向，從而確定構(gòu)件的破壞模式。MCFT是由研究鋼筋混凝土受扭和受剪的斜壓場理論（CompressionField Theory）發(fā)展而來。斜壓場理論忽略了開裂混凝土的拉力，而修正斜壓場理論則把裂縫間的拉應(yīng)力考慮了進(jìn)來。MCFT把開裂混凝土模擬為一種正交各向異性的材料，是一種完全的轉(zhuǎn)角裂縫模型（Smeared Rotating Crack Model）。與固體的不連續(xù)性相悖，開裂混凝土被視作一種裂縫均勻分布的固體連續(xù)體。裂縫可以自由轉(zhuǎn)動，并保持和混凝土的主壓應(yīng)力場方向同向。修正斜壓場理論包含了三種關(guān)系：用平均應(yīng)變表示的混凝土和鋼筋的變形協(xié)調(diào)關(guān)系；用平均應(yīng)力表示的混凝土和鋼筋的應(yīng)力平衡關(guān)系；用平均應(yīng)力和平均應(yīng)變表示的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系。開裂混凝土的本構(gòu)關(guān)系是根據(jù)多倫多大學(xué)所做的鋼筋混凝土剪切板實(shí)驗(yàn)的結(jié)果得到的，所以MCFT采用的是實(shí)驗(yàn)觀測到的真實(shí)的本構(gòu)模型。同時，由于裂縫均勻分布以及上述三種關(guān)系用平均應(yīng)力和平均應(yīng)變的概念表述，所以MCFT的一個重點(diǎn)是要考慮裂縫處的局部應(yīng)力應(yīng)變條件。 開裂鋼筋混凝土的修正壓場理論[23]Fig. Modified Compression Field Theory for cracked reinforced concrete[23]修正斜壓場理論作了以下一些假設(shè)：1. 鋼筋彌散分布于單元之中；2. 裂縫均勻分布并能自由旋轉(zhuǎn)；3. 單元中，剪應(yīng)力和正應(yīng)力均勻分布；4. 應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)一一對應(yīng)，不考慮加載歷史的影響；5. 跨越多條裂縫間距，應(yīng)力應(yīng)變可視作是平均的；6. 主應(yīng)力角和主應(yīng)變角的方向一致；7. 鋼筋和混凝土之間無粘結(jié)滑移；8. 混凝土和鋼筋有獨(dú)立的本構(gòu)關(guān)系；9. 忽略鋼筋中的剪應(yīng)力。 變形協(xié)調(diào)條件在混凝土和鋼筋構(gòu)件中，與平均應(yīng)變相關(guān)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系如圖 所示： 混凝土平均應(yīng)變[28] Average concrete strains[28]因?yàn)榧僭O(shè)鋼筋和混凝土之間沒有粘結(jié)滑移，所以對于非預(yù)應(yīng)力鋼筋而言，鋼筋和混凝土中的平均應(yīng)變是相等的。變形協(xié)調(diào)條件可以用一下公式表達(dá)：若剪應(yīng)變值為，則根據(jù)莫爾應(yīng)變圓確定的混凝土平均主拉應(yīng)變和平均主壓應(yīng)變?yōu)椋和ㄟ^莫爾應(yīng)變圓也可以確定平均主拉應(yīng)變和應(yīng)力與軸的夾角： 應(yīng)力平衡關(guān)系從構(gòu)件中取出一個自由體作為研究對象，如圖 所示：和方向的力平衡條件要求混凝土平均應(yīng)力和以及鋼筋平均應(yīng)力和的合力要與施加的正應(yīng)力和的合力相平衡。彎矩平衡條件則要求混凝土中的平均剪應(yīng)力要能完全抵抗所施加的剪應(yīng)力（假設(shè)鋼筋沒有銷栓作用）。平均應(yīng)力的平衡關(guān)系可以表述如下：和分別是和方向的配筋率。因?yàn)殚_裂混凝土是主應(yīng)力方向上的正交各向異性材料，莫爾應(yīng)力圓可以用于建立混凝土平均應(yīng)力和與混凝土平均主拉應(yīng)力之間的關(guān)系式： 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)模型需要把變形協(xié)調(diào)條件中的應(yīng)變和平衡條件中的應(yīng)力聯(lián)系起來。1986年，多倫多大學(xué)的Vecchio和Collins做了30個板實(shí)驗(yàn)，這些板的尺寸都是，并承受平面內(nèi)的應(yīng)力。通過對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，他們得出了開裂混凝土受拉和受壓的本構(gòu)模型。對于受壓混凝土，本構(gòu)關(guān)系是主壓應(yīng)力和主壓應(yīng)變的函數(shù)。上述板的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在主拉應(yīng)變同時存在的情況下，抗壓強(qiáng)度和剛度會隨著的增大而減小。這一現(xiàn)象被稱為受壓軟化，具體表現(xiàn)在混凝土單軸受壓時的應(yīng)力應(yīng)變反應(yīng)的弱化。建議的考慮受壓軟化的公式如下：其中，是單軸受壓混凝土的Hognestad拋物線函數(shù)，常用于一般強(qiáng)度的混凝土。是對應(yīng)于峰值抗壓應(yīng)力的混凝土圓柱體應(yīng)變（取負(fù)值），由混凝土圓柱體單軸受壓實(shí)驗(yàn)確定。反映的是主拉應(yīng)變的軟化效應(yīng)。對于受拉混凝土，本構(gòu)關(guān)系是主拉應(yīng)力和主拉應(yīng)變的函數(shù)。首先，必須要確定開裂強(qiáng)度以及相應(yīng)的開裂應(yīng)變。如果信息不足，可以作如下估計(jì)： 其中是混凝土的初始剛度，計(jì)算式為： 在開裂以前，混凝土在受拉狀態(tài)下是線彈性的： 開裂以后，由于混凝土和鋼筋的粘結(jié)作用，拉應(yīng)力將繼續(xù)存在于鋼筋混凝土裂縫間的混凝土中。為了模擬這種受拉硬化現(xiàn)象，混凝土的拉應(yīng)力要隨著混凝土主拉應(yīng)變的增大從抗拉強(qiáng)度逐步減小。MCFT建議的關(guān)系公式如下：對于處在受拉和受壓狀態(tài)的鋼筋而言，MCFT采用了平均應(yīng)力和平均應(yīng)變的兩折線模型：一個線彈性的上升段和一個屈服平臺。公式如下：其中，是鋼筋的彈性模量，和分別是鋼筋在和方向的屈服應(yīng)力。 考慮局部平衡條件有了相容的應(yīng)變條件，根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可以確定混凝土和鋼筋中的平均應(yīng)力，以及它們所平衡的施加剪應(yīng)力和正應(yīng)力。然而，如果忽略了構(gòu)件性能由裂縫處的局部鋼筋屈服或沿裂縫的剪切滑移破壞所控制的可能性，那么分析結(jié)果將會是不保守的。為了把這些可能性考慮進(jìn)來，MCFT限制了裂縫處的局部應(yīng)力以及混凝土的平均拉應(yīng)力水平。鋼筋混凝土的應(yīng)力場從裂縫間的平均概念到裂縫處的局部概念是不斷變化的。圖 a所示的是裂縫間垂直于主拉應(yīng)力方向的截面上的平均應(yīng)力情況，而圖 b所示的是裂縫處截面上的局部應(yīng)力情況。在裂縫處的截面上，混凝土平均拉應(yīng)力減小到0。為了跨過裂縫傳遞平均拉應(yīng)力，裂縫處的鋼筋應(yīng)力和應(yīng)變就必須局部提高。在裂縫表面的法線方向根據(jù)力平衡條件，用平均應(yīng)力和局部應(yīng)力建立的數(shù)值等價關(guān)系式可以表述為：其中，和是裂縫處的局部鋼筋應(yīng)力，和是鋼筋和裂縫截面法線方向的夾角。通過上面的公式可以明顯看出，混凝土的平均拉應(yīng)力受到了裂縫處鋼筋屈服的限制。如果用鋼筋的屈服強(qiáng)度取代鋼筋局部應(yīng)力，那么公式兩個括號中的項(xiàng)就表示了鋼筋的富余強(qiáng)度，也就限制了后開裂混凝土的受拉應(yīng)力不超過：如圖 a所示，主平面上沒有剪應(yīng)力。但如果鋼筋與裂縫斜交，那么就會在裂縫表面產(chǎn)生局部剪應(yīng)力。在裂縫切線方向上根據(jù)力的平衡關(guān)系，可以得到如下公式：不考慮上述方程，局部剪應(yīng)力可以一直增大，直到發(fā)生剪切滑移破壞。剪應(yīng)力的大小會受到骨料咬合作用的限制，這種骨料咬合作用隨著裂縫寬度的增大和最大骨料尺寸的減小而減小。基于Walraven對骨料咬合作用的分析，MCFT對裂縫處剪應(yīng)力大小的限制為：平均裂縫寬度是混凝土主拉應(yīng)變和平均裂縫間距的函數(shù)：和方向的平均裂縫間距和可以根據(jù)粘結(jié)屬性和鋼筋分布情況求出。如果超過了允許的混凝土最大拉應(yīng)力或者裂縫處的局部剪應(yīng)力，就需要修正應(yīng)變狀態(tài)以求得到較小的混凝土平均拉應(yīng)力值。 混凝土滯回本構(gòu)模型圖 a所示為混凝土受壓的滯回模型，其骨架曲線表示的是結(jié)構(gòu)在單調(diào)加載時的反應(yīng)。根據(jù)MCFT可知，混凝土單調(diào)本構(gòu)曲線是以Hognestad拋物線為基礎(chǔ)，通過考慮受壓軟化效應(yīng)，對其進(jìn)行修正得到的。設(shè)混凝土塑性應(yīng)變?yōu)?，?dāng)再加載時，混凝土的壓應(yīng)力可以通過下式計(jì)算：其中，是之前加載得到的最大壓應(yīng)變，是與相應(yīng)的應(yīng)力，是通過骨架曲線計(jì)算得到的與相應(yīng)的應(yīng)力。如果結(jié)構(gòu)的反應(yīng)落在骨架曲線上，如，那么就將和更新為和。在每一個荷載步，即時的塑性應(yīng)變用下式計(jì)算：其中，是與骨架曲線上峰值應(yīng)力相對應(yīng)的應(yīng)變，如果即時塑性應(yīng)變大于塑性補(bǔ)償應(yīng)變，那么就將后者更新。任意時刻的卸載產(chǎn)生的應(yīng)力用如下關(guān)系計(jì)算：其中卸載模量定義為：這一模型隱含的假設(shè)是，當(dāng)混凝土由拉變?yōu)閴簳r，壓應(yīng)力保持為0，直到裂縫完全閉合，即直到。實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)證明這個假設(shè)是不正確的。由于之后的應(yīng)變總是會大于0，且受到裂縫剪切滑移的影響，此時壓應(yīng)力不會等于0?；炷潦芾臏乇緲?gòu)如圖 b所示。骨架曲線由兩部分組成：開裂前的曲線和開裂后的受拉硬化曲線。設(shè)塑性應(yīng)變?yōu)椋偌虞d時的混凝土拉應(yīng)力用下式計(jì)算：其中，是之前加載得到的最大拉應(yīng)變，是與相對應(yīng)的應(yīng)力，是通過骨架曲線計(jì)算得到的與相對應(yīng)的應(yīng)力。對于第一個受拉加卸載，塑性補(bǔ)償應(yīng)變?yōu)槌?shù)，其值等于從受壓區(qū)穿軸確定的塑性應(yīng)變大小。接下來用于骨架曲線計(jì)算的是凈塑性應(yīng)變。在之后的循環(huán)中，塑性補(bǔ)償應(yīng)變用下式計(jì)算：由于目前缺乏合適的模型，從上式可以看出，沒有正值的補(bǔ)償應(yīng)變。這就使得在加載和卸載的過程中，受拉滯回曲線都會經(jīng)過原點(diǎn)。當(dāng)混凝土反應(yīng)落在骨架曲線上時，最大拉應(yīng)變和相應(yīng)的應(yīng)力都分別更新到和。卸載時的應(yīng)力可以通過下式計(jì)算：其中，卸載模量定義為： 鋼筋的滯回本構(gòu)模型本文的鋼筋的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是采用的經(jīng)Filippou等人改進(jìn)后考慮了各向同性應(yīng)變強(qiáng)化的MenegottoPinto非線性模型。MenegottoPinto模型的表達(dá)式為：