【正文】 有限元思路框圖 解綜合方程 [K]{⊿ }= {P} 求結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移 {⊿ } 計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力 系統(tǒng)分析 (把單元?jiǎng)偠染仃嚰铣山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣 [K] 形成等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載 {P} ) 離散（剖分）結(jié)構(gòu) 為若干單元 單元分析 (建立單元?jiǎng)偠染仃?[k]e 形成單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 ) （ 1） 剖分結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)對(duì)單元、節(jié)點(diǎn)分別用連續(xù)正整數(shù)編號(hào)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ z x y ux uy uz ② （ 2） 從結(jié)構(gòu)中取出單元，進(jìn)行 單元分析 ⑦ 5 2 6 2 3 ② 桿件單元 板單元 ? ????????????????????mmjjiivuvuvu? ? ????????????????????????ymxmyjxjyixiFFFFFFF? ????????????????????????jjjjiiwvuwvu? ? ????????????????????????zjyjxjziyixiFFFFFFF? ? ? ?? ??kF ?第二章 單元分析 —— 平面問題常應(yīng)變單元 在用矩陣描述單元各種力學(xué)量時(shí)，不同性質(zhì)單元的同一力學(xué)量可采用相同的矩陣符號(hào)，不同的僅僅是矩陣體積和矩陣元素。 本章主要講單元分析的一般理論、方法。但為了便于理解，以 平面問題常應(yīng)變?nèi)切螁卧?為對(duì)象進(jìn)行說明、演引。必須指出：盡管說明、演引中具有明顯的針對(duì)性（平面問題三角形單元），但原理、方法和主要矩陣公式都具有普遍性。 單 元 分 析 的 內(nèi) 容 結(jié)點(diǎn)位移 (1) 單元內(nèi)部各點(diǎn)位移 單元應(yīng)變 單元應(yīng)力 (2) (3) 結(jié)點(diǎn)力 (4) 位移協(xié)調(diào)模式 幾何方程 物理方程 平衡方程邊界條件 單元分析 單元?jiǎng)偠染仃? （ 21） Tsysxsysxs qqqqq ][}{ ????????單元內(nèi)任意點(diǎn)的 體積力 列陣 ?qV? （ 22） TVyVxVyVxV qqqqq ][}{ ????????單元表面或邊界上任意點(diǎn)的 表面力 列陣 ?qs? i j m x y i j m x y qV qs 基本力學(xué)量矩陣 圖 21 i j m x y u v 單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列陣 ?f? Tuf ][}{ ?? （ 23） 單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變列陣 ? ?? Txyyx ][}{ ???? ?（ 24） i j m x y ??? 單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力列陣 ??? Txyyx ][}{ ???? ? （ 25） 幾何方程列陣 Txyuyxu???????????????? ??? }{ （ 26） xvyuyvxuxyyx ???????????? ??? ,將上式代入式（ 24） i j m x y ??? Txyyx ][}{ ???? ? （ 24） 物理方程矩陣式 ???????????????????????????????????xyyxxyyxE?????????21001112稱對(duì)（ 27） 式中 E、 ?—— 彈性模量、泊松比。 上式可簡(jiǎn)寫為 }]{[}{ ?? D? （ 28） 對(duì)于彈性力學(xué)的 平面應(yīng)力問題 ， 物理方程的矩陣形式可表示為： ???????????????2100111][2???稱對(duì)ED （ 29） 矩陣 [D]稱為彈性矩陣 。 式 （ 29） 給出的彈性矩陣 [D]的矩陣元素是按照平面應(yīng)力問題的物理方程得出的； 對(duì)于 平面應(yīng)變問題 ， 需將式 （ 29） 中的 E 換為 ， ? 換為 。 21 ??E???1}]{[}{ ?? D? （ 28） 各種類型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可用式（ 28）描述。但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài) (應(yīng)力分量、應(yīng)變分量 )有區(qū)別， 彈性矩陣 [D]的體積和元素是不同的。 其中 : 單 元 分 析 的 內(nèi) 容 結(jié)點(diǎn)位移 (1) 單元內(nèi)部各點(diǎn)位移 單元應(yīng)變 單元應(yīng)力 (2) (3) 結(jié)點(diǎn)力 (4) 位移協(xié)調(diào)模式 幾何方程 物理方程 平衡方程邊界條件 單元分析 單元?jiǎng)偠染仃? ？ 位移函數(shù)和形函數(shù) 位移函數(shù)概念 “ 位移函數(shù)”也稱 “位移模式”，是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是坐標(biāo)的函數(shù) 。有限元法采用能量原理進(jìn)行單元分析，因而必須事先給出（設(shè)定）位移函數(shù)。一般而論， 位移函數(shù)選取會(huì)影響甚至嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度 。彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情。 有限單元法中當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)，把位移函數(shù)設(shè)定為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式也可得到相當(dāng)精確的結(jié)果 。這正是有限單元法具有的重要優(yōu)勢(shì)之一。 不同類型結(jié)構(gòu)會(huì)有不同的位移函數(shù)。這里，仍以平面問題三角形單元（圖 22）為例，說明設(shè)定位移函數(shù)的有關(guān)問題。 圖 22是一個(gè)三節(jié)點(diǎn)三角形單元 ， 其節(jié)點(diǎn) i、 j、 m按逆時(shí)針方向排列 。 每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個(gè)分量： ),(][}{ mjiu Tiii ?? ?（ 210） 圖 22 i j m ui uj um vi vj vm x y 位移函數(shù)設(shè)定舉例 一個(gè)三角形單元有 3個(gè)節(jié)點(diǎn)（以 i、 j、 m為 序），共有 6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量。其 單元位移或單元節(jié)點(diǎn)位移列陣 為： ? ?? ?? ?Tmmjjiimjiuuu ][}{ ??????? ????????????（ 211） 本問題選位移函數(shù)為： yaxaayaxaau 654321 ?????? ?（ 212） 式中 : a a … 、 a6—— 待定常數(shù)，由單元位移的 6個(gè)分量確定。 式（ 212）位移函數(shù)中， a a4代表剛體位移， a a3 、 a5 、 a6 代表單元中有常應(yīng)變，且位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 i j m ui uj um vi vj vm x y u v 2 6 3 5,x y x yuva a a axy? ? ???? ? ? ? ? ?選取位移函數(shù)應(yīng)考慮的問題 （ 1）單元 有幾個(gè)位移函數(shù) 單元中任意一點(diǎn)有幾個(gè)位移分量就有幾個(gè)位移函數(shù)。本單元中有 u和 v，與此相應(yīng)，有 2個(gè)位移函數(shù)； （ 3） 位移函數(shù)中待定常數(shù)個(gè)數(shù) 待定常數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)等于單元位移列陣中的位移分量數(shù)。以便用單元位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。本單元位移列陣中有 6個(gè)分量，為了能把 2個(gè)位移函數(shù)（ u、 v）和單元位移的 6個(gè)分量聯(lián)系起來，兩個(gè)位移函數(shù)中包含的待定常數(shù)一共應(yīng)有 6個(gè)。 （ 2） 位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù) 本單元的坐標(biāo)系為： X、 Y； （ 4） 位移函數(shù)中必須包含單元的剛體位移。 （ 5） 位移函數(shù)中必須包含單元的常應(yīng)變。 （ 6） 位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù) 。 相鄰單元間要盡量協(xié)調(diào)。 條件（ 4）、（ 5）構(gòu)成單元的 完備性準(zhǔn)則 ，條件（ 6）是單元的 協(xié)調(diào)性條件 。理論和實(shí)踐都已證明 : 完備性準(zhǔn)則是有限元解收斂于真實(shí)解的必要條件，再加上位移協(xié)調(diào)條件 (充分條件 )才構(gòu)成有限元解的充要條件。容易證明，三角形三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元滿足以上必要與充分條件。 yaxaayaxaau 654321 ?????? ?例：平面應(yīng)力矩形板被劃分為若干三角形單元。 位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。 xvyuyvxuxyyx ???????????? ??? , (a2, a6, a3+a5 ) 位移函數(shù)中包含了單元的剛體位移 : ③ ④ 2 5 4 1 3 6 ① ② 對(duì)任一單元，如③單元，取位移函數(shù)： 5 3 5 3 5 3 5 31 2 4 62 2 2 2a a a a a