【正文】 大學(xué) 數(shù)學(xué)建模 課程論文題目：眼科病床安排的數(shù)學(xué)模型學(xué)號(hào)： 姓名： 完成日期：201 .目 錄1. 問(wèn)題重述 12. 問(wèn)題分析 2 符號(hào)說(shuō)明 2 部分病人診斷、住院、手術(shù)及出院時(shí)間 33. 問(wèn)題一的解 5 各類病人的到達(dá)服從泊松分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 5 各類病人達(dá)到時(shí)間的概率密度函數(shù)和相應(yīng)的值 6 各類患者的術(shù)后觀察時(shí)間服從均勻分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 6 外傷病人住院時(shí)間服從泊松分布的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果 6 綜合指標(biāo)層次結(jié)構(gòu)圖 8 三個(gè)指標(biāo)的打分矩陣表 8 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI (Random Index)值 94. 問(wèn)題二的解答 10 模擬框圖： 11 102人的模擬入院、手術(shù)和出院時(shí)間 12 模擬后數(shù)據(jù)的示例存儲(chǔ)格式 15 隊(duì)長(zhǎng)隨時(shí)間變化趨勢(shì) 165. 問(wèn)題三的解答 17 對(duì)每天的入院人數(shù)和出院人數(shù)的統(tǒng)計(jì) 17 每天出院的人數(shù)滿足正態(tài)分布 18 第90號(hào)病人的100次實(shí)驗(yàn) 186. 問(wèn)題四的解答 20 102個(gè)門診病人模擬結(jié)果（方案一） 20 102個(gè)門診病人模擬結(jié)果（方案二） 24 102個(gè)門診病人模擬結(jié)果（方案三） 28 隊(duì)長(zhǎng)隨時(shí)間的變化趨勢(shì) 32 病人的等待時(shí)間隨時(shí)間的變化趨勢(shì) 327. 問(wèn)題五的解答 33 排隊(duì)系統(tǒng)流程圖 33 病床分配方案 358. 模型的評(píng)價(jià)、改進(jìn)及推廣 369. 參考文獻(xiàn) 3610. 附錄 37摘 要本文解決的是醫(yī)院眼科病床的安排問(wèn)題，現(xiàn)醫(yī)院安排病人入院的原則是先來(lái)先服務(wù)，這樣雖然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人隊(duì)列越來(lái)越長(zhǎng)，為解決此問(wèn)題，我們分別建立了評(píng)價(jià)模型、優(yōu)先病床安排模型、排隊(duì)論模型，利用了統(tǒng)計(jì)方法，計(jì)算機(jī)模擬方法和各種數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行計(jì)算。問(wèn)題一：首先計(jì)算出原來(lái)先來(lái)先服務(wù)的原則下手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，平均每天出院人數(shù)，病人手術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間。為了建立一個(gè)綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型，我們引入公平性指標(biāo)、病床利用率和醫(yī)院工作效率，分別量化為：平均入院等待時(shí)間、手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間和術(shù)后恢復(fù)時(shí)間，運(yùn)用層次分析法確定這三個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，進(jìn)行一致性處理得到綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)為：。A越小，說(shuō)明病床安排越合理。對(duì)于原始的病床安排方案，綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)A=。問(wèn)題二：我們采用優(yōu)先級(jí)原則動(dòng)態(tài)地對(duì)病床進(jìn)行安排。首先，統(tǒng)計(jì)初始數(shù)據(jù)，通過(guò)6SQ軟件進(jìn)行分布的卡方擬合檢驗(yàn)得：每類病人的到來(lái)均服從泊松分布、術(shù)后觀察時(shí)間服從均勻分布。然后，我們發(fā)現(xiàn)合理的調(diào)度方案必須使得病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間盡量短。因此，重新制定入院規(guī)則：外傷優(yōu)先級(jí)始終最高；其它病的優(yōu)先級(jí)隨時(shí)間的變化而變化。根據(jù)實(shí)際情況，制定優(yōu)先病床安排規(guī)則。依據(jù)每一類病人的規(guī)律，在新的優(yōu)先規(guī)則下，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬，將2008830到2008911已經(jīng)門診的病人入院情況進(jìn)行合理安排。得到在隊(duì)列穩(wěn)定時(shí)，此規(guī)則下三個(gè)指標(biāo)值為：，=，；%，%，%，而綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)A=，因此此規(guī)則優(yōu)于FCFS規(guī)則。問(wèn)題三：在問(wèn)題二的計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的基礎(chǔ)上，已經(jīng)可以求得對(duì)應(yīng)的等待隊(duì)列中病人的入院時(shí)間的模擬結(jié)果，因?yàn)榇嬖谝欢S機(jī)性，我們模擬10次，取出每次所得結(jié)果中的模擬入院時(shí)間，作為病人的一個(gè)大致入院時(shí)間。問(wèn)題四：在星期六、星期日不安排手術(shù)的情況下，仍然肯定外傷的最高優(yōu)先級(jí)，調(diào)整白內(nèi)障病人每周固定的手術(shù)日，分別設(shè)為周一和周三、周二和周四、周三和周五。運(yùn)用問(wèn)題一中指定的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)分別對(duì)這三種調(diào)整方案進(jìn)行評(píng)價(jià)比較，最終選擇將白內(nèi)障手術(shù)安排在周二和周四。 問(wèn)題五：為便于醫(yī)院的管理，可根據(jù)各類病人服從的分布按照比例給各類病人安排固定的病床數(shù)，但要先單獨(dú)分配外傷類的病床，因?yàn)獒t(yī)院要保證有足夠的床鋪滿足外傷類病人，據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果知外傷病人到達(dá)和外傷病人被服務(wù)的時(shí)間都是服從泊松分布，則先建立排隊(duì)論中的M/M/C模型求出分配給外傷病人的病床數(shù)，余下的病床按照一定的比例分配給其它類的病人。最終得到最優(yōu)方案為白內(nèi)障單眼安排9張病床，為白內(nèi)障雙眼安排19張病床，為青光眼安排14張病床，為視網(wǎng)膜疾病安排25張病床，為外傷安排12張病床可實(shí)現(xiàn)所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短。關(guān)鍵詞：綜合評(píng)價(jià)指標(biāo) 計(jì)算機(jī)模擬 層次分析法 排隊(duì)論1. 問(wèn)題重述醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù)。在本文中，我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄一中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時(shí)間里各類病人的情況。各類眼病手術(shù)的安排情況：白內(nèi)障手術(shù)：較簡(jiǎn)單，而且沒(méi)有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷手術(shù)：通常屬于急癥，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天便會(huì)安排手術(shù)。視網(wǎng)膜、青光眼手術(shù)：比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后23天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時(shí)間較長(zhǎng)。這類疾病手術(shù)時(shí)間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時(shí)可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問(wèn)題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對(duì)全體非急癥病人是按照FCFS（First e, First serve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊(duì)列卻越來(lái)越長(zhǎng)，醫(yī)院方面希望你們能通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)幫助解決該住院部的病床合理安排問(wèn)題，以提高對(duì)醫(yī)院資源的有效利用。本文需解決的問(wèn)題有：?jiǎn)栴}一：試分析確定合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，用以評(píng)價(jià)該問(wèn)題的病床安排模型的優(yōu)劣。問(wèn)題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來(lái)確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對(duì)你們的模型利用問(wèn)題一中的指標(biāo)體系作出評(píng)價(jià)。問(wèn)題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時(shí)能住院。能否根據(jù)當(dāng)時(shí)住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計(jì)情況，在病人門診時(shí)即告知其大致入住時(shí)間區(qū)間。 問(wèn)題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請(qǐng)你們重新回答問(wèn)題二，醫(yī)院的手術(shù)時(shí)間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整?問(wèn)題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間（含等待入院及住院時(shí)間）最短的病床比例分配模型。2. 問(wèn)題分析模型的假設(shè)假設(shè)1：題目所給數(shù)據(jù)是合理、正確的假設(shè)2：視網(wǎng)膜與青光眼兩類病不考慮急癥假設(shè)3：白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天假設(shè)4：醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在安排病床時(shí)不考慮手術(shù)條件的限制假設(shè)5：?jiǎn)栴}四中，假定周六和周日可安排外傷手術(shù)，但不能安排其他手術(shù) 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)符號(hào)說(shuō)明患第類病的第個(gè)病人的等待入院時(shí)間患第類病的第個(gè)病人的術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間患第類病的第個(gè)病人的住院時(shí)間平均每天出院人數(shù)手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，即從門診到第一次手術(shù)的平均時(shí)間病人的平均術(shù)前的準(zhǔn)備時(shí)間平均入院等待時(shí)間，單位為天平均手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間，單位為天 平均術(shù)后恢復(fù)時(shí)間，單位為天A綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)一致性指標(biāo)（Consistency Index),平均隨機(jī)一致性指標(biāo)(Random Index) 一致性比率n病人最大限度等待時(shí)間w病人所排位置病人的平均住院時(shí)間，單位為天患第類病的第個(gè)病人的入院時(shí)間（，表示2008年7月13日，表示2008年7月14日，依此類推……）患第類病的第個(gè)病人的手術(shù)時(shí)間（表示2008年7月13日，表示2008年7月14日，依此類推……）一段時(shí)間內(nèi)到門診看病的第類病人的人數(shù)第天第類病人的在院人數(shù)（不包括當(dāng)天新入院的人數(shù)）第天第類病人的新入院人數(shù)第天第類病人的出院人數(shù)第類病人平均每天到門診看病的人數(shù)分配給第類病人的病床數(shù)，單位為張求余符號(hào)，等價(jià)于mod=1表示患白內(nèi)障（單眼）疾病，=2表示患白內(nèi)障（雙眼）疾病，=3表示患視網(wǎng)膜疾病，=4表示患青光眼疾病，=5表示患外傷疾病此題研究的是某醫(yī)院眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。要對(duì)病床進(jìn)行合理的安排，就要有合理的安排規(guī)則，尤其是在醫(yī)院病床不夠的時(shí)候。當(dāng)前該住院部對(duì)全體非急癥病人是按照FCFS（First e, First serve）規(guī)則安排住院，這樣雖然對(duì)病人很公平，但缺乏合理性，例如根據(jù)FCFS原則，白內(nèi)障雙眼的病人可能會(huì)在星期二入院，但醫(yī)院規(guī)定“白內(nèi)障雙眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以該患者的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間就變?yōu)?天，而一般情況下，白內(nèi)障患者的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需2天；這樣的情況會(huì)延遲其它類病人的入院時(shí)間，進(jìn)而使得病人隊(duì)列越來(lái)越長(zhǎng)。在病床不夠的情況下，從醫(yī)院的角度講，醫(yī)院自然希望在多做手術(shù)的同時(shí)，減小病人占用病床的時(shí)間。為了得到合理的安排規(guī)則，首先要確定合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，用此評(píng)價(jià)按該規(guī)則建立的病床安排模型的優(yōu)劣。針對(duì)問(wèn)題一：附錄數(shù)據(jù)是在FCFS準(zhǔn)則下病人的住院安排方案，但存在不合理情況：(1) 等待的隊(duì)伍越來(lái)越長(zhǎng)；(2)有些患者的手術(shù)安排不符合醫(yī)院常規(guī)要求，如 部分病人診斷、住院、手術(shù)及出院時(shí)間類型門診時(shí)間入院時(shí)間第一次手術(shù)時(shí)間第二次手術(shù)時(shí)間出院時(shí)間白內(nèi)障（雙眼）200871720087292008842008816200888白內(nèi)障20087232008862008811/2008813由附表1可以看出白內(nèi)障患者入院時(shí)間距離第一次手術(shù)時(shí)間都是6天，而題目中已說(shuō)明白內(nèi)障病人術(shù)前準(zhǔn)備只需2天，術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間的過(guò)長(zhǎng)是這個(gè)安排方案的一個(gè)劣勢(shì)，除此之外，2008717是星期四，白內(nèi)障患者手術(shù)時(shí)間為周一、周三，該患者住院在此時(shí)住院是對(duì)病床的一種不合理的利用。因此建立一個(gè)病床安排方案是必要的，但是何種方案是最優(yōu)最合理，需要用病床安排評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)決策。從病人的角度看，病人到醫(yī)院看病分為以下幾個(gè)階段:掛號(hào)看病時(shí)間即門診時(shí)間，入院，手術(shù)前的準(zhǔn)備，手術(shù)，手術(shù)后的觀察，出院。合理的安排就是讓病人從掛號(hào)看病到出院的時(shí)間盡量的短。但根據(jù)實(shí)際情況知病人的術(shù)后觀察時(shí)間是由病情決定的，故所建立的模型只能縮短門診看病到接受手術(shù)的時(shí)間間隔即病人手術(shù)前的逗留時(shí)間，所以模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)可以是病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間。從醫(yī)院的角度看，我們可以將病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。由于病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)與醫(yī)院每天出院人數(shù)是密切相關(guān)的——在病床不夠的情況下，醫(yī)院每天出院的人數(shù)越多，能夠入院的病人就越多，病床周轉(zhuǎn)次數(shù)就越多，醫(yī)院的效益就越好。首先通過(guò)計(jì)算病人手術(shù)前的平均逗留時(shí)間，平均術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間，平均每天出院人數(shù)可以初步得出：當(dāng)前兩個(gè)指標(biāo)值越小，最后一個(gè)指標(biāo)值越大的時(shí)候，病床安排模型越好。為了更好地建立統(tǒng)一的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，我們從醫(yī)院的角度考慮，眼科病床安排模型的最終目的是盡可能縮短病人等待住院的時(shí)間、充分利用醫(yī)院的物力和人力資源等。我們考慮此模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)為公平性指標(biāo)、利用率指標(biāo)和醫(yī)院工作效率指標(biāo)。為了將這三個(gè)指標(biāo)與模型數(shù)據(jù)緊密聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)量化，分別用平均入院等待時(shí)間()、手術(shù)準(zhǔn)備時(shí)間()以及術(shù)后恢復(fù)時(shí)間（）來(lái)量化模型的綜合指標(biāo)體系。這三個(gè)部分的時(shí)間越短，那么每天出院人數(shù)自然能夠增多。基于對(duì)以上三個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)分析，我們提出建立層次分析綜合評(píng)價(jià)模型來(lái)評(píng)價(jià)醫(yī)院眼科病房的合理安排問(wèn)題。針對(duì)問(wèn)題二：已知第二天擬出院病人數(shù)，即得到可安排病人入住的數(shù)量?，F(xiàn)在住院部對(duì)全體非急癥病人是按照FCFS規(guī)則安排住院，不論是星期幾，只要是輪到了該名患者便安排其住院，這樣可能導(dǎo)致在手術(shù)前（除去術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間），病人需要在醫(yī)院多住幾天，而新來(lái)的患者等待住院的時(shí)間也會(huì)延長(zhǎng)，造成等待的病人的增多，等待的時(shí)間的增加。這種安排不僅使得病床的利用率降低也使得病人的花費(fèi)（包括經(jīng)濟(jì)以及時(shí)間方面）增加，這是對(duì)資源的浪費(fèi)。因此首先確定病人入院規(guī)則，利用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，得到每天進(jìn)出院的病人數(shù)，直到達(dá)到要求。然后，以此推導(dǎo)出102個(gè)病人的入院時(shí)間并安排入住，利用計(jì)算機(jī)仿真得到每位病人的手術(shù)時(shí)間和出院時(shí)間，求出模型的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。針對(duì)問(wèn)題三：因?yàn)槎恳粋€(gè)門診的病人按照時(shí)間先后順序排列，那么病人門診時(shí)就可以知道自己所排的位置為w，然后統(tǒng)計(jì)出每天出院人數(shù)的均值區(qū)間取整，其中還要考慮到平均每天有一個(gè)外傷病人入住，從而得到實(shí)際空病床區(qū)間[m,n]。這樣就可在病人門診時(shí)告知其大致的入院時(shí)間。針對(duì)問(wèn)題四：在手術(shù)時(shí)間安排上，外傷優(yōu)先級(jí)最高，必須在門診后立即安排住院，住院第二天即安排手術(shù)。因外傷為急癥，情況緊急，所以外傷的最高優(yōu)先級(jí)不能改變，在調(diào)整手術(shù)時(shí)間安排時(shí)，對(duì)于外傷的情況沒(méi)有辦法進(jìn)行優(yōu)化。再次優(yōu)先級(jí)最高的為白內(nèi)障手術(shù)，根據(jù)醫(yī)院的安排將白內(nèi)障手術(shù)時(shí)間固定在每周的某兩天，這樣就限制了其他手術(shù)的時(shí)間安排，因此，我們考慮從調(diào)整白內(nèi)障手術(shù)安排時(shí)間出發(fā)，在周六周日不安排手術(shù)的情況下，分別將方案調(diào)整為周一和周三做白內(nèi)障手術(shù)；周二和周四做白內(nèi)障手術(shù)；周三和周五做白內(nèi)障手術(shù)。對(duì)這三種方案運(yùn)用問(wèn)題一中建立的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)比較，選擇出綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)最小的方案即為最優(yōu)方案。針對(duì)問(wèn)題五：從便于管理的角度醫(yī)院可以根據(jù)各類病人的到達(dá)規(guī)律安排病床，故先統(tǒng)計(jì)出各類病人的到達(dá)服從什么樣的分布，再建立模型求出平均逗留時(shí)間最短時(shí)的病床分配方案，但在分配時(shí)要把外傷類除外，因外傷類病人不允許等待，故分派給外傷病人的病床必須保證每天