算法、框圖、復(fù)數(shù)、推理與證明11-4數(shù)學(xué)歸納法理(已修改)
2025-01-28 20:10 本頁面
【正文】 ? 重點(diǎn)難點(diǎn) ? 重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法． ? 難點(diǎn)：①數(shù)學(xué)歸納法的證明思路． ? ②初始值 n0的確定． ? 知識(shí)歸納 ? 1． 歸納法 ? 歸納法有不完全歸納法和完全歸納法，如果我們考察了某類對(duì)象中的一部分，由這一部分具有某種特征而得出該類對(duì)象中的全體都具有這種特征的結(jié)論，為不完全歸納．由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定都是正確的，其正確性還需進(jìn)一步證明；如果我們考察了某類對(duì)象中的每一個(gè)對(duì)象，而得出該類對(duì)象的某種特征的結(jié)論為完全歸納，由完全歸納法得出的結(jié)論一定是正確的，數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法． ? 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 ? 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： ? (1)歸納奠基：驗(yàn)證當(dāng) n取第一個(gè)值 n0時(shí)結(jié)論成立； ? (2)歸納遞推：假設(shè)當(dāng) n＝ k(k∈ N*，且 k≥n0)時(shí)結(jié)論成立．推出 n＝ k＋ 1時(shí)結(jié)論也成立． ? 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有自然數(shù) n(n≥n0)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． ? 3．歸納、猜想與證明 ? 從觀察一些特殊的簡(jiǎn)單的問題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質(zhì)，運(yùn)用不完全歸納法作出一般命題的猜想，然后從理論上證明 (或否定 )這種猜想，這個(gè)過程叫做 “ 歸納 —猜想 —證明 ” ．它是一個(gè)完整的思維過程，是人們從事科學(xué)研究、認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效途徑，也是用來培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的有效辦法，因此，它就成了高考命題的熱點(diǎn)之一． ? 誤區(qū)警示 ? 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中： ? 第①步，驗(yàn)證 n＝ n0時(shí)結(jié)論成立的 n0不一定為 1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為 3等． ? 第②步，證明 n＝ k＋ 1時(shí)命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法． ? 這兩個(gè)步驟缺一不可，前一步是遞推的基礎(chǔ)，后一步是遞推的依據(jù)，缺了哪一步得出的結(jié)論也是錯(cuò)誤的． ? 另外，歸納假設(shè)中要保證 n從第一個(gè)數(shù) n0開始，即假設(shè) n＝ k(k≥n0)時(shí)結(jié)論成立，括號(hào)內(nèi)限制條件改為 kn0就錯(cuò)了． ? 添減項(xiàng)法和放縮法 ? 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，根據(jù)需要有時(shí)應(yīng)添項(xiàng)或減項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法證題的常用技巧． ? 2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，常根據(jù)題目的需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s，要注意既不能放縮的不到位，也不能放縮過了頭． ? [例 1] 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2n－ 1＝ 2n－ 1(n∈ N*)的過程中，第二步假設(shè)當(dāng)n＝ k時(shí)等式成立，則當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)應(yīng)得到( ) ? A． 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2k－ 2＋ 2k－ 1＝ 2k＋ 1－ 1 ? B． 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2k＋ 2k＋ 1＝ 2k－ 1－ 1＋ 2k＋ 1 ? C． 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2k－ 1＋ 2k＋ 1＝ 2k＋ 1－ 1 ? D． 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 2k－ 1＋ 2k＝ 2k－ 1＋ 2k ? 解析： 原等式左邊是 20＋ 21＋ 22＋ ? ＋ 2n－ 1，從 20到 2n－ 1，右邊是 2n－ 1，故當(dāng) n＝ k時(shí)，等式為 20＋ 21＋ ? ＋ 2k－ 1＝ 2k－ 1，當(dāng) n＝ k＋ 1時(shí)，等式為 20＋ 21＋ ? ＋ 2k－ 1＋ 2k＝ 2k＋ 1－ 1＝ 2k－ 1＋ 2k. ? 答案： D ? 點(diǎn)評(píng)： 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，從 n＝ k到n＝ k＋ 1的過渡是證題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，實(shí)際證明時(shí)，要據(jù)不同問題用不同方法討論，證明恒等式或不等式時(shí)，關(guān)鍵要抓住項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的增減變化．證明整除性命題時(shí)，湊出歸納假設(shè)的形式是關(guān)鍵；證明圖形類問題時(shí)，要注意從 n＝ k到 n＝ k＋ 1，究竟圖形中發(fā)生了哪些變化等等． ? 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題 “ n為正奇數(shù)時(shí)， xn＋ yn能被 x＋ y整除 ” 時(shí)，假設(shè) n＝ k(k為正奇數(shù) )時(shí)，命題為真，則進(jìn)而需證當(dāng) ________時(shí)命題為真 ( ) ? A． n＝ k＋ 1 ? B． n＝ k＋ 1(k為正奇數(shù) ) ? C． n＝ k＋ 2(k為正奇數(shù) ) ? D． n＝ 2k－ 1(k為正奇數(shù) ) ? 答案： C [ 例 2] n ∈ N*，求證： 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 n － 1－12 n＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋12 n. 分析： 本題左邊表達(dá)式為數(shù)列??????????( － 1 )n ＋ 1 1n的前 2 n項(xiàng)和． 證明： ( 1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝ 1 －12＝12，右邊＝11 ＋ 1＝12. 左邊＝右邊． ( 2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)等式成立，即 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k －
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