【正文】 第三章 自動(dòng)控制的時(shí)域分析 第一節(jié) 穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 第二節(jié) 典型輸入信號(hào)和階躍響應(yīng)性能指標(biāo) 第三節(jié) 一節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 第四節(jié) 二節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 第五節(jié) 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 第六節(jié) 穩(wěn)態(tài)誤差分析 第七節(jié) 基本控制規(guī)律的分析 本章小結(jié) 第三章 自動(dòng)控制的時(shí)域分析 傳遞函數(shù)是自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。利用傳遞函數(shù)可以分析系統(tǒng)的性能，常用的分析方法有時(shí)域分析法、根軌跡法和頻率特性法。本章介紹自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法。 時(shí)域分析法是一種直接的方法，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出特性。 第一節(jié) 穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 一、穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義是李亞普諾夫于 1892年提出的。下面將闡述線性系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念和定義。 自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的定義為：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)，在外作用影響下它離開了平衡狀態(tài)，當(dāng)外作用消失后，若經(jīng)過足夠長(zhǎng)的 時(shí)間它能回復(fù)到原來的平衡的狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，否則 是不穩(wěn)定的或不具有穩(wěn)定性 。 根據(jù)上述關(guān)于穩(wěn)定的定義，可以選用只在瞬間出現(xiàn)的單位理想脈沖信號(hào)讓系統(tǒng)離開其平衡狀態(tài)，若經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為一個(gè)真有理分式 系統(tǒng)處于全零平衡狀態(tài)。系統(tǒng)對(duì)外作用的響應(yīng) c（ t）的拉氏變換為 39。11()()()()()miinjjK s zCssRssp? ????????( ) ( ) ( )C s s R s?? 在現(xiàn)在的情況下， R（ s）＝ 1， 式中， 稱為 極點(diǎn)處的留數(shù)。 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，如果 c（ t）在 時(shí)應(yīng)趨于 0。從式（ 3－1）易知， 的充分必要條件是－ pj具有負(fù)實(shí)部。 綜上所述，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）均為負(fù)實(shí)數(shù)和（或）具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)（也就是說，系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點(diǎn)都在復(fù)數(shù)平面虛軸的左半部 )。 39。11 111()( ) [ ( ) ] [ ]()jmi nptijnjjjK s zc t L s L esp????? ????? ? ?????(3 1)?j?jsp??t??lim ( ) 0t ct?? ? 從系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可見，穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件和外作用無關(guān)。 一階系統(tǒng)的特征方程為 其特征根為 當(dāng)系數(shù) 、 時(shí)，特征根為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 10 0a s a??011apa? ? ?0 0a 1 0a 二階系統(tǒng)的特征方程為 其特征根為 當(dāng)系數(shù) 、 、 時(shí)，特征根為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 22 1 0 0a s a s a? ? ?21 1 2 01 , 2242a a a apa? ? ???0 0a 1 0a 2 0a 對(duì)于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。對(duì)于三階以上的系統(tǒng)，必須求得特征方程的根才能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)特征方程的次數(shù)較高時(shí)，求解是困難的，實(shí)際上只能借助數(shù)字計(jì)算機(jī)求解。實(shí)踐中人們需要一種方法，不必解出特征方程就能判別它是否有位于復(fù)平面右半部的根，以及有幾個(gè)這樣的根。這是代數(shù)學(xué)中一個(gè)已經(jīng)解決的問題，我們用它來研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為穩(wěn)定判據(jù)。 二、勞斯（ Routh）穩(wěn)定判據(jù) 勞斯于 1877年提出的穩(wěn)定性判據(jù)能夠判定在一個(gè)多項(xiàng)式方程中是否存在位于復(fù)平面右半部的正根，而不必求解方程。當(dāng)把這個(gè)判據(jù)用于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用程序如下： （ 1）寫出關(guān)于 s的多項(xiàng)式方程 式中的系數(shù)為實(shí)數(shù)。設(shè) ，即排除存在零根的情況。 11 1 0 0nnnna s a s a s a??? ? ? ?(3 2 )?0 0a ? （ 2）設(shè)方程（ 3－ 2）中所有系數(shù)都存在，并且均大于 0，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的 s多項(xiàng)式?？偪梢苑纸獬梢淮魏投我蜃?，即（ s＋ a）和（ s2＋ bs+s），式中 a、 b和 c都是實(shí)數(shù)。一次因子給出的是實(shí)根，而二次因子給出的則是復(fù)根。只有當(dāng) b和 c都是正值時(shí)，因子（ s2＋bs+s ）才能給出具有負(fù)實(shí)部的根。所有因子中的常數(shù) a、 b、c等都為正值是所有的根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件。任意個(gè)只包含正系數(shù)的一次和二次因子的乘積，必然也是一個(gè)具有正系數(shù)的多項(xiàng)式。因此，方程（ 3－ 2）缺項(xiàng)或具有負(fù)的系數(shù)，系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。 （ 3）如果系數(shù)都是正值，按下面的方式編制勞斯計(jì)算表： 1234210nnnnnssssssss????241 3 51 2 31 2 31 2 31211n n nn n na a aa a ab b bc c cd d deefg??? ? ? 勞斯表的前兩行元素由特征多項(xiàng)式的系數(shù)所組成。從第三行開始，各行元素由其上兩行的元素按下列公式計(jì)算： ， ， ， 21311nnnnnaaaaba??????41521nnnnnaaaaba??????131211nnaabbcb????513121nn aabbcb????121211bbccdc??311321bbccdc?? n階系統(tǒng)的勞斯表共有 n+1行元素，以豎線左邊 s的冪次標(biāo)識(shí)出行號(hào)，不參與運(yùn)算。靠近豎線右側(cè)的一列元素（即 an，an－ 1， b1,c1,…,f 1,g1）是勞斯表的第一列元素。在展開勞斯陣列的過程中，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整行，這時(shí)并不會(huì)改變所得出的結(jié)論。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出：方程（ 3－ 2）中，實(shí)部為正數(shù)的根的個(gè)數(shù)等于勞斯表的第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的全部系數(shù)都是正數(shù)，并且勞斯表第一列元素都是正數(shù)。 三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例 3－ 1 已知三階系統(tǒng)的特征方程為 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 解 列出勞斯表如下： 323 2 1 0 0a s a s a s a? ? ? ?3210ssss321 2 3 020aaa a a aaa?100aa00 根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： （ 1） ai0（ I＝ 0， 1， 2， 3）； （ 2） a1a2－ a3a00。 例 3－ 2 已知線性系統(tǒng)的特征方程為 試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 特征方程的全部系數(shù)均為正數(shù)，列出勞斯表： 4 3 22 3 4 5 0s s s s? ? ? ? ? 43210sssss12165?3450050勞斯表第一列元素符號(hào)改變 2次，表明系統(tǒng)有 2個(gè)正實(shí)部的根，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 在編制勞斯表時(shí)，可能遇到下面的特殊情況： （ 1）如果勞斯表第一列中出現(xiàn) 0，則可以用一個(gè)小的正數(shù) ε代替它，然后繼續(xù)計(jì)算其它元素。 例 3－ 3 已知線性系統(tǒng)的特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 特征方程的全部系數(shù)均為正數(shù)，列出勞斯表： 4323 3 3 2 0s s s s? ? ? ? ? 43210sssss1322?3322 在勞斯表中， ε上面的一行的首列和 ε下面一行的首列符號(hào)相同。勞斯表第一列元素沒有符號(hào)改變，但表明有一對(duì)純虛根存在。實(shí)際上系統(tǒng)的特征根為 177。 j，－ 1，－ 2。根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 例 3－ 4 已知線性系統(tǒng)的特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 特征方程的全部系數(shù)均為正數(shù)，列出勞斯表 4 3 23 3 2 0s s s s? ? ? ? ?43210sssss11232???332020勞斯表第一列元素符號(hào)改變 2次，有 2個(gè)正實(shí)部的根，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。事實(shí)上，系統(tǒng)的特征根為： 177。 , 177。 。 （ 2）若在勞斯表的某一行中，所有元素都為 0，則表明方程有一些關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。在這種情況下，可利用全 0行的上一行各元構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這輔助多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)代替勞斯表中的這個(gè)全 0行，然后繼續(xù)下去。 例 3－ 5 已知系統(tǒng)的特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 特征方程式的系數(shù)全為正數(shù)，列出勞斯表 5 4 3 23 3 2 2 0s s s s s? ? ? ? ? ?543sss110330220 第一列元素出現(xiàn) 0值，可判定該系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果還想了解根的分布情況，可利用下面的方法把勞斯表編制完整。 因標(biāo)識(shí)號(hào)為 s3的行各元素全為 0，可用該行的上一行的元素作為系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程 對(duì)輔助方程求關(guān)于 s的一次導(dǎo)數(shù)，得新方程 用新方程左邊各項(xiàng)系數(shù)代替全為 0的 s3標(biāo)識(shí)號(hào)行各元素，勞斯表繼續(xù)列下去，最后得 42( ) 3 2 0Q s s s? ? ? ?34 6 0ss?? 543210ssssss11432232336222 勞斯表第一列元素符號(hào)沒有改變，系統(tǒng)沒有正實(shí)部的根，但該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。原方程中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根可以通過解輔助方程 求出系統(tǒng)的特種根為 177。 j， 177。 ，系統(tǒng)的另一特征根為－1。 因此，利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的結(jié)論為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的特征方程沒有缺項(xiàng)，全部系數(shù)大于 0，且勞斯表第一列所有元素也大于 0 4 2 2 2( ) 3 2 ( 1 ) ( 2) 0Q s s s s s? ? ? ? ? ? ?2j 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響 利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以確定系統(tǒng)的個(gè)別參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定，這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù)的臨界值稱為臨界放大系數(shù)，用 Kp表示。 例 3－ 6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù) K的取值范圍及 Kp。 解 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 () ( 0 .1 1 ) ( 0 .2 5 1 )KGs s s s? ??( 0. 1 1 ) ( 0. 25 1 ) 0s s s K? ? ? ? 即 根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù) K的取值范圍為 臨界放大系數(shù)為 32320 .0 2 5 0 .3 5 01 4 4 0 4 0 0s s s Ks s s K? ? ? ?? ? ? ?01 4 4 0 1 4 0 0KK?? ? ? ??0 14K14pK ? 確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 前面利用穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，只回答了系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性問題。這對(duì)于很多實(shí)際情況來說，