【正文】 放大系數(shù) K0和慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù) T0增加，則 ξ減小，使最大超調(diào)量增加。系統(tǒng)由慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、放大環(huán)節(jié)組成。 對一些不允許出現(xiàn)超調(diào)或大慣性的控制系統(tǒng)，則可采用 ?1，使系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。 過阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是從 0到 1的單調(diào)上升過程，超調(diào)量為 0。 （ 4）調(diào)節(jié)時間 ts ts?3/ ??n (取誤差范圍為 5%) ts?4/ ??n (取誤差范圍為 2%) 當(dāng) ?=， ts=3T,調(diào)節(jié)時間取得最小值。 （ 2）峰值時間 tp 據(jù)定義 tp為 c(t)第一次出現(xiàn)峰值所對應(yīng)的時間。 參數(shù) ?和 ωn（ T ）決定了二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的特征，被稱為二階系統(tǒng)的特征參數(shù)。 21 ?tne ??? 當(dāng) ?1時，瞬態(tài)響應(yīng)是單調(diào)的衰減過程， Ct(t)從 1到 0單調(diào)衰減。系統(tǒng)被稱為欠阻尼系統(tǒng)。系統(tǒng)稱為無阻尼系統(tǒng)。 112 2 22 1( ) [ ] [ ]2 ( )nntn n n nsc t L Ls s S S??? ? ? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ?( 1 )n n nt t tnne te t e? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?/(1 ) tTt eT?? ? ? 0t ? (3 19)? （ 4） ξ0 特征方程有兩個不同的負(fù)實(shí)數(shù)根， 瞬態(tài)響應(yīng)為 21 , 2 1nns ? ? ? ?? ? ? ? ?1222( ) [ ]2ntnnsc t Lss???? ?? ?????21221[( 2 1 ) ( 1nnLs??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?2221]( 2 1 ) ( 1nns??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? 2221e x p [ ( 1 ) )21n t??? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??2221e x p [ ( 1 ) ]21n t??? ? ??? ? ?? ? ??0t ? (3 2 0 )?由于 ξ1， ， 均大于 0，從式（ 3－20）可知， ct（ t）是兩個指數(shù)衰減過程的疊加，瞬態(tài)響應(yīng)也可以表示為 2( 1)???? 2( 1)???? 2221( ) e x p [ ( 1 ) / )21tc t t T?? ???? ? ?? ? ? ? ? ??2221e x p [ ( 1 ) /21tT?????? ? ?? ? ??0t ? (3 2 1)?二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有下面的特點(diǎn)： （ 1）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線中，時間變量 t是與參數(shù) T結(jié)合成以出現(xiàn)的， 以 t/T為橫坐標(biāo)，得到的是與 T無關(guān)的曲線。 1[Ct(s)]=163。(1/s) =1/s（ s+ 2 ?ωn ） /（ s2+2 ?ωns+ωn2 ） = Css(s) +Ct(s) 將拉氏變換終值定理應(yīng)用于 Css(s) 和 Ct(s)， sCss(s)= s 如下頁圖 3－ 12是典型的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 （ 3）瞬態(tài)響應(yīng)曲線在 t/T=0+處的斜率為 d Ct(t) /d( t/T) ∣ t/T=1 = et/T ∣ t/T= 0+ =1 二、一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)時一個按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的過程，其動態(tài)性能指標(biāo)中不存在超調(diào)量、峰值時間、上升時間和振蕩次數(shù)等項(xiàng)。 圖 310a K0/s ? R(s) C(s) 圖 310b ? K0/(T0s+1) R(s) C(s) 一階系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是一個慣性環(huán)節(jié)，在單位階躍信號作用下， 時間響應(yīng)的拉氏變換為 C(s)= ?(s)R(s)=1/s1/(s+1/T) 由拉氏反變換可得 C(t)=(1et/T) 一、一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時一個復(fù)變量 s的的真有理分式，若分母的階次為 1，則稱為一階系統(tǒng)。又稱為動態(tài)性能指標(biāo)。利用這些特征值可分析、比較不同系統(tǒng)的性能，故其又稱為階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)。 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 ??????0001)(1ttt1[1 ( ) ]Lts?t 0 1 1(t) 圖 35 單位階躍函數(shù) 單位斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)） 單位斜坡函數(shù)的定義為 單位斜坡函數(shù)可以表示為 如圖 36所示。 一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)通常分為兩個部分：瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。關(guān)于這個問題，本章第六節(jié)會有進(jìn)一步的論述。如圖 3－ 3a所示，被包圍后的小閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 可見，積分環(huán)節(jié)已被改變?yōu)閼T性環(huán)節(jié)。這是一個結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)才可能使系統(tǒng)穩(wěn)定。 4 0 2 7 01 1 1 5 ( 4 0 2 7 ) 0KK??? ? ? ?? 3214 40 27 0S s s? ? ? ?3214 40 192 0S s s? ? ? ? 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施 僅僅通過調(diào)整參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。具體做法是： 以 s＝ z－ σ?guī)朐到y(tǒng)的特征方程，得出以 z為變量的方程，然后，應(yīng)用勞斯判據(jù)于新的方程。在控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計中，常常應(yīng)用相對穩(wěn)定性的概念來說明系統(tǒng)的穩(wěn)定度。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù)的臨界值稱為臨界放大系數(shù)，用 Kp表示。原方程中關(guān)于原點(diǎn)對稱的根可以通過解輔助方程 求出系統(tǒng)的特種根為 177。 例 3－ 5 已知系統(tǒng)的特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 , 177。根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 解 特征方程的全部系數(shù)均為正數(shù)，列出勞斯表： 4323 3 3 2 0s s s s? ? ? ? ? 43210sssss1322?3322 在勞斯表中， ε上面的一行的首列和 ε下面一行的首列符號相同。 例 3－ 2 已知線性系統(tǒng)的特征方程為 試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出：方程（ 3－ 2）中，實(shí)部為正數(shù)的根的個數(shù)等于勞斯表的第一列元素符號改變的次數(shù)。 （ 3）如果系數(shù)都是正值，按下面的方式編制勞斯計算表： 1234210nnnnnssssssss????241 3 51 2 31 2 31 2 31211n n nn n na a aa a ab b bc c cd d deefg??? ? ? 勞斯表的前兩行元素由特征多項(xiàng)式的系數(shù)所組成。只有當(dāng) b和 c都是正值時，因子（ s2＋bs+s ）才能給出具有負(fù)實(shí)部的根。 11 1 0 0nnnna s a s a s a??? ? ? ?(3 2 )?0 0a ? （ 2）設(shè)方程（ 3－ 2）中所有系數(shù)都存在，并且均大于 0，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 二、勞斯（ Routh）穩(wěn)定判據(jù) 勞斯于 1877年提出的穩(wěn)定性判據(jù)能夠判定在一個多項(xiàng)式方程中是否存在位于復(fù)平面右半部的正根，而不必求解方程。對于三階以上的系統(tǒng)，必須求得特征方程的根才能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。11 111()( ) [ ( ) ] [ ]()jmi nptijnjjjK s zc t L s L esp????? ????? ? ?????(3 1)?j?jsp??t??lim ( ) 0t ct?? ? 從系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可見，穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件和外作用無關(guān)。 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，如果 c（ t）在 時應(yīng)趨于 0。 根據(jù)上述關(guān)于穩(wěn)定的定義，可以選用只在瞬間出現(xiàn)的單位理想脈沖信號讓系統(tǒng)離開其平衡狀態(tài)，若經(jīng)足夠長的時間，系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 第一節(jié) 穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 一、穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 一個自動控制系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 第三章 自動控制的時域分析 第一節(jié) 穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 第二節(jié) 典型輸入信號和階躍響應(yīng)性能指標(biāo) 第三節(jié) 一節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 第四節(jié) 二節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 第五節(jié) 高階系統(tǒng)的動態(tài)性能 第六節(jié) 穩(wěn)態(tài)誤差分析 第七節(jié) 基本控制規(guī)律的分析 本章小結(jié) 第三章 自動控制的時域分析 傳遞函數(shù)是自動控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。 時域分析法是一種直接的方法，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出特性。 自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的定義為：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)，在外作用影響下它離開了平衡狀態(tài)，當(dāng)外作用消失后，若經(jīng)過足夠長的 時間它能回復(fù)到原來的平衡的狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或稱系統(tǒng)具有穩(wěn)定性，否則 是不穩(wěn)定的或不具有穩(wěn)定性 。11()()()()()miinjjK s zCssRssp? ????????( ) ( ) ( )C s s R s?? 在現(xiàn)在的情況下， R（ s）＝ 1， 式中， 稱為 極點(diǎn)處的留數(shù)。 39。 22 1 0 0a s a s a? ? ?21 1 2 01 , 2242a a a apa? ? ???0 0a 1 0a 2 0a 對于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。這是代數(shù)學(xué)中一個已經(jīng)解決的問題，我們用它來研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為穩(wěn)定判據(jù)。設(shè) ，即排除存在零根的情況。一次因子給出的是實(shí)根，而二次因子給出的則是復(fù)根。因此，方程（ 3－ 2）缺項(xiàng)或具有負(fù)的系數(shù)，系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。在展開勞斯陣列的過程中，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一整行，這時并不會改變所得出的結(jié)論。 解 列出勞斯表如下： 323 2 1 0 0a s a s a s a? ? ? ?3210ssss321 2 3 020aaa a a aaa?100aa00 根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： （ 1） ai0（ I＝ 0， 1， 2， 3）； （ 2） a1a2－ a3a00。 例 3－ 3 已知線性系統(tǒng)的特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 j，－ 1，－ 2。事實(shí)上，系統(tǒng)的特征根為： 177。在這種情況下，可利用全 0行的上一行各元構(gòu)造一個輔助多項(xiàng)式，并以這輔助多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)代替勞斯表中的這個全 0行，然后繼續(xù)下去。 因標(biāo)識號為 s3的行各元素全為 0，可用該行的上一行的元素作為系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程 對輔助方程求關(guān)于 s的一次導(dǎo)數(shù)，得新方程 用新方程左邊各項(xiàng)系數(shù)代替全為 0的 s3標(biāo)識號行各元素，勞斯表繼續(xù)列下去，最后得 42( ) 3 2 0Q s s s? ? ? ?34 6 0ss?? 543210ssssss11432232336222 勞斯表第一列元素符號沒有改變，系統(tǒng)沒有正實(shí)部的根，但該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 因此，利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的結(jié)論為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的特征方程沒有缺項(xiàng)，全部系數(shù)大于 0，且勞斯表第一列所有元素也大于 0 4 2 2 2( ) 3 2 ( 1 ) ( 2) 0Q s s s s s? ? ? ? ? ? ?2j 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響