【正文】 綜合性問題1. （2016山東省東營市3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．其中正確的結(jié)論有( ) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】特殊平行四邊形——矩形的性質(zhì)、相似三角形——相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)——銳角三角函數(shù)值的求法【答案】B.【解析】∵矩形ABCD中，∴AD∥BC.∴△AEF∽△CAB….......................①正確；∵△AEF∽△CAB，∴＝＝，∴CF＝2AF……………………………②正確；過點(diǎn)D作DH⊥△ABF≌△CDH(AAS).∴AF＝CH.∵EF∥DH,∴＝ ＝1.∴AF＝FH.∴FH＝CH.∴DH垂直平分CF.∴DF＝DC. ……………………………………………③正確；設(shè)EF＝1，則BF＝2.∵△ABF∽△EAF.∴＝.∴AF＝＝＝.∴tan∠ABF＝＝.∵∠CAD＝∠ABF，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝.…………④錯(cuò)誤.故選擇B.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)值的求法，正確的作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．（2016山東省德州市3分）下列函數(shù)中，滿足y的值隨x的值增大而增大的是（　　）A．y=﹣2x B．y=3x﹣1 C．y= D．y=x2【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)考慮4個(gè)選項(xiàng)的單調(diào)性，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：A、在y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴y的值隨x的值增大而減小；B、在y=3x﹣1中，k=3＞0，∴y的值隨x的值增大而增大；C、在y=中，k=1＞0，∴y的值隨x的值增大而減小；D、二次函數(shù)y=x2，當(dāng)x＜0時(shí)，y的值隨x的值增大而減??；當(dāng)x＞0時(shí)，y的值隨x的值增大而增大．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)考慮其單調(diào)性．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟悉各類函數(shù)的性質(zhì)及其圖象是解題的關(guān)鍵．3．（2016山東省德州市3分）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N，設(shè)∠AEM=α（0176。＜α＜90176。），給出下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】①作輔助線EF⊥BC于點(diǎn)F，然后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而求出AM=FN，所以BM與CN的長度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到結(jié)論正確；③經(jīng)過簡單的計(jì)算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面積的和和差進(jìn)行計(jì)算，用數(shù)值代換即可．【解答】解：①如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90176。，∠FEN+∠DEN=90176。，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①錯(cuò)誤，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正確，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正確，④如圖，由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN∵tanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN=（AE+BN）AB﹣AEAM﹣BNBM=（AE+BC﹣CN）2﹣AEAM﹣（BC﹣CN）CN=（AE+BC﹣CF+FN）2﹣AEAM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AEAM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AEAM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正確．故選C．【點(diǎn)評】此題是全等三角形的性質(zhì)和判定題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形面積的計(jì)算銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是Rt△AME≌Rt△FNE，難點(diǎn)是計(jì)算S△EMN．4.（2016廣西百色3分）直線y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），則不等式kx+3≥0的解集是（　?。〢．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤0【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式．【分析】首先把點(diǎn)A（2，1）代入y=kx+3中，可得k的值，再解不等式kx+3≥0即可．【解答】解：∵y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），∴1=2k+3，解得：k=﹣1，∴一次函數(shù)解析式為：y=﹣x+3，﹣x+3≥0，解得：x≤3．故選A．5.（2016廣西桂林3分）如圖，直線y=ax+b過點(diǎn)A（0，2）和點(diǎn)B（﹣3，0），則方程ax+b=0的解是（　?。〢．x=2 B．x=0 C．x=﹣1 D．x=﹣3【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次方程．【分析】所求方程的解，即為函數(shù)y=ax+b圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，確定出解即可．【解答】解：方程ax+b=0的解，即為函數(shù)y=ax+b圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵直線y=ax+b過B（﹣3，0），∴方程ax+b=0的解是x=﹣3，故選D6.（2016廣西桂林3分）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90176。，OA=3，OB=2，將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。后得Rt△FOE，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是（　?。〢．π B． C．3+π D．8﹣π【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】作DH⊥AE于H，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90176。，OA=3，OB=2，∴AB==，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，∴DH=OB=2，陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積=52+23+﹣=8﹣π，故選：D．[7.（2016貴州安順3分）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（　　）A．2B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．【解答】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)．8.（2016內(nèi)蒙古包頭3分）已知下列命題：①若a＞b，則a2＞b2；②若a＞1，則（a﹣1）0=1；③兩個(gè)全等的三角形的面積相等；④四條邊相等的四邊形是菱形．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（　?。〢．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】交換原命題的題設(shè)和結(jié)論得到四個(gè)命題的逆命題，然后利用反例、零指數(shù)冪的意義、全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)判斷各命題的真假．【解答】解：當(dāng)a=0，b=﹣1時(shí)，a2＜b2，所以命題“若a＞b，則a2＞b2”為假命題，其逆命題為若a2＞b2；，則a＞b“，此逆命題也是假命題，如a=﹣2，b=﹣1；若a＞1，則（a﹣1）0=1，此命題為真命題，它的逆命題為：若（a﹣1）0=1，則a＞1，此逆命題為假命題，因?yàn)椋╝﹣1）0=1，則a≠1；兩個(gè)全等的三角形的面積相等，此命題為真命題，它的逆命題為面積相等的三角形全等，此逆命題為假命題；四條邊相等的四邊形是菱形，這個(gè)命題為真命題，它的逆命題為菱形的四條邊相等，此逆命題為真命題．故選D．9.（2016內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　?。〢．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；軸對稱最短路線問題．【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖所示．令y=x+4中x=0，則y=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；令y=x+4中y=0，則x+4=0，解得：x=﹣6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C（﹣3，2），點(diǎn)D（0，2）．∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，﹣2）．設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b，∵直線CD′過點(diǎn)C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直線CD′的解析式為y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，則0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）．故選C．10.（2016青海西寧3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90176。，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　?。〢． B． C． D．【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，可以先證明△ADC和△AOB的關(guān)系，即可建立y與x的函數(shù)關(guān)系，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【解答】解：作AD∥x軸，作CD⊥AD于點(diǎn)D，若右圖所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90176。，∠BAC=90176。，AB=AC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是y，∵AD∥x軸，∴∠DAO+∠AOD=180176。，∴∠DAO=90176。，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90176。，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵點(diǎn)C到x軸的距離為y，點(diǎn)D到x軸的距離等于點(diǎn)A到x的距離1，∴y=x+1（x＞0）．故選：A．　11. （2016四川眉山3分）下列命題為真命題的是（　?。〢．有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．方程x2﹣x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．面積之比為1：4的兩個(gè)相似三角形的周長之比是1：4D．順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的命題，假命題舉出反例或者說明錯(cuò)在哪，真命題說明理由即可解答本題．【解答】解：有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，選項(xiàng)A中的一角不一定是對應(yīng)相等兩邊的夾角，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵x2﹣x+2=0，∴△=（﹣1）2﹣412=1﹣8=﹣7＜0，∴方程x2﹣x+2=0沒有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；面積之比為1：4的兩個(gè)相似三角形的周長之比是1：2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形，這個(gè)四邊形的對邊都等于原來四邊形與這組對邊相對的對角線的一半，并且和這條對角線平行，故得到的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確；故選D．【點(diǎn)評】本題考查命題和定理，解題的關(guān)鍵是明確什么命題是真命題、什么命題的假命題，對真假命題可以說明理由，真命題說明根據(jù)，假命題舉出反例或通過論證說明．12. （2016四川眉山3分）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB=60176。，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。〢．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】①利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；②證△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF，再證?DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，則面積相等，△AOE和△BEO屬于等高的兩個(gè)三角形，其面積比就等于兩底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30176。角所對的直角邊是斜邊的一半得出BE=2OE=2AE，得出結(jié)論S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，∴OB=OC，∵∠COB=60176。，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正確；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OE