高中數(shù)學(xué)換元法解題案例及練習(xí)題(已修改)
2025-01-26 09:02 本頁面
【正文】 高中數(shù)學(xué)換元法解題案例及練習(xí)題解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和α∈[0,]。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：＝sinxcosx＋sinx+cosx的最大值是_________。(x＋1)＝log(4－x) （a1），則f(x)的值域是_______________。{a}中，a＝－1，aa＝a－a，則數(shù)列通項(xiàng)a＝___________。、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。＝3的解是_______________。(2－1) log(2－2)〈2的解集是_______________?！竞?jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y＝＋；2小題：設(shè)x＋1＝
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1