【正文】 例 1．與函數(shù) y＝ 10lg(x－ 1)的圖象相同的函數(shù)是 ( ) A． y＝ B． y＝ x－ 1 C． y＝ |x－ 1| D． y＝ 解析： ∵ y＝ 10lg(x－ 1)＝ x－ 1(x1)， y＝ ＝ x－1(x1)， ∴ y＝ 10lg(x－ 1)與 y＝ 是同一個函數(shù)，它們的圖象相同．故選 A. 答案： A 2????????x1x12??x1x12????????x1x12????????x1x1考點(diǎn)一 函數(shù)的定義域、解析式 例 2．設(shè) f(x)＝ 則 f(6)＝ ( ) A． 8 B． 7 C． 6 D． 5 ????? x － 3 ， x ≥ 10 ，f [ f ? x ＋ 5 ? ] ， x ＜ 10 ， 解析： f(6)＝ f(f(11))＝ f(8)＝ f(f(13))＝ f(10)＝ 7.故選 B. 答案： B _______________ 例 3 (1)已知 f(x)的定義域是 [0,4]，則 f(x2)的定義域?yàn)開_________， f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)的定義域?yàn)?________________． (2)已知 f(x2)的定義域?yàn)?[0,4]，則 f(x)的定義域?yàn)?_______． （ 3）已知 函數(shù) y＝ f(x1)的定義域?yàn)? ，則 f(log2x)的定義域?yàn)? 思路點(diǎn)撥： 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?[a， b]，則函數(shù) f(g(x))的定義域由不等式 a≤g(x)≤b解出． ]3,23[[－ 2,2] [1,3] [0,16] ]4,2[解析： (1)∵ f(x)的定義域?yàn)?[0,4]， 又 f(x2)以 x2為自變量， ∴ 0≤x2≤4.∴ － 2≤x≤2. 故 f(x2)的定義域?yàn)?[－ 2,2]． ∵ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)以 x＋ 1， x－ 1為自變量，于是有 ∴ 1≤x≤3. 故 f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)的定義域?yàn)?[1,3]． (2)∵ f(x2)的定義域?yàn)?[0,4]， ∴ 0≤x≤4. ∴ 0≤x2≤16，故 f(x)的定義域?yàn)?[0,16]． 答案： (1)[－ 2,2] [1,3] (2)[0,16] ,? ? ???? ? ??0 x 1 40 x 1 4例 4 (1)已知 f(x)是一次函數(shù)，且滿足 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝2x＋ 17，求 f(x)． (2)若 ，求函數(shù) f(x)的解析式． (3)已知 f(x)＋ 2f(－ x)＝ 3x－ 2，求 f(x)的解析式． f ??? ???x － 1x ＝ x 2 ＋ 1x 2 解析： (1)設(shè) f(x)＝ ax＋ b(a≠0)，則 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 3ax＋ 3a＋ 3b－ 2ax＋ 2a－ 2b＝ ax＋ b＋5a＝ 2x＋ 17， ∴ a＝ 2， b＝ 7.∴ f(x)＝ 2x＋ 7. (2) ，用 x代換 x－ 得 f(x)＝ x2＋2，即為所求的函數(shù) f(x)的解析式． (3)以－ x代 x后所得等式與原等式組成方程組 解得 f(x)＝－ 3x－ ，即為所求函數(shù) f(x)的解析式． 點(diǎn)評 ： (1)題已知 f(x)為一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法； (2)題用配湊法； (3)題用方程組法． f ??? ???x － 1x ＝ x 2 ＋ 1x 2 ＝ ??? ???x － 1x 2 ＋ 2 1x????? f ? x ? ＋ 2 f ? － x ? ＝ 3 x － 2 ，f ? － x ? ＋ 2 f ? x ? ＝－ 3 x － 2 ， 23變式：求下列函數(shù)的解析式： (1) 已知 f??????x ＋1x＝ x3＋1x3 ，求 f ( x ) ； (2) 若 f ( x ＋ 1) ＝ x ＋ 2 x ，求 f ( x ) ． 解 析 ： ( 1 ) ∵ f??????x ＋1x＝ x3＋1x3 ＝??????x ＋1x3－ 3??????x ＋1x， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x . 又當(dāng) x ＞ 0 時， x ＋1x≥ 2 x 1x＝ 2 ， 當(dāng) x ＜ 0 時， x ＋1x＝－??????－ x ＋1－ x≤ － 2 x 1x＝－ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x ( x ≤ － 2 或 x ≥ 2) ． ( 2 ) 令 t ＝ x ＋ 1 ，則 t ≥ 1 ， ∴ x ＝ ( t － 1)2， t ≥ 1 ，代入原式有 f ( t )＝ ( t － 1)2＋ 2( t － 1) ＝ t2－ 1( t ≥ 1) ， ∴ f ( x ) ＝ x2－ 1( x ≥ 1) ． 一、函數(shù)單調(diào)性的定義 1． 對于函數(shù) f(x)的定義域 I內(nèi)某個區(qū)間 D上自變量的任意兩個值 x1， x2： (1)若 x1x2時，都有 ____________，則稱 f(x)在這個區(qū)間 D上是增函數(shù)； (2)若 x1x2時，都有 ___________，則稱 f(x)在這個區(qū)間 D上是減函數(shù)． f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) 考點(diǎn)二 函數(shù)的基本性質(zhì) 二、證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法 1． 定義法． 用定義法判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是： (1)設(shè) x1，x2_________________________，且 x1x2； (2)作差 __________；(3)將差式變形 (要注意變形的程度，一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負(fù)能清楚地判斷出 )； (4)判斷__________________(要注意說理的充分性 )； (5)根據(jù) f(x1)－ f(x2)的符號確定其增減性，即下結(jié)論． 概括為：取值 — 作差 — 變形 — 定號 — 下結(jié)論． 是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值 f(x1)－ f(x2) f(x1)－ f(x2)的正負(fù) 2．導(dǎo)數(shù)法． 設(shè) f(x)在某個區(qū)間 (a， b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，若 f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)，總有 f′(x)0(f′(x)0)，則 f(x)在區(qū)間 (a， b)上為增函數(shù) (減函數(shù) )；反之，若 f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)為增函數(shù) (減函數(shù) )，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)．請注意兩者的區(qū)別所在． 三．復(fù)合函數(shù) y＝ f[g?x?]的單調(diào)性規(guī)律． 對于函數(shù) y＝ f(u)和 u＝ g(x)，如果 u＝ g(x)在區(qū)間 (a， b)上具有單調(diào)性，當(dāng) x∈ (a， b)時， u∈ (m， n)，且 y＝ f(u)在區(qū)間 (m， n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù) y＝ f[g(x)]在區(qū)間 (a， b)具有單調(diào)性的規(guī)律見下表： 以上規(guī)律還可總結(jié)為： “ 同增異減 ” ． y＝ f(u) 增 ↗ 減 ↘ u＝ g(x) 增 ↗ 減 ↘ 增 ↗ 減 ↘ y＝ f[g(x)] 增 ↗ 減 ↘ 減 ↘ 增 ↗ 四、函數(shù)的奇偶性 1．函數(shù)的奇偶性的定義． 對于函數(shù) f(x)，其定義域 D關(guān)于原點(diǎn)對稱， 如果 ? x∈ D，恒有 ____________，那么函數(shù) f(x)為奇函數(shù)； 如果 ? x∈ D，恒有 ____________，那么函數(shù) f(x)為偶函數(shù)． 2．奇偶函數(shù)的性質(zhì)． (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱； (2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于 ________軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱； (3)奇函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性 ________；偶函數(shù)在對稱區(qū)間的增減性 ________． f(－ x)＝－ f(x) f(－ x)＝ f(x) y 原點(diǎn) 相同 相反 五、函數(shù)的周期性 1． 周期函數(shù)定義：若 T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一 x，使得 f(x＋ T)＝ f(x)恒成立，則 f(x)叫做 ________， T叫做這個函數(shù)的 ________． 2．周期函數(shù)的性質(zhì)： (1)若 T是函數(shù) f(x)的一個周期，則kT(k∈ Z， k≠0)也是它的一個周期； (2)f(x＋ T)＝ f(x)常寫作 f ＝ f ； (3)若 f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為 f(x)的最小正周期； 一個周期 周期函數(shù) 2Tx??????? 2Tx???????六、求函數(shù)值域 (最值 )的各種方法 因?yàn)楹瘮?shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的，故其類型依解析式的特點(diǎn)可分為三類： (1)求常見函數(shù)的值域； (2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域； (3)求由常見函數(shù)作某些“ 運(yùn)算 ” 而得函數(shù)的值域． 無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須首先考慮函數(shù)的定義域．具體的方法有：①直接法；②配方法；③分離常數(shù)法；④換元法； ⑤三角函數(shù)有界法；⑥基本不等式法；⑦單調(diào)性法；⑧數(shù)形結(jié)合法；⑨ 導(dǎo)數(shù)法 (對于具體函數(shù)幾乎都可以用導(dǎo)數(shù)法去解決 )． 例 1 (1)已知 f(x)＝ ax2＋ bx是定義在 [a－ 1,2a]上的偶函數(shù)，那么 a＋ b的值為 __________． (2)奇函數(shù) f(x)＝ sin x ＋ (其中常數(shù) a∈ R)的定義域?yàn)?___________． 2x?1 xa1解析： ( 1 ) 依題意得????? a － 1 ＝－ 2 a ，b ＝ 0 ， ∴????? a ＝13，b ＝ 0.∴ a ＋ b ＝13＋ 0 ＝13. ( 2 )????? x ∈ R ，1 － x2≥ 0 ，x － a ≠ 0 ，∴????? － 1 ≤ x ≤ 1 ，x ≠ a .又奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱， ∴ a ＝ 0. ∴ 函數(shù)的定義域?yàn)?{ x | － 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0} ． 答案： ( 1 )13 ( 2 ) { x |－ 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0} 例 2. 已知定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足 f(x)＝－ f ，且 f(－ 2)＝ f(－ 1)＝－ 1， f(0)＝ 2，則 f(1)＋ f(2)＋ … ＋ f(2 011)＋ f(2 012)＝ ( ) A．－ 2 B．－ 1 C． 0 D． 1 x???????32解析： 由題意得 ， ∴ f(x)是以 3為周期的周期函數(shù)． ∴ f(1)＝ f(3－ 2)＝ f(－ 2)＝－ 1， f(2) ＝ f(3－ 1)＝ f(－ 1)＝－ 1，f(3)＝ f(3＋ 0)＝ f(0)＝ 2.∴ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＝－ 1－ 1＋ 2＝ 0. ∴ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ … ＋ f(2 011)＋ f(2 012)＝ 670 [f(1)＋ f(2)＋f(3)]＋ f(1)＋ f(2)＝－ A. 答案： A f ??? ???x ＋ 32 ＝－ f ?? ??x ? f ??? ???x ＋ 3 ＝－ f ??? ???x ＋ 32 ＝ f ?? ??x 例 3．已知函數(shù) f(x)＝ (x∈ R且 x≠2)． (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù) g(x)＝ x2－ 2ax與函數(shù) f(x)在 x∈ [0,1]上有相同的值域，求 a的值 . 2?xx2解析： (1 ) f ( x ) ＝x2x － 2＝[ ? x － 2 ? ＋ 2]2x － 2＝ ( x － 2) ＋4x － 2＋ 4 ， 令 x － 2 ＝ t ，由于 y ＝ t ＋4t＋ 4 在 ( － ∞ ，－ 2) ， (2 ，＋ ∞ ) 內(nèi)單調(diào)遞增，在 (