【正文】 第 2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 數(shù)學(xué)模型： 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量及內(nèi)部變量之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種： 解析法和實驗法 。 解析法 是分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)運動機理，按照其遵循的物理化學(xué)規(guī)律列寫輸入輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 實驗法 是對系統(tǒng)輸入某種測試信號，記錄系統(tǒng)或各環(huán)節(jié)輸出變量的運動響應(yīng)。通過數(shù)據(jù)處理選擇一種數(shù)學(xué)模型可以近似地表示這種響應(yīng)，該過程稱為系統(tǒng)辨識。 控制系統(tǒng)的微分方程描述 拉氏變換及反變換 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述 控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的信號流圖 微分方程可以描述被控量（系統(tǒng)輸出）和給定量（系統(tǒng)輸入）或擾動量（擾動輸入）之間的函數(shù)關(guān)系。通過對微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系統(tǒng)穩(wěn)定性、變量動態(tài)響應(yīng)軌跡等性能。 建立微分方程 建立控制系統(tǒng)的微分方程，需要了解整個系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)和工作原理。 列寫微分方程的一般步驟如下 ： 控制系統(tǒng)的微分方程描述 （ 1） 分析元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用 ， 確定元件的輸入量和輸出量 （ 必要時還要考慮擾動量 ） ， 并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量 。 （ 2） 根據(jù)各元件在工作過程中所遵循的物理或化學(xué)定律 ， 按工作條件忽略一些次要因素 ， 并考慮相鄰元件的彼此影響 ， 列出微分方程 。 常用的定律有：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律 、 力學(xué)系統(tǒng)的牛頓定律和熱力學(xué)定律等等 。 （ 3） 消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量 （ 包括擾動量 ） 關(guān)系的微分方程 ， 即元件的數(shù)學(xué)模型 。 例 電氣系統(tǒng) ? 電氣系統(tǒng)中最常見的裝置是由電阻 、 電感 、 電容 、 運算放大器等元件組成的電路 ， 又稱電氣網(wǎng)絡(luò) 。 僅由電阻 、 電感 、電容 (無源器件 )組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無源網(wǎng)絡(luò) 。 如果電氣網(wǎng)絡(luò)中包含運算放大器 (有源器件 )， 就稱為有源網(wǎng)絡(luò) 。 例 由電阻 R、 電感 L和電容 C組成無源網(wǎng)絡(luò) 。 ui輸入 ， uo輸出 ，求微分方程 。 － L C ui(t) uo(t) i(t) + － + R () ( ) ( ) ( )oid i tL R i t u t u tdt ? ? ?解 設(shè)回路電流為 i ( t ) 如圖所示。由基爾霍夫電壓定律可得到 式中 i ( t )是中間變量。 i ( t )和 u o( t )的關(guān)系為 ()() odu ti t Cdt?)()()()(22tutudt tduRCdt tudLC iooo ???消去中間變量 i (t )，可得 )()()()(22tutudt tduRCdt tudLC iooo ???)()()()(22tFtkxdt tdxfdt txdm ???? 機械系統(tǒng)指的是存在機械運動的裝置 ， 它們遵循物理學(xué)的力學(xué)定律 。 機械運動包括直線運動 （ 相應(yīng)的位移稱為線位移 ）和轉(zhuǎn)動 （ 相應(yīng)的位移稱為角位移 ） 兩種 。 例 一個由彈簧 質(zhì)量 阻尼器組成的機械平移系統(tǒng)如圖所示 。 m為物體質(zhì)量 ， k為彈簧系數(shù) ， f 為粘性阻尼系數(shù) ， 外力 F(t)為輸入量 ， 位移 x(t)為輸出量 。 列寫系統(tǒng)的運動方程 。 例 機械系統(tǒng) x m F k f 解 在物體受外力 F的作用下 ， 質(zhì)量 m相對于初始狀態(tài)的位移 、 速度 、 加速度分別為 x、 dx/dt、 d2x/dt2 。 設(shè)外作用力 F為輸入量 ， 位移 x 為輸出量 。 根據(jù)彈簧 、 質(zhì)量 、 阻尼器上力與位移 、 速度的關(guān)系和牛頓第二定律 ， 可列出作用在 m上的力和加速度之間的關(guān)系為 )()()()(22tFtkxdt tdxfdt txdm ???kxdtdxfFdtxdm ???22x m F k k和 f分別為彈簧的彈性系數(shù)和阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。 負(fù)號表示彈簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。 比較上面兩個例子可見 ， 雖然它們?yōu)閮煞N不同的物理系統(tǒng) ， 但它們的數(shù)學(xué)模型的形式卻是相同的 ， 我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為 相似系統(tǒng) ， 例如上述 RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和彈簧 質(zhì)量 阻尼器系統(tǒng)即為一對相似系統(tǒng) ， 故可用電子線路來模擬機械平移系統(tǒng) 。 在相似系統(tǒng)中 ， 占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為 相似量 。 Raei(t)LaiaemT Jfif= 常數(shù))( to?P 1 3 圖 2 4 電樞 控 制 直 流 電動機 電樞控制式直流電動機 電機電樞輸入電壓 電機輸出轉(zhuǎn)角 電樞繞組電阻 電樞繞組電感 流過電樞繞組的電流 電機感應(yīng)反電動勢 電機轉(zhuǎn)矩 電機及負(fù)載折合到電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量 電機及負(fù)載折合到電機軸上的粘性摩擦系數(shù) 例 機電系統(tǒng) ? ?? ?—反電勢常數(shù)—其中，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有KKeeoem dttdt?? ? ? ? ? ? ?2o2odttdJdttdftT???? ，有根據(jù)牛頓第二定律定律? ? ? ? ? ? ? ?tdttditt eLiRe maaaai ??? 根據(jù)基爾霍夫定律，有R ae i (t)L ai ae mT Jfi f = 常數(shù))( to?P 1 3 圖 2 4 電樞 控 制 直 流 電動機? ? ? ?—電機力矩常數(shù)—其中，作用定律，有根據(jù)磁場對載流線圈的KiKTaTttT ? 將上面四個方程聯(lián)立，可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tdttdadttJfdttJ eKKKfRdRLdLiToeT2o2aa3o3a ???? ????? ? ? ? ? ? ? ?tdttdadttJ eKKKfRdRiToeT2o2a?? ??? 化為：若忽略電樞電感，可簡考慮到 : dtd?? ?)( teKdtdTimm ?? ??可將上式改寫成 可知：對于同一個系統(tǒng) ， 若從不同的角度研究問題 ， 則所得出的數(shù)學(xué)模型式不一樣的 。 電機時間常數(shù) 電機傳遞系數(shù) ??? ???? ???? )/( )/(TeaTmTeaamkkfRkKkkfRJRT? ? ? ? ? ? ? ?tdttddttJ eKKKfRdRiToeToa a ?? ???22 注： 通常將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各項寫在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項均按降階順序排列。 單輸入、單輸出系統(tǒng)微分方程的一般形式： ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?mntxtxtttxtxttimimmmononnnbbxbxbaaxaxaiioo??????????????其中： 11101110 ????實際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度 的非線性，如下圖所示。 放大器飽和 電機死區(qū) 齒輪間隙 繼電器開關(guān)特性 非線性系統(tǒng)的線性化 嚴(yán)格講： 所有系統(tǒng)都是非線性的 盡管線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但 非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。 另外，迭加原理不適用于非線性系統(tǒng)， 這給解非線性系統(tǒng)帶來很大不便。 故我們盡量對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化 處理，然后用線性理論進(jìn)行分析。 實踐 證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程 問題，有很大的實際意義。 線性化條件： 1. 非線性因素對系統(tǒng)影響很小 2. 系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，可通過切線法進(jìn)行線性化，求其 增量 方程 不是各個變量的絕對數(shù)量，而是它們偏離平衡點的量 y=f(r) r— 元件的輸入信號 ， y— 元件的輸出信號 0 r0 r0+△ r y0 y0+△ y y A B 略去高次項 ， 0 0220 0 02( ) 1 ( )( ) ( ) ( )2!rr rrd f r d f ry f r r r r rd r d r? ?????? ? ? ? ? ??????? ??000() ()rrd f ry y r rdr ???? ? ?????設(shè)原運行于某平衡點（靜態(tài)工作點） A點： r=r0 , y=y0 ,且 y0=f(r0) B點： 當(dāng) r變化 △ r， y=y0+△ y 函數(shù)在（ r0 , y0 ）點連續(xù)可微，在 A點展開成泰勒級數(shù)，即 0(),rrd f rKdry K r ???? ??????? )( to?mTi(t)P 1 5 圖 2 5 單擺l? ?? ? ? ? ? ?222s i n )( dttdmlltmgtT ooi?? ??：根據(jù)牛頓第二定律，有??????!5!3s i n 0s i n 53oooooo??????臺勞級數(shù)展開，得：附近用在將 單擺 s i n oo ?? ?忽略高階小量，則? ? ? ? ? ? ? ?tTtm gldt tdml ioo ?? ?? 222 線性化步驟： 1. 找出 靜態(tài)工作點 （工作點不同，所得方程系數(shù)也不同） 2. 在工作點附近展開成 泰勒級數(shù) 3. 略去高階項，得到關(guān)于增量的 線性化方程 是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法 時域微分方程 復(fù)變函數(shù)代數(shù)方程 拉氏變換 拉氏反變換 拉氏變換及反變換 ——— 一種解線性微分方程的簡便方法 拉氏變換定義 對于函數(shù) ，滿足下列條件 ? ?tx? ? 正實數(shù)—，其中、 ?? ????? dttx e t02? ?? ? 續(xù)。在每個有限區(qū)間分段連時，當(dāng)時，、當(dāng)txttxt0 。001???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? dttxtxLsXsXtxest????? 0 ?的拉氏變換為則可定義象函數(shù) 原函數(shù) 例 單位階躍函數(shù) ? ?t1? ?0010{1 ,???ttt? ?? ? ? ?ssdtttL ee stst101110????? ?? ??0 t 1 例 指數(shù)函數(shù) ? ?te t 1??? ?? ? ? ?? ?? ???????????????????? ??????ssdtdtttLeeeeetstssttt10111000 t 1 ???????????si njc o s si njc o s eejj根據(jù)歐拉公式：? ?? ?的結(jié)果。可利用 tL e t 1?? ?? ?? ?t1tc ost1ts i ????和余弦函數(shù)正弦函數(shù)例?????????????2c o s2s i neeeejjjjj??????則? ?? ? ? ?? ?2222222221)(211121 121s i n?????????????????????????????????????????????????????sjsjjjsjsjsjjsjsjtjLttLeetjtj? ?? ? ? ?221121 121c o s??????