【正文】 第三章 尺寸 介觀體系 納米體系 原子團簇 介觀體系 1．電子波的干涉 金屬的電導率 電導量子＝電子輸運平均自由程為費米波矢在二維情況下：子的平均壽命處于某動量本征態(tài)的電：輸運馳豫時間電子濃度的有效質量電子載流子:222:)(:000022220***2**20??????????????lklkelkekmkmvmvlkknnmmneFFFFFFFFF??????????????輸運弛豫時間包含了各種相互作用的貢獻： 電子－雜質，電子 — 聲子，電子－電子 ???????1111110??????????eephei m pe???散射：非彈性散射電子與動態(tài)散射中心的散射：彈性散射電子與靜態(tài)散射中心的較純金屬：雜質散射貢獻較小，電子－電子相互作用由于傳導電子的屏蔽效應而變得很弱。在溫度較高時，聲子散射起主要作用，它決定了電導率隨溫度變化的規(guī)律。隨溫度的降低，聲子濃度不斷減少，而雜質的數(shù)量不變，因此電導將趨于常數(shù) (剩余電阻 ). 電子被看作粒子，各種相互作用都被納入相應的馳豫時間，電子作為波的運動特征－相位被完全忽略了。 X’ X” 簡化的合理性： 電子沿不同的布朗運動路徑從 X’ 點到達 X” 點 (假設所以路徑上電子 經歷的散射為彈性 ): 為其相位分波： nnnn iAA ?? )e xp (||???? ??? mn mnn nn n AAAA *22||0)c os ()c os ( ??? mnmn ???? 路徑無規(guī)，平均干涉效應 某些特殊條件下，干涉效應不為零： ? 沿一閉合路徑反向運動的兩電子分波，具有時間反演對稱性。兩電子分波的疊加在總平均中不抵消 ? 電子散射的可能路徑不是無限多，而是局限于若干個有限路徑時 (a).弱局域化電導修正 閉合路徑：電子在固體中擴散運動時以一定的概率返回它的出發(fā)點，這種路徑稱之為閉合路徑。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k?k?? 態(tài)的電子從 0點開始： 0123… 120 ,波函數(shù)為 A+ k?k?? 態(tài)的電子從 0點開始： 0121110… 10 ,波函數(shù)為 A k?k??|A+|=|A|=A 等概率地： 這兩個路徑的順序具有時間反演對稱性，稱之為時間反演路徑 (time reversal path) 對所有散射為彈性散射的情形，可證明，電子受相同的雜質散射從 態(tài)到 態(tài)和從 態(tài)到 態(tài)所附加的相移 是相同 39。k? k? 39。k??k?? ??A+與 A具有相同的振幅，相同的相位： 2*222 4Re2|||||| AAAAAAA ????? ??????雖然巨大數(shù)量的電子擴散路徑的電子分波的干涉趨向于相互抵消，但經過時間反演路徑的電子波的干涉卻相互增強。電子回到途中某一點幾率的增加，意味著觀察點 N發(fā)現(xiàn)電子的幾率下降，導致電導率的減小或電阻率的增加，呈現(xiàn)對經典電導率的量子力學改正 —— 弱定域化的物理圖象 ，是量子力學波函數(shù)疊加原理導致宏觀可觀察后果的獨特范例。 計及量子效應之后，電子似乎更趨向于呆在原點 N M O 弱定域化引起的電導變化： 假定處于 態(tài)的電子可能被散射到費米面上的 Z個狀態(tài) 該電子被散射到 的幾率為 1/Z，而與經歷的中間態(tài)散射次數(shù) n無關。 電子處于動量本征態(tài) 的平均壽命 費米波矢的不確定量為： k?k??k? 0?l/? 0?Fvl ? 自由程 二維：不確定量構成的圓環(huán)面積： K空間的態(tài)密度為： 圓環(huán)所包含的狀態(tài)數(shù)： lklkFF222 ??? ??2)2( ??lkZ F2?qkkkk ????? , 都對相關散射有貢獻 初態(tài)＋末態(tài)的動量 ? q? 能量差為： 在一次散射時間間隔 內產生的相移： FvqE ??? ???0? 00 / ?? ???? FvqE???中間態(tài)上的相移不同，位相平方相加，疊加 n次散射后： )(3/)()(2/)()(:2/t,Dq2)()()(222002220202三維二維的平均值為態(tài)的時間態(tài)被散射到為電子從二維擴散系數(shù)＝FFFFFFqvqvvqkkntvDqvnvqn???????????????????電子回波產生的反向粒子流： ? ??? ??? tIltktDqZdqI kFk1~,)e xp ()2(1 02122 ???若一個電子在 t=0時處于 k態(tài)，根據(jù)馳豫時間近似，其動量 以特征時間 指數(shù)衰減，而由于干涉回波產生的反向動量 則隨時間的倒數(shù)衰減，且在 時消失，那么這個電子 對于平均動量的貢獻為： 0????tk?k??]ln11[][0000 00?????? ???? ?lkkdtltkdtek FFt??? ?? ? ?電導也將以括號內的因子減少： ??????????? ?? ??????? 000000*02ln]ln11[ lkmneF?? 為弱局域化電導修正 S1010 5600 －－ ～量級，為 ???低溫下，一般金屬薄膜的電導率 ～ 。 0ln ??? ???在電子平均自由程較小的樣品中容易觀察到 這種現(xiàn)象：淬火薄膜或摻氧薄膜 現(xiàn)象低溫下的電阻對數(shù)上升如相位馳豫主要來源于對溫度的依賴取決于TpRTpTee plnln:.ln????????? ????? ??(b).正常金屬中的 AharonovBohm(AB)效應 經典電磁學： )(A), rrBE 矢量勢（麥克斯韋方程，標量勢 ???規(guī)范不變性物理觀測量與之無關任意都不改變。和作規(guī)范變換：，當????????????????????????????BEtrtctrAAAAABtAcE???),(139。),(39。,1量子力學： 電磁場中運動的粒子方程 物理上的實在??????????????AqcAqpmti ,])(21[ 2???? ])(2 1[ 2 qc Aqpmti ??????),(139。),(39。 trtctrAAA ????? ?????????ciqe ????? ?? 39。規(guī)范變換 A B C F 經典物理：電子束通路上沒有磁場，沒有磁力作用在電子上，螺線管中磁場不會產生任何影響。 量子力學：電子將感受到與磁通量相聯(lián)系的矢勢存在，波函數(shù) 將附加一與矢勢 A有關，依賴于路徑的相位。 A B C F 量子磁通ehceeAB F ldAildAcie ???? ??? 0202211 ,: 101 ???? ???? 202022:ldAieAC F ???21 ??? ＋＝點干涉F)](2c os [2|||||| 21002012022012 ?? ?????? ldAldA??????02022 ??? ??若? ???? ???? ldA,2c os||2||2||020202 ????干涉強度依賴于兩條路徑封閉的磁通總量 ，并以周期 振蕩。 ?0?觀察 AB效應： 電子束不受散射，相位相干不受破壞：高真空或超導體 正常金屬擴散區(qū)？電子經多次散射，走著無規(guī)行走路徑－可觀察 對一維理想金屬環(huán)，如果有磁通 穿過中空區(qū)，這個環(huán)的所有 物理性質隨 以 為周期變化 ??0?L ???????????????hceixLxeAAAxArLrxdxddxdLEHAceimH??????????????????????39。39。02,)(2,)0()()(21??????的變換為：與波函數(shù)作規(guī)范變換，矢勢為周期。的偶函數(shù)，以是能量本征值為：令方程的解：件發(fā)生改變時，磁場存在使邊界條為整數(shù)當磁通量子。＝為穿過環(huán)中心的磁通其中使選擇‘02022222000/2039。39。/239。39。39。39。22239。)()(242)(, . . .2,1,0),(2~)()(:)0()()()(2:000????????????????????????????nnnnikxixLxiEnmLmkEnnLkexmmehcedxddxdeLxExdxdmA???????????????????????????上述問題與周期為 L的一維能帶問題相似： 一一對應kL?02???)(?nE20?? 20?雜質－ Peierls 理想環(huán) 非理想環(huán) 實驗： 1983年， Au的平均直徑為 245nm,環(huán)寬 30nm AAS效應：除了觀察到 AB效應，還觀察到周期為 的效應 振幅只有 AB效應的 4% 緣由：弱局域化效應 周期相位差提供相變改變矢勢沿逆時針方向路徑提供相變改變矢勢沿順時針方向路徑ehc22 ?????ehc22．介觀體系的電導 (1)Kubo（久保公式） 線性響應理論：非局域響應關聯(lián)函數(shù) ),(21 xx?自由電子體系無外電場:, 0^0 HH ??? ??? ??? ? ?? )()()()(39。4),( 2123221 xxfddmexx ??????? ?????????? ?)()()()( ** xxxx ?????? ????? ????V I I 221121 ),(21 nxxndSdSg CC ?????電導系數(shù) g: 1 2 1 dS1 C1 1n2 dS2 C2 2n(2)Landauer公式 : 兩電極視為理想導體，被測器件視為一勢 壘，器件的電導系數(shù)就一定依賴于電子波的穿透系數(shù) T: TTheg?? 12 ??? gT ,1 T R (3)LandauerButtiker公式 : 一根無窮長理想導線中獨立電子的 Shordinger方程： ),(),(),()??(212),(,),()e x p (21),(),(?2122222yxEyxyxVPPmEmkEEyxkyxi k zzyxyxVPmHkkyxkkkk??????????????????????????????????由下列方程解出：，本征值：歸一任一本征函數(shù)?Z E1 E2 k 0 每條曲線代表一個橫向子能帶 容許通道 在每個容許通道中電子將以行波的方式 傳播，從而引起電荷的流動。 給定波矢量 k0，電荷既可沿 +k(入射） 也可沿 k(反射 )流動。 計算 T=0K,導線中第 個通道上的入射電流 ??IkEVVkkkk??? ???? ???1: 中的電子群速度為容許態(tài)，導線中電子氣的化學勢?? ?? ? ????? ? ?? E kkkK k dEdE dkeVdkeVI 2)(2)(m ax0 ?? ? ???? ?EkkkdEdkdEeV 2)1(1)(???? ? ???? ?EkkkdEVeV 21? )( ?? Ee ???被測器件視為一塊不均勻散射媒質，它將理想導線 1中入射而來的一束漸近行波散射到導線 2中的某些