【正文】 太倉市浮橋中學初三數(shù)學組編著 版權所有 @蔡老師數(shù)學 1 蘇州市 2022— 2022 學年初三 中考數(shù)學動點 型 題 復習 知 識 點 名師點晴 動點問題中的特殊圖形 [] 等腰三角形與直角三角形 利用等腰三角形或直角三角形的特殊性質求解動點問題 相似問題 利用相似三角形的對應邊成比例、對應角相等求解動點問題 動點問題中的計算問題 動點問題的最值與定值問題 理解最值或定值問題的求法 動點問題的面積問題 結合面積的計算方法來解決動點問題 動點問題的函數(shù)圖象問題 一次函數(shù)或二次函數(shù)的 圖象 結合函數(shù)的圖象解決動點問題 歸納 1： 動點中的特殊圖形 基礎知識歸納：等腰三 角形的兩腰相等，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，平行四邊形的對邊平行且相等，矩形的對角線相等，菱形的對角線互相垂直 基本方法歸納：動點問題常與等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形等特殊圖形相結合，解決此類問題要靈活運用這些圖形的特殊性質 注意問題歸納：注意區(qū)分等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形的性質． 【例 1】 已知：如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， AB=5cm， AC=3cm，動點 P 從點 B 出發(fā)沿射線 BC 以 1cm/s 的速度移動，設運動的時間為 t 秒． （ 1）求 BC 邊的長； （ 2）當 △ ABP 為直角三角形時，求 t 的值； （ 3）當 △ ABP 為等腰三角形時，求 t 的值 蔡老師數(shù)學 2 歸納 2： 動點問題中的計算問題 基礎知識歸納：動點問題的計算常常涉及到線段和的最小值、三角形周長的最小值、面積的最大值、線段或面積的定值等問題． 基本方法歸納：線段和的最小值通常利用軸對稱的性質來解答，面積采用割補法或面積公式，通常與二次函數(shù)、相似等內容． 注意問題歸納：在計算的過程中，要注意與相似、銳角三角函數(shù)、對稱、二次函數(shù)等內容的結合． 【例 2】 如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90176。， AC=6， BC=8， AD 是∠ BAC 的平分線．若 P， Q分別是 AD 和 AC 上的動點，則 PC+PQ 的最小值是（ ） A． 125 B． 4 C． 245 D． 5 （例 2圖） 練習： （ 2022?日照）問題背景：如圖（ a），點 A、 B 在直線 l 的同側，要在直線 l 上找一點 C，使AC 與 BC 的距離之和最小，我們可以 作出點 B 關于 l 的對稱點 B′，連接 AB′與直線 l 交于點 C，則點 C 即為所求． （ 1）實踐運用：如圖（ b），已知， ⊙ O 的直徑 CD 為 4，點 A 在 ⊙ O 上， ∠ ACD=30176。， B 為弧AD 的中點， P 為直徑 CD 上一動點，則 BP+AP 的最小值為 ． （ 2）知識拓展：如圖（ c），在 Rt△ ABC 中， AB=10， ∠ BAC=45176。， ∠ BAC 的平分線交 BC 于點D， E、 F 分別是線段 AD 和 AB 上的動點，求 BE+EF 的最小值，并寫出解答過程． 蔡老師數(shù)學 3 歸納 3： 動點問題的圖象 基礎知識歸納：動點問題經常與一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù) 的圖象相結合． 基本方法歸納：一次函數(shù)圖象是一條直線，反比例函數(shù)圖象是雙曲線，二次函數(shù)圖象是拋物線． 注意問題歸納：動點函數(shù)的圖象問題可以借助于相似、特殊圖形的性質求出函數(shù)的圖象解析式，同時也可以觀察圖象的變化趨勢． 【例 3】 如圖，在矩形 ABCD 中， AB=2，點 E 在邊 AD 上，∠ ABE=45176。， BE=DE，連接 BD，點P 在線段 DE 上，過點 P 作 PQ∥ BD 交 BE 于點 Q，連接 QD．設 PD=x，△ PQD 的面積為 y，則能表示 y 與 x 函數(shù)關系的圖象大致是（ ） 歸納 4：函數(shù)中的動點問題 基礎知識歸納： 函數(shù)中的動點問 題 的 背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。 基本方法歸納： 一 是 利用動點（圖形）位置進行分類，把運動問題分割成幾個靜態(tài)問題，然后運用轉化的思想和方法將幾何問題轉化為函數(shù)和方程問題 ； 二 是 利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質（或所求圖形面積）直接轉化為函數(shù)或 方程。 注意問題歸納： 化動為靜，畫出符合條件的圖形。 【例 4】 （ 2022 年 江蘇鹽城 12 分） 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，將拋物線 2yx? 的對稱軸繞著點 P（ 0 ， 2）順時針旋轉 45176。后與該拋物線交于 A、 B 兩點，點 Q 是該拋物線上的一點 . （ 1）求直線 AB 的函數(shù)表達式； （ 2）如圖 ① ，若點 Q 在直線 AB 的下方，求點 Q 到直線 AB 的距離的最大值； （ 3）如圖 ② ，若點 Q 在 y 軸左側，且點 T（ 0， t）（ t2）是直線 PO 上一點，當以 P、 B、 Q 為頂點的三角形與 △PAT 相似時，求所有滿足條件的 t 的值 . 蔡老師數(shù)學 4 鞏固練習： 1. （ 2022 年 江蘇揚州 3 分） 如圖，已知 Rt△ABC 中， ∠ ABC=90176。， AC=6， BC=4，將 △ABC 繞直角頂點 C 順時針旋轉 90176。得到 △DEC，若點 F 是 DE 的中點，連接 AF，則 AF= ▲ ． 2. （ 2022 年 江蘇宿遷 3 分） 如圖，在平面直角坐標系中，點 P 的坐標為（ 0， 4），直線 3 34yx??與 x 軸、 y 軸分別交于點 A， B，點 M 是直線 AB 上的一個動點，則 PM 長的最小值為 ▲ ． （第 1 題） （第 2 題） 3. （ 2022 年 江蘇連云港 12 分） 在數(shù)學興趣小組活動中，小明進行數(shù)學探究活動，將邊長為 2 的正方形 ABCD 與邊長為 22的正方形 AEFG 按圖 1 位置放置， AD 與 AE 在同一直線上， AB 與AG 在同一直線上． （ 1） 小明發(fā)現(xiàn) DG⊥ BE，請你幫他說明理由． （ 2） 如圖 2，小明將正方形 ABCD 繞點 A 逆時針旋轉，當點 B 恰好落在線段 DG 上時，請你幫他求出此時 BE 的長． （ 3） 如圖 3，小明將正方形 ABCD 繞點 A 繼續(xù)逆時針旋轉，將線段 DG 與線段 BE 相交，交點為H，寫出 △GHE 與 △BHD 面積之和的最大值，并簡要說明理由． 4. 如圖 ① ，正方形 ABCD 的頂點 AB， 的坐標分別為 ? ? ? ?010 8 4， ， ， ，頂點 CD， 在第一象限．點P 從點 A 出發(fā)，沿正方形按逆時針方向勻速運動，同時，點 Q 從點 ? ?40E ， 出發(fā)，沿 x 軸正方向以相同速度運動．當點 P 到達點 C 時， PQ， 兩點同時停止運動，設運動的時間為 t 秒． （ 1）求正方形 ABCD 的邊長． （ 2）當點 P 在 AB 邊上運動時， OPQ△ 的面積 S （平方單位）與時間 t （秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖 ② 所示），求 PQ， 兩點的運動速度． （ 3）求（ 2）中面積 S （平方單位）與時間 t （秒）的函數(shù)關系式及面積 S 取最大值時點 P 坐標． （ 4）若點 PQ， 保持（ 2）中的速度不變，則點 P 沿著 AB 邊運動時， OPQ∠ 的大小隨著時間 t的增大而增大；沿著 BC 邊運動時， OPQ∠ 的大小隨著時間 t 的增大而減?。旤c P 沿著這兩邊運動時，使 90OPQ?∠ 的點 P 有 個． 中午作業(yè)： 圖 ① y D A C P B O E Q x 圖 ② O 10 t 20 28 s 蔡老師數(shù)學 5 1． （ 2022 年甘肅天水）如圖，扇形 OAB 動點 P 從點 A 出發(fā)，沿 AB 線段 BO、 OA 勻速運動到點 A，則 OP 的長度 y 與運動時間 t 之間的函數(shù)圖象大致是 （ ） A． B． C． D． 2． （ 2022 年貴州安順）如圖， MN 是半徑 為 1 的 ⊙ O 的 直徑，點 A 在 ⊙ O 上， ∠ AMN=30176。，點B 為劣弧 AN 的中點．點 P 是直徑 MN 上一動點，則