【正文】 (必修 +選修 )所有知 識點總結(jié) 高中數(shù)學 必修 1知識點 第一章 集合與函數(shù)概念 〖 〗集合 【 】集合的含義與表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性 . （ 2）常用數(shù)集及其記法 N 表示自然數(shù)集， 或 表示正整數(shù)集， Z表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集 . （ 3）集合與元素間的關(guān)系 對象 a與集合 M的關(guān)系是 ，或者 ，兩者必居其一 . （ 4）集合的表示法 ① 自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合 . ② 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合 . ③ 描述法：{x|x 具有的性質(zhì) }，其中 x 為集合的代表元素 . ④ 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合 . （ 5）集合的分類 ① 含有有限個元素的集合叫做有限集 .② 含有無限個元素的集合叫做無限集 .③不含有任何元素的集合叫做空集 【 】集合間的基本關(guān)系 （ 6）子集、真子集、集合相等 n n n （ 7）已知集合 A有 個元素，則它有 2個子集，它有 個真子集，它有 個非空子集，它有 非空真子集 . n 【 】集合的基本運算 （ 8）交集、并集、補集 1 【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法 （ 1）含絕對值的不等式的解法 （ 2）一元二次不等式的解法 〖 〗函數(shù)及其表示 【 】函數(shù)的概念 （ 1）函數(shù)的概念 ① 設(shè) A、 B 是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則 f，對于集合 A中任何一個數(shù) x，在集合 B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合 A， B以及 A到 B的對應(yīng)法則 f）叫做集合 A到 B的一 2 個函數(shù)，記作 ． ② 函數(shù)的三要素 :定義域、值域 和對應(yīng)法則． ③ 只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)． （ 2）區(qū)間的概念及表示法 ① 設(shè) a,b是兩個實數(shù)，且 ，滿足 的實數(shù) x的集合叫做閉區(qū)間，記做 [a,b]；滿足 的實數(shù) x的集合叫做開區(qū)間，記做 (a,b)；滿足 ，或 的實數(shù) x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 [ab,， )(a,b]；滿足數(shù) x的集合分別記做 的 x實 b ． 注意：對于集合 與區(qū)間 (a,b)， 前者 a 可以大于或等于 b，而后者必須 ． （ 3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： ① f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)． ② f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)． ③ f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合． ④ 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于 1． ⑤ 中， ． ⑥ 零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零． ⑦ 若 f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域 一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集． ⑧ 對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知 f(x)的定義域為 [a,b]，其復(fù)合函數(shù) f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式 解出． ⑨ 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論． ⑩ 由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義． （ 4）求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛?數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法： ① 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值． ② 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值． ③ 判別式法：若函數(shù) 可以化成一個系數(shù)含有 y的關(guān)于 x的二次方程 ，則在 時，由于x,y 為實數(shù)，故必須有 ，從而確定函數(shù)的值域或最值． 3 22 ④ 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值． ⑤ 換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最 值問題． ⑥ 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值． ⑦ 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值． ⑧函數(shù)的單調(diào)性法． 【 】函數(shù)的表示法 （ 5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種． 解析法 ：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖 象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系． （ 6）映射的概念 ① 設(shè) A、 B 是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 f，對于集合 A中任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合 A， B以及 A到 B的對應(yīng)法則 f）叫做集合 A到 B的映射，記作 ． ② 給定一個集合 A到集合 B的映射，且 ．如果元素 a和元素 b對應(yīng)，那么我們把元素 b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素 b的原象． 〖 〗函數(shù)的基本性質(zhì) 【 】單調(diào)性與最大（?。┲? （ 1）函數(shù)的單調(diào)性 ① 定義及判定方法 ② 在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)． 4 ③ 對于復(fù)合函數(shù) ，令 ，若 為增， 為增，則為增；若則 為增；若 為增， 為減，則為減， 為減， 為 減；若 為減， 為增，則 為減． （ 2）打 “√”函數(shù) ax 的圖象與性質(zhì) f(x)分別在 、 上為增函數(shù)，分別在 [0)函數(shù)． （ 3）最大（?。┲刀x ① 一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域為 I，如果存在實數(shù) M滿足：（ 1）都有 ； （ 2）存在 ，使得 ．那么，我們稱 M是函數(shù) ． ② 一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域為 I，如果存在實數(shù) m滿足：（ 1）對于任意的 ，都有 f(x) ；（ 2）存在 ，使得 ．那么，我們稱 m是函數(shù) f( x)的最小值，記作 ． 【 】奇偶性 （ 4）函數(shù)的奇偶性 ① 定義及判定方法 ② 若函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，且在 處有定義，則 ． ③ 奇函數(shù)在 y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在 y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反． ④ 在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇 函數(shù)． 5