【正文】 2022年 2月 4日 第 5章 極點(diǎn)配置與觀測器的設(shè)計(jì) 舒欣梅 西華大學(xué)電氣信息學(xué)院 2022年 2月 4日 ? 反饋控制結(jié)構(gòu) ? 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 ? 狀態(tài)解耦 ? 觀測器及其設(shè)計(jì)方法 ? 帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng) ? MATLAB在控制系統(tǒng)綜合中的應(yīng)用 第 5章 極點(diǎn)配置與觀測器的設(shè)計(jì) 2022年 2月 4日 ?綜合與設(shè)計(jì)問題 ，即在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù) (被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 )的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。 ?一般說來，這種控制規(guī)律常取反饋形式。 ?經(jīng)典控制理論用調(diào)整開環(huán)增益及引入串聯(lián)和反饋校正裝置來配置閉環(huán)極點(diǎn)，以改善系統(tǒng)性能；而在狀態(tài)空間的分析綜合中，除了利用輸出反饋以外，更主要是利用狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)，它能提供更多的校正信息。 ?由于狀態(tài)反饋提取的狀態(tài)變量通常不是在物理上都可測量，需要用可測量的輸入輸出重新構(gòu)造狀態(tài)觀測器得到狀態(tài)估計(jì)值。 ?狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)便構(gòu)成了現(xiàn)代控制系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容。 2022年 2月 4日 反饋控制結(jié)構(gòu) ????x Ax Buy Cx D uu = V K x則閉環(huán)系統(tǒng) 的結(jié)構(gòu)如圖 51 所示。 給定系統(tǒng) 在系統(tǒng)中引入反饋控制律 狀態(tài)反饋 2022年 2月 4日 狀態(tài)空間表達(dá)式為： ? ?( ) ( )()? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?x A x B u A x B V K x A B K x B Vy C x D u C x D V K x C D K x D V2022年 2月 4日 輸出反饋 0D ?? ?x A B H C x B Vy C x? ? ??當(dāng) 時(shí)，輸出反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 2022年 2月 4日 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的性質(zhì) 定理 51 對于任何常值反饋陣 K，狀態(tài)反饋系統(tǒng)能控的充分必要條件是原系統(tǒng)能控。 證明 對任意的 K陣，均有 ? ? ? ? 0II A B K B I A B KI?? ??? ? ? ??? ??????上式中等式右邊的矩陣 0IKI??????，對任意常值都是非奇異的。 因此對任意的 和 K，均有 ?? ? ? ?I A BK B I A B??? ? ? ?????ra n k ra n k說明，狀態(tài)反饋不改變原系統(tǒng)的能控性 2022年 2月 4日 ?： 1 2 03 1 1x x u? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?[1 2]yx?完全能控能觀，引入反饋 [ 3 1 ]u x V? ? ?例 系統(tǒng) K?： 1 2 00 0 1x x v? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?[1 2]yx?不難判斷，系統(tǒng) K?仍然是能控的，但已不再 能觀測。 K?則閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 2022年 2月 4日 定理 52 給定系統(tǒng) DuCxyBuAxx????? ?:kxvu ??通過狀態(tài)反饋 任意配置極點(diǎn)的充 ? 完全能控 。 要條件 能控系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 所謂 極點(diǎn)配置 ，就是通過選擇適當(dāng)?shù)姆答佇问胶头答伨仃嚕瓜到y(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)恰好配置在所希望的位置上，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。 2022年 2月 4日 證 : 只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理 充分性：因?yàn)榻o定系統(tǒng) ? 能控，故通過等價(jià)變換 Pxx ?~ 必能將它變?yōu)槟芸貥?biāo)準(zhǔn)形 :x A x b uy c x d u?????這里， P 為非奇異的實(shí)常量等價(jià)變換矩陣，且有 ???????????????????111110~aaaP A PAnn ??， 2022年 2月 4日 ??????????????100~ ?Pbb ? ?111~ ??? ??? ?? nncPc dd ?~引入狀態(tài)反饋 u v K x??12 nK k k k??? ??則閉環(huán)系統(tǒng) K? 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 :K? ()()x A b K x b vy c d K x d v? ? ?? ? ?2022年 2月 4日 其中，顯然有 1 1 2 101()1n n nA bKa k a k a k?????????? ? ? ? ? ???系統(tǒng) K?的閉環(huán)特征方程為 0)~()~()~( 121211 ???????? ??? kaskaskas nnnnnn ?2022年 2月 4日 同時(shí)，由指定的任意 n 個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn) n*2*1* , ??? ?可求得期望的閉環(huán)特征方程 0)())(( **11*1*2*1* ????????? ?? nnnnn asasassss ?? ???通過比較系數(shù)，可知 ??????????????*1*212*11~~~nnnnakaakaaka?2022年 2月 4日 由此即有 ???????????????1*11*12*1~~~aakaakaaknnnnn?又因?yàn)? 1u v K x v K P x v K x?? ? ? ? ? ?K KP?所以 2022年 2月 4日 K陣的求法 ? 根據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)形求解 ? 求線性變換 P陣，將原系統(tǒng)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。然后根據(jù)要求的極點(diǎn)配置，計(jì)算狀態(tài)反饋陣 ? 將 變換為 ? 直接求 K陣方法 ? 根據(jù)要求極點(diǎn)，寫出希望閉環(huán)特征多項(xiàng)式 ? 令 ? 求解 1 1 1 1, , ,n n n nK a a a a a a? ? ?????? ? ? ???K 1K K P ??? ? ? ? ? ?**1nis I A B K f s s ??? ? ? ? ??2022年 2月 4日 ? ? 3100110001r a n kr a n k 2 ?????????????bAAbb解： 因?yàn)? 例 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 uxx????????????????????????001110011000? ? ?xy 110?求狀態(tài)反饋增益陣 K ，使反饋后閉環(huán)特征值為 2*1 ??? 31* 3,2 j????系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋控制律 能 配置閉環(huán)特征值。 任意 2022年 2月 4日 1) 由 得 2) 由 得 3) de t( ) de tssI A s s s ss????? ? ? ? ? ? ??? ????32001 1 0 20 1 1, , .a a a? ? ?1 2 32 1 0* , , .a a a?????1 2 3488***( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s j s jsss???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 3322 1 3 1 34 8 8? ?, , , ,k a a a a a a?????? ? ? ? ???3 3 2 2 1 1 8 7 22022年 2月 4日 4) 5) 6) aaQ b A b A b a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?21211 1 0 0 1 2 1 1 2 11 0 0 1 1 2 1 0 1 1 01 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0PQ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?111 2 1 0 0 11 1 0 0 1 11 0 0 1 2 1? ? ? ?0 0 18 7 2 0 1 1 2 3 31 2 1k k P????? ? ? ????? ???2022年 2月 4日 解法 2：直接法 解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣 k為 因?yàn)榻?jīng)過狀態(tài)反饋 后，閉環(huán)系統(tǒng) 特征多項(xiàng)式為 的? ?k k k k? 1 2 3u v k x??? ? ? ?de tf s sI A bk? ? ?? ?de tss k k ks??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???1 2 30 0 0 0 0 10 0 1 1 0 00 0 0 1 1 0? ? ? ? ? ?s k s k k s k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?32 1 1 2 1 2 32 2 12022年 2月 4日 比較兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)，有 ： 8 , 8 1 2 , 4 2 3 2 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k k 得： 即得狀態(tài)反饋增益矩陣為 : 與解法 1的結(jié)果相同 求得閉環(huán)期望特征多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ?f s s s j s j s s s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?322 1 3 1 3 4 8 8,k k k? ? ?1 2 32 3 3? ?k ? 2332022年 2月 4日 例 53 設(shè)被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 32( ) 1 1( ) ( 6 ) ( 1 2 ) 1 8 7 2CsR s s s s s s s??? ? ? ?要求性能指標(biāo)為：：①超調(diào)量： ；②峰值時(shí)間： ；③系統(tǒng)帶寬： ；④位置誤差 。試用極點(diǎn)配置法進(jìn)行綜合。 %5% ??st p ? 10b? ?0pe ?解 （ 1）原系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形動(dòng)態(tài)方程為 ? ?1122331230 1 0 00 0 1 00 72 18 11 0 0xxx x uxxxyxx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????????????對應(yīng)特征多項(xiàng)式為 321 8 7 2s s s??2022年 2月 4日 綜合考慮響應(yīng)速度和帶寬要求，取 。于是，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為 ，取非主導(dǎo)極點(diǎn)為 （ 2）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定希望極點(diǎn) 系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)，為方便，選一對主導(dǎo)極點(diǎn) ，另外一個(gè)為可忽略影響的非主導(dǎo)極點(diǎn)。已知的指