【正文】 高一數(shù)學(xué)必修 1 各章知識點總結(jié) 第一章 集合與函數(shù)概念 一、集合有關(guān)概念 集合的含義 集合的中元素的三個特性： 元素的確定性如：世界上最高的山 元素的互異性如：由 HAPPY 的字母組成的集合 {H,A,P,Y} 元素的無序性 : 如： {a,b,c}和 {a,c,b}是表示同一個集合 ： { ? } 如： {我校的籃球隊員 }， {太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 } 用拉丁字母表示集合： A={我校的籃球隊員 },B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（即自然 數(shù)集） 記作： N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實數(shù)集 R 列舉法： {a,b,c…… } 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。 {x?R| x32} ,{x| x32} 語言描述法：例： {不是直角三角形的三角形 } Venn 圖 : 集合的分類： 有限集 含有有限個元素的集合 無限集 含有無限個元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例： {x|x2=－ 5｝ 二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系 — 子集 注意： BA? 有兩種可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2） A 與 B 是同一集合。 反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A?? B 或 B?? A 2．“相等”關(guān)系： A=B (5? 5，且 5? 5，則 5=5) 實例：設(shè) A={x|x21=0} B={1,1} “元素相同則兩集合相等” 即：① 任何一個集合是它本身的子集。 A?A ②真子集 :如果 A?B,且 A? B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同時 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規(guī)定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 個元素的集合，含有 2n 個子集， 2n1 個真子集 三、集合的運算 運算類型 交 集 并 集 補(bǔ) 集 定 義 由所有屬于 A 且屬于 B 的元素所組成的集合 ,叫做 A,B 的交集．記作 A? B（讀作‘ A 交 B’），即 A? B=｛ x|x?A，且 x?B｝． 由所有屬于集合 A 或?qū)儆诩?B 的元素所組成的集合，叫做A,B 的并集．記作：A ? B（讀作‘ A 并B ’）， 即 A ? B ={x|x?A，或 x? B})． 設(shè) S 是一個集合， A 是S 的一個子集，由 S 中所有不屬于 A的元素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補(bǔ)集（或余集） 記作 ACS ，即 CSA= },|{ AxSxx ?? 且 韋 恩 圖 示 A B圖 1 A B圖 2 性 質(zhì) A? A=A A? Φ =Φ A? B=B? A A? B? A A? B? B A? A=A A? Φ =A A? B=B? A A? B? Ａ A? B? B (CuA) ? (CuB) = Cu (A? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A? B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ． 例題： ，能構(gòu)成集 合的是 （ ） A 某班所有高個子的學(xué)生 B 著名的藝術(shù)家 C 一切很大的書 D 倒數(shù)等于它自身的實數(shù) {a， b， c }的真子集共有 個 M={y|y=x22x+1,x?R},N={x|x? 0}，則 M 與 N 的關(guān)系是 . A= ?? 12xx??， B= ??xx a? ， 若 A? B，則 a 的取值范圍是 名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有 40人，化學(xué)實驗做得正確得有 31 人， 兩種實驗都做錯得有 4 人，則這兩種實驗都做對的有 人。 6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= . 7. 已 知 集 合 A={x| x2+2x8=0}, B={x| x25x+6=0}, C={x| x2mx+m219=0}, 若 B∩ C≠Φ， A∩ C=Φ，求 m 的值 二、函數(shù)的有關(guān)概念 S A S A 1．函數(shù)的概念：設(shè) A、 B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f： A→ B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)．記作： y=f(x)， x∈ A．其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 {f(x)| x∈ A }叫做函數(shù)的值域． 注意： 1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義 域。 求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于 1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的 .那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x的值組成的集合 . (6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義 . 相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致 (兩點必須同時具備 ) (見 課本 21 頁相關(guān)例 2) 2．值域 : 先考慮其定義域 (1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法 3. 函數(shù)圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈ A)中的 x 為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y 為縱坐標(biāo)的點 P(x，y)的集合 C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈ A)的圖象． C 上每一點的坐標(biāo) (x， y)均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x)，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對 x、 y 為坐標(biāo)的點 (x， y)，均在 C 上 . (2) 畫法 描點法： 圖象變換法 常用變換方法有三種 平移變換 伸縮變換 對稱 變換 4．區(qū)間的概念 （ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 （ 2）無窮區(qū)間 （ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示． 5．映射 一般地，設(shè) A、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則 f，使對于集合 A 中的任意一個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f： A? B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“ f（對應(yīng)關(guān)系）： A（原象） ? B（象）” 對于映射 f： A→ B 來說，則應(yīng)滿足： (1)集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應(yīng)的象可以是同一個； (3)不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。 (2)各部分的自變量的取值情況． (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集． 補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù) 如果 y=f(u)(u∈ M),u=g(x)(x∈ A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈ A) 稱為 f、 g 的復(fù)合函數(shù)。 二．函數(shù)的性質(zhì) (局部性質(zhì) ) （ 1）增函數(shù) 設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為 I，如果對于定義域 I 內(nèi)的某個區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1， x2，當(dāng) x1x2時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù) .區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間 . 如果對于區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值 x1， x2，當(dāng) x1x2 時，都有 f(x1)＞ f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù) .區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間 . 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)； （ 2） 圖象的特點 如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間上具有 (嚴(yán)格的 )單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的 . (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A) 定義法： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 變形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定號（即判斷差 f(x1)－ f(x2)的正負(fù)）； ○ 5 下結(jié)論（指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性）． (B)圖象法 (從圖象上看升降 ) (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 復(fù)合函數(shù) f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x)， y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減” 注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集 . 8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)） （ 1）偶函數(shù) 一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(－ x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函數(shù)． （ 2）．奇函數(shù) 一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數(shù)． （ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱． 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： ○ 1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關(guān)系； ○ 3 作出相應(yīng)結(jié)論：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)． 注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù) .若對稱， (1)再根據(jù)定義判定 。 (2)由 f(x)177。 f(x)=0 或 f(x)／ f(x)=177。 1 來判定 。 (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 . 函數(shù)的解析表達(dá)式 （ 1） .函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域 . （ 2）求函數(shù)的解析式的主要方法有： 湊配法 待定系數(shù)法 換元法 消參法 10．函 數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本 p36 頁） ○ 1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? ○ 2 利用圖象求函數(shù)的最大（小）值 ○ 3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担? 如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間 [b， c]上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在 x=b 處有最大值f(b)； 如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間 [b， c]上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在 x=b 處有最小值f(b)； 例題： ： ?2 2 1533xxy x ??? ?? ? 211 ( )1xy x???? fx() 的定義域為 [ ]01， ，則函數(shù) f x( )2 的定義域為 _ _ ( 1)fx? 的定義域為 [ ]?2 3， ，則函數(shù) (2 1)fx? 的定義域是 22( 1)( ) ( 1 2)2 ( 2)xxf x x xxx? ? ???? ? ? ????? ，若 ( ) 3fx? ，則 x = ： ? 2 23y x x? ? ? ()xR? ? 2 23y x x? ? ? [1,2]x? (3) 12y x x? ? ? (4) 2 45y x x? ? ? ? 2( 1) 4f x x x? ? ?，求函數(shù) ()fx， (2 1)fx? 的解析式 ()fx滿足 2 ( ) ( ) 3 4f x f x x? ? ? ?，則 ()fx= 。 ()fx是 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) [0, )x? ?? 時 , 3( ) (1 )f x x x??,則當(dāng) ( ,0)x??? 時 ()fx= ()fx在 R 上的解析式為