【正文】 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) 第六章 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 2 ? 實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱 連續(xù)系統(tǒng) 或 分布參數(shù)系統(tǒng)。 ? 由于確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此 連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)。 ? 連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是 二階常微分方程組，它是 偏微分方程。 ? 在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒(méi)有什么差別， 連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 3 教學(xué)內(nèi)容 ? 一維波動(dòng)方程 ? 梁的彎曲振動(dòng) ? 集中質(zhì)量法 ? 假設(shè)模態(tài)法 ? 模態(tài)綜合法 ? 有限元法 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 4 （ 1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。 說(shuō) 明 （ 2）材料均勻連續(xù)；各向同性。 （ 3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提 。 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 5 ? 一維波動(dòng)方程 ? 動(dòng)力學(xué)方程 ? 固有頻率和模態(tài)函數(shù) ? 主振型的正交性 ? 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng) 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 6 ? 動(dòng)力學(xué)方程 （ 1）桿的縱向振動(dòng) 討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng) 桿長(zhǎng) l 假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面 截面積 S ?材料密度 彈性模量 E 忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形 ),( txplx0),( txp 單位長(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)： 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 7 ),( txu 桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移 微段分析 ),( txplx0x dxdxtxp ),(dxudxxuu ???22xuSdx???dxxFF ???F微段應(yīng)變： xudxudxxuu????????)(?橫截面上的內(nèi)力： xuESESF???? ?由達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx ),()(22 ?????????連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 8 ),( txu桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移 ),( txplx0x dx橫截面上的內(nèi)力： xuESESF???? ?由達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx ),()(22 ?????????),()(22 txpxuESxt uS ?????????代入，得： 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 對(duì)于等直桿， ES 為常數(shù) ),(1222022 txpSxuatu????????/0 Ea ? 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 9 （ 2）弦的橫向振動(dòng) 弦兩端固定，以張力 F 拉緊 在分布力作用下作橫向振動(dòng) yxFF ),( txpx dx),( txyo建立坐標(biāo)系 xoy),( txy 弦上距原點(diǎn) x 處的橫截面在 t 時(shí)刻的橫向位移 ),( txp 單位長(zhǎng)度弦上分布的作用力 ? 單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量 微段受力情況 達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFtydx ),()(22 ???????? ????弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 ?/0 Ea ?令： xy????并考慮到： ),(1222022txpx yat y ???????得： 彈性橫波的縱向傳播速度 0apdx22tydx????dxx??? ??dx FF連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 10 （ 3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 細(xì)長(zhǎng)圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面 截面的極慣性矩 Ip ?材料密度 切變模量 G ),( txp ：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)： ),( tx? 為桿上距離原點(diǎn) x 處的截面在時(shí)刻 t 的角位移 截面處的扭矩為 T 微段 dx 受力 ),( txpx0x dxpdxT dxxTT ???22tdxI p ?? ??dxIp? ：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 11 代入，得： 微段 dx 受力 ),( txpx0x dxpdxT dxxTT ???22tdxI p ?? ??達(dá)朗貝爾原理： pdxTdxxTTtdxI p ???????? )(22 ??材料力學(xué)： xGIT p ??? ?即： ),(22txpxTtI p ?????? ??),()(22txpxGIxtI pp ???????? ???圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程 對(duì)于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù) ),(1222022txpIxatp??? ??????有： ?Ga ?0剪切彈性波的縱向傳播速度 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 12 小結(jié)： （ 1）桿的縱向振動(dòng) ),(1222022 txpSxuatu???????（ 2）弦的橫向振動(dòng) ),(1222022txpx yat y ???????雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于 一維波動(dòng)方程 。 （ 3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) ),(1222022txpIxatp??? ??????連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 13 ? 固有頻率和模態(tài)函數(shù) 以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象 方程： ),(1222022 txpSx uat u ???????縱向自由振動(dòng)方程： 222022xuatu??????/0 Ea ?假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè) ： )()(),( tqxtxu ??q(t) 表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) )(x? 桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動(dòng)振幅 代入，得： ??? ????? )( )()( )( 20 xxatq tq??),( txplx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 14 ??? ??? )( )()( )(39。39。20 xxatqtq??記： 2?? ????????????0)()()(0)()(202xaxtqtq??????)s i n ()( ?? ?? tatq0201 c oss i n)( axcaxcx ??? ??通解： （確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為 模態(tài) ） ?,21 cc 由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù) ， 表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 由頻率方程確定的固有頻率 有無(wú)窮多個(gè) i? （下面講述） 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 15 第 i 階主振動(dòng)： )s i n ()( ?? ?? tatq0201 c oss i n)( axcaxcx ??? ??222022xuatu????? )()(),( tqxtxu ??i? )(xi?一一對(duì)應(yīng) )2,1(),s i n ()(),()( ???? itxatxu iiiii ??φ系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： ?????1)s i n(),(iiiii tatxu ???連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 16 幾種常見(jiàn)邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) （ 1）兩端固定 邊界條件： 0)()0(),0( ?? tqtu ? 0)()(),( ?? tqltlu ?不能恒為零 )(tq0)0( ?? 0)( ?l?故： 0201 c oss in)( axcaxcx ??? ??代入模態(tài)函數(shù) 02 ?c得： 0sin0?a l?（桿的縱向振動(dòng)頻率方程 ） 無(wú)窮多個(gè)固有頻率： ),2,1,0(,0 ??? ilaii ??由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零 模態(tài)函數(shù) ： lxicxii?? s in)( ? ),2,1,0( ??ilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 17 （ 2）兩端自由 特征：自由端的軸向力為零 邊界條件 ： 0),0( ??? x tuES 0),( ??? x tluES)()(),( tqxtxu ??0)0( ???得： 0)( ?? l?lxicxii?? c os)( ?零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移 0201 c oss in)( axcaxcx ??? ??頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同 ),2,1,0( ??i固有頻率： ),2,1,0(,0 ??? ilaii ??模態(tài)函數(shù)： 01?c得出： 0c os0?a l?lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 18 （ 3）一端固定，一端自由 特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ： 0),( ???xtluES)()(),( tqxtxu ??得： 0)0( ?? 0)( ?? l?0c os0?a l?02 ?c0201 c oss in)( axcaxcx ??? ??固有頻率： 0),0( ?tu模態(tài)函數(shù)： ,...2,1,)2 12( ??? ilaii ??,...2,1),2 12s in ()( ??? ixlicx ii ??lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 或： ,...5,3,1,2 ?? ilaii ??,...5,3,1),2s in ()( ?? ixlicx ii ??2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 19 左端自由，右端固定 特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ： 0),0( ???xtuES)()(),( tqxtxu ??得： 0)( ?l? 0)0( ???0c os0?a l?01 ?c0201 c oss in)( axcaxcx ??? ??固有頻率： 0),( ?tlu模態(tài)函數(shù)： lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) ,...5,3,1,2 ?? ilaii ??,...5,3,1),2s in ()( ?? ixlicx ii ??2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 20 邊界條件 0)( ?l? 0)0( ???0c os0?a l?模態(tài)函數(shù) lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) ,...5,3,1,2 ?? ilaii ??,...5,3,1),2s in ()( ?? ixlicx ii ??lx00)0( ?? 0)( ?? l?0c os0?a l?頻率方程 固有頻率 ,...5,3,1,2 ?? ilaii ??,...5,3,1),2s in ()( ?? ixlicx ii ??2022年 2月 1日 《振動(dòng)力學(xué)》 21 例： 一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。