[研究生入學(xué)考試]電磁場與電磁波(已修改)
2024-12-20 01:24 本頁面
【正文】 第一章 矢量分析 (3) 1 場：描述空間物理量的函數(shù)。 標(biāo)量場 :地形的高度，電容器內(nèi)部的點位，一杯熱水周圍的問題等 矢量場 :地球的重力場，黑洞的引力場，靜電場，靜磁場，臺風(fēng)速度場 穩(wěn)態(tài)場 :場值不隨時間變化。高度場，地球重力場，靜電場等等 時變場 :場值隨時間變化。溫度場，電磁波，電離層電子濃度等 標(biāo)量場的梯度 ? ? 0,f x y u?? ?0,f x y u u? ? ?P 1Q0Q 1l?0l?以下通過等高線來說明梯度的概念： (1)等高線的概念 地圖上所有相同高度的點連成的曲線為等高線，任意兩條等高線不可能相交。 電視劇 亮劍 中李云龍對楚云飛吹噓：天生就看得懂的地圖就是等高線地圖 (2)方向?qū)?shù) 從一條等高線 (紅線 )到另外一條等高線 (藍線 )的坡度 由于兩條等高線分別為： ? ? 0,fyzxu? ? ? 0, yuzf x u? ? ?則坡度可以近似表示 為 ?tan ul? ?? ?對于固定的 P點，向不同方向行進，坡度顯然不一樣。即坡度 (方向系數(shù) )與方向有關(guān) 第一章 矢量分析 (3) 2 根據(jù)微分概念，顯然當(dāng) △ l盡可能小。 不要和我說速度的定義沒有學(xué)過 ?tan ul? ?? ? 0ta n l iml u d u d fl d l d l? ?? ?? ? ??不同的方向坡度仍然不同 設(shè)點 P的坐標(biāo)為 (x,y,z)， Q點坐標(biāo)為 (x+dx,y+dy,z+dz) (3)計算方向?qū)?shù) ? ? ? ? ? ?2 2 2P Q d l d x d y d z? ? ? ?PQxyzd ld xd yd zta n d f f d x f d y f d zd l x d l y d l z d l? ? ? ?? ? ? ?? ? ?技巧 f f f d x d y d zx y z d l d l d l????? ????? ??? ? ? ????常矢量 與方位有關(guān)的矢量 A B c os c os? ? ?c osx y z? ? ?? ? ?1B?ta n c o s c o sa b a bA B A? ? ???第一章 矢量分析 (3) 3 ta n c o s c o sa b a bA B A? ? ???? ? ?f f fA x y zx y z? ? ?? ? ?? ? ?(4)梯度的導(dǎo)出 根據(jù)上式可以看到坡度 (方向?qū)?shù) )是能夠取最大值的，即最陡方向。何時取最大值？ ? ?m a xtan A? ?? ?c os 1abif ? ?f??標(biāo)量場 f的梯度定義 矢量微分算子， Del算子，梯度算子， nabla算子 ? ? ?x y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?(5)梯度的物理意義 一個標(biāo)量場在某一點的梯度表明了該點的最陡方向 (單位矢量 )及其陡峭程度 (數(shù)值 ) (6)梯度的性質(zhì) ?一個標(biāo)量場的梯度是矢量 ?一個標(biāo)量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影 ?某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向 第一章 矢量分析 (3) 4 (7)圓柱坐標(biāo)系下梯度的計算式 1 ?? ?f f ffzz??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?(8)球坐標(biāo)系下梯度的計算式 11? ??s inf f ffrr r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?(9)廣義坐標(biāo)下梯度的計算式 1 1 1? ? ?u v wf f ff u v wh u h v h w? ? ?? ? ? ?? ? ?第一章 矢量分析 (3) 5 一個標(biāo)量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影 某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向 ta n c o s c o sa b a bA B A? ? ???證明 (1)： 其中 a為梯度的方向， b為“該方向”單位矢量，故可得結(jié)論 uuu??l?0l???n?m證明： (1)如果等高線的變化非常小，那么在非常小的局部區(qū)域，等高線是什么關(guān)系？ (2)梯度的數(shù)值即為方向?qū)?shù)的最大值。 要使方向?qū)?shù)最大，也就意味著所取方向為連接 P與另一條等位線上最近點的方向，什么方向最?。? 0ufl????P 證明 (2)： 如圖所示： 0?ufnl????其他方向的方向?qū)?shù)： 01 0 1luul l l????? ? ? 0 cosul ???? ? ?0 ? ?u nml???? 0 ? ?u nml?????????? ?fm?? ?第一章 矢量分析 (3) 6 ，證明： 例題 1:已知 證明： ? ? ? ? ? ?2 2 2R x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?(1) ? ...RRxx?? ? ?? ? ?? ? ? ?2211 22xxR xxx x Rxx????? ?? ? ????… (2) ? ?11? ...R xRx?? ? ?? ? ? ? ? ? ?211 1R R x xRx R x R R ?? ? ??? ? ?? ? ?… (3) ? ? ? ? ? ...fRf R xx?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2f R f R f RR xxx R x R? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?… ? ? ? ? ? ? ? ?2f R f R f RR xxx R x R? ? ?? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ...fRf R xx??? ? ??? … … Remember it forever! 第一章 矢量分析 (3) 7 例題 2: 求標(biāo)量場 ? ? 23, , 6 zf x y z x y e??在點 P(2,1,0)處的梯度。 解：由于標(biāo)量場給出的是直角坐標(biāo)系下的表達式，因此它的梯度能夠直接使用直角坐標(biāo)系下的結(jié)果，即 2 3 2 3 2 33 2 2? ? ?6 6 6? ? ?12 18z z zzf x y e x x y e y x y e zx y zx y x x y y e z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?例題 3: 給出圓柱坐標(biāo)系下矢徑 ? ?r zz???? 的幅度梯度。 解：矢徑 r的幅度為 ?rr??22r r z?? ? ?2222??zz? ???? ??? ?? ?221? 0z? ????? ??2222??z zzzz z???? ?? ?1 ?? ?f f ffzz??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?第一章 矢量分析 (4) 8 矢量場的通量與散度 矢量場性質(zhì)：各點的場量是歲空間位置變化的矢量。如漩渦的力場是直觀的例子。 表達形式： ? ?,F F x y z??
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