【正文】 第 1章 波函數(shù)和薛定諤方程 微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。 量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) ； 波函數(shù)所遵從的方程 ——薛定諤方程是量子力學(xué) 的基本方程。 這一章開始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。 主要介紹 二個(gè)基本假設(shè) ： A. 微觀粒子行為由波函數(shù)描述 ,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。 B. 描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。 167。 . 物質(zhì)波的波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 、實(shí)物粒子的波動(dòng)性 、波粒二象性的分析 /Ehph???? 經(jīng)典物理學(xué)中粒子與波的有關(guān)概念 經(jīng)典概念中粒子意味著： ?有一定質(zhì)量 、 電荷等 “ 顆粒性 ” 的屬性 。 ?有確定的運(yùn)動(dòng)軌道 ， 每一時(shí)刻有一定位置和速度 。 經(jīng)典概念中波意味著： ?某種實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化 。 ?干涉 、 衍射現(xiàn)象 ， 即相干疊加性 。 P P O 電子源 感光屏 電子的衍射實(shí)驗(yàn) ，開始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣 。 2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣 . 單電子衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析： ?“亮紋”處是到達(dá)該處的電子數(shù)多，或講電子到達(dá) 該處的幾率大。 “暗紋”處是到達(dá)該處的電子數(shù)少，或講電子到達(dá) 該處的幾率小。 ?衍射圖樣由電子波動(dòng)性引起 “亮紋”處表示該處波強(qiáng)度 |Ψ (r)|2大， “暗紋”處表示該處波強(qiáng)度 |Ψ (r)|2小， 所以，電子到達(dá)屏上各處的幾率與波的強(qiáng)度成正 比 . (1)波由粒子組成 波是由粒子組成的 ， 把波看成是由大量粒子相互作用而在空間形成的一種疏密相間的周期分布 。 (2)粒子由波組成 電子是波包 。 把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu) ， 是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包 。 因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象 。 波包的大小即電子的大小 ， 波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度 。 對(duì)波粒二象性的兩種錯(cuò)誤的看法 幾（概）率波 例： 一維自由粒子的波函數(shù) 經(jīng)典描述： 沿 x 軸勻速直線運(yùn)動(dòng) 量子描述 ： 確定，守恒； ??pE ?,類比： 單色平面波 ??, 一定 沿直線傳播 以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)， .0 方向傳播沿，以速率設(shè) xu ???)(2c os)(c os 00 ???? xtuxt ???????)(2c os0 ph xthE ??? ? )(1c os0 xpxEt ???? ?)(0),(xpEti xetx ?????? ? （取實(shí)部） 如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) ，它的動(dòng)量和能量不再是常量 （ 或不同時(shí)為常量 ）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫 ， 這樣的微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也可以用較復(fù)雜的波完全描述 。 ()i p r E tp Ae????( , )rt?描述自由粒子 (三維）可用平面波波函數(shù)來(lái)描述。 2( , , ) ( )x y z r?? ?(1)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（量子力學(xué)的基本原理） 波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度 （模的平方） 和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。 |Ψ (r,t)|2 Δx Δy Δz 與此 t時(shí)刻 ,在 r點(diǎn)處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的幾率成正比。或者講波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。 DB所提出的由波函數(shù)所描述的 “ 物質(zhì)波 ”是刻畫粒子在空間幾率分布的幾率波 。 這就是首先由 Born 提出的 波函數(shù)的幾率解釋 ，它是 量子力學(xué)的基本原理 。 經(jīng)典概念和量子力學(xué)對(duì)粒子和波的理解： ????????形式出現(xiàn)只是以一種幾率分布的無(wú)確定軌道定論微觀粒子不遵循經(jīng)典決沿確定軌道運(yùn)動(dòng)論經(jīng)典認(rèn)為遵循經(jīng)典決定不同點(diǎn)電荷等屬性的客體即是具有一定質(zhì)量顆粒性共同點(diǎn)粒子性,:,:????????描述的只是一種幾率波存在這樣的物理量量子力學(xué)中的物質(zhì)波不期性變化物理量的空間分布作周經(jīng)典波是指某種實(shí)在的不同點(diǎn)具有相干迭加性遵循波動(dòng)規(guī)律共同點(diǎn)波動(dòng)性,:,:例： 一維自由粒子： )(0)(02 *|),(| xptEhixptEixx eetx ?????? ????????? ?20??波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 光柵衍射 電子衍射 類比 )(0),(xpEti xetx ?????? ?2oEI ? 2|| ??INNhI ?? ? NI ?I大處 到達(dá)光子數(shù)多 I小處 到達(dá)光子數(shù)少 I=0 無(wú)光子到達(dá) 各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定 用 I對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述 各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定 2|| ?用 對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述 電子到達(dá)該處概率大 電子到達(dá)該處概率為零 電子到達(dá)該處概率小 光柵衍射 電子衍射 在 t時(shí)刻 ,r點(diǎn)， dτ=dxdydz 體積內(nèi)找到由波函數(shù) Ψ(r,t) 描寫的粒子的幾率是： dW(r,t)=C|Ψ(r,t)| 2dτ 其中， C是比例系數(shù)。 (2) 波函數(shù)的物理意義 幾率分布 2( , ) ( , )r t r t?? ?? ? 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 在 t時(shí)刻 r點(diǎn) ,單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}= C|Ψ(r,t)| 2 稱為 幾率密度 。 在體積 V內(nèi) ,t時(shí)刻找到粒子的幾率為： W(t)=∫ VdW =∫ Vω(r,t)dτ=C∫ V|Ψ(r,t)| 2dτ 波粒二象性的圖象： 22( 1 )( 2)( 3 ).????微 粒 仍 是 一 粒 一 粒 的 但 是波 函 數(shù) 并 不 絕 對(duì) 確 定 地 給 出 什 么 時(shí) 刻粒 子 到 達(dá) 哪 一 地 點(diǎn) 而 只 是 給 出 可 能 到 達(dá) 地 點(diǎn) 的一 個(gè) 統(tǒng) 計(jì) 分 布 粒 子 的 運(yùn) 動(dòng) 受 到 波 函 數(shù) 向 導(dǎo)它 往 往 出 現(xiàn) 在 大 的 地 方而 不 會(huì) 出 現(xiàn) 在 小 的 地 方 同 時(shí)又 是 以 波 的 方 式 在 空 間 傳 播于 是 粒 子 的 運(yùn) 動(dòng) 又 表 現(xiàn) 出 波 動(dòng) 性總 之 微 粒 的 運(yùn) 動(dòng) 遵 從 的 是 統(tǒng) 計(jì) 性 的 規(guī) 律而 不 同 于 經(jīng) 典 力 學(xué) 的 確 定 性 規(guī) 律(3) 波函數(shù)的不確定性： 常數(shù)因子不定性： 和 描述同一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 。 ()Cr?()r?因?yàn)樵? t 時(shí)刻 ,空間任意兩點(diǎn) r1 和 r2 處找到粒子的相對(duì)幾率之比是： 221221),(),(),(),(trtrtrCtrC ?????????注意： 一個(gè)經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)能量 將為原來(lái)的 4倍，即代表了完全不同的狀態(tài)。 相位因子不定性： 與 述同一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， ei?稱為相因子。 ()r? () iC r e ??對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè) 模為一的相因子不定性 。 若 Ψ (r , t ) 是歸一化波函數(shù)，那末， exp{iα} Ψ (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中 α 是實(shí)數(shù)） (4)波函數(shù)的歸一化 *()( , ) d? ? ? ? ?? ?全2()d??? ?全( , ) 1?? ?歸一化條件就可以簡(jiǎn)單表示為 ： 粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為 1 一維坐標(biāo)系 （ 設(shè)沿方向 ） 的情況下： 三維直角坐標(biāo)系的情況下： 三維球坐標(biāo)系的情況下： 2()rd??? ?? 有 限 值? ?? ??? dxd ~???? ? ??????? ??? dzdydxd ~???? ?? ? ?? ???? 2022 2 dddrrd s i n~歸一化條件要求波函數(shù) 平方可積 也就是說(shuō)， (A)1/2? (x,y,z)是歸一化的波函數(shù)，與 ? (x,y,z)描寫同一幾率波， (A)1/2稱為 歸一化因子 。 2()r d A??? ??21( ) 1rdA?????若 ?(r,t)沒有歸一化， （ A是大于零的常數(shù)） 求幾率密度 : 2( , , , ) ( , , )x y z t x y z?? ?2( , , ) 1x y z d??? ?? 則有 特例 : 自由粒子的波函數(shù)無(wú)法正常歸一化 ()221ip r EtAedAd??????????????自 由 粒 子 德 布 洛 意 平 面 波 為歸 一 化 條 件 為所 以 德 布 洛 意 平 面 波 無(wú) 法正 常 歸 一 化設(shè)粒子的波函數(shù)為 ,(已歸一化 )求 (1) 在 (x,x+dx)范圍內(nèi)找到粒子的幾率 。 (2) 在 (y1,y2)范圍內(nèi)找到粒子的幾率 。 (3) 在 (x1,x2)及 (z1,z2)范圍內(nèi)找到粒子的幾率 。 ),( zyx??? ?????? dzzyxdydx 2),(???? ?????? dzzyxdydx yy 2),(21 ? ??? ??? 2121 2),(zzxx dzzyxdydx ?例題 1 t 時(shí)刻第 1 個(gè)粒子處于 r1 處 dr1 內(nèi) , 同時(shí)第 2 個(gè)粒子處于 r2 處 dr2 內(nèi) ,……….. 同時(shí)第 ` N 個(gè)粒子處于 rN 處 drN 內(nèi)的幾率為 : (5) 多粒子體系的推廣 ),( 21 trrr N?????2 3 3 31 2 1 2( , , , )NNr r r t