遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(8)(已修改)
2024-10-29 02:04 本頁面
【正文】 第十一章 無窮級數(shù)習(xí)題課 (一 ) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 一、定義及性質(zhì) 2． 斂散性定義 3．性質(zhì) 必要性 : 線性運(yùn)算性質(zhì) : 則級數(shù)收斂，否則級數(shù)發(fā)散。 l i m 0 .nn a????設(shè)級數(shù) 為常數(shù) 11, , ,nnnnu s v ? ? ?????????則 1()nnnu v s? ? ? ? ???? ? ??設(shè) ，如果 存在， 1nnnkSa?? ? lim nn Ss?? ?級數(shù) 收斂 1nna???1． 常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1nna???4．常數(shù)項(xiàng)級數(shù)類型 正項(xiàng)級數(shù) 交錯(cuò)級數(shù) 任意項(xiàng)級數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1nna????????0na ?( 1 ) , 0nn n na u u? ? ?naR?二、判別常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的解題方法 若成立，則需作進(jìn)一步的判別。 判別常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1nna??? 的斂散性，應(yīng)先考察是否有 成立。若不成立，則可判定級數(shù)發(fā)散； lim 0nn a?? ?此時(shí)可將常數(shù)項(xiàng)級數(shù)分為兩大類，即正項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)。 對于正項(xiàng)級數(shù)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用比值法或根值法。若此 二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進(jìn)一步判別； 若不收斂，但級數(shù)是交錯(cuò)級數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判 別法，若能判別級數(shù)收斂，則原級數(shù)條件收斂； 對于一般的任意項(xiàng)級數(shù)，則可考慮利用利用級數(shù)收斂定義、 性質(zhì)等判別。 解題方法流程圖如下圖所示。 對于任意項(xiàng)級數(shù)，一般應(yīng)先考慮正項(xiàng)級數(shù) 是否收斂。 若收斂，則可判定原級數(shù)收斂，且為絕對收斂； 1nna???解題方法流程圖 Yes 判斷 的斂散性 1 nn a???比值法 根值法 比較法 1??找正項(xiàng)收斂 級數(shù) 1 nn b???找正項(xiàng)發(fā)散 級數(shù) 1 nn c???用其它方法證明 0na ?lim 0nn a?? ?No 1||nn a??? 1lim nn naa? ???? limnnn a? ??? 1?? 1??( 1)nnnau??萊布尼茲判別法 nnab?Yes No No No Yes No Yes No Yes 為正項(xiàng)級數(shù) 1 nn a??? 為任意項(xiàng)級數(shù) 1 nn a??? 發(fā)散 1 nn a??? 收斂 1 nn a??? 收斂 1 nn a??? 發(fā)散 1 nn a??? 條件收斂 1 nn a??? 絕對收斂 1 nn a??? 為交錯(cuò)級數(shù) 1 nn a??? 收斂 1||nn a??? 且 lim 0nn u?? ?1,nnuu?? nn ca ?三、典型例題 ，由定義 2 2 3 12 2 3 3 4 1(
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