[工學(xué)]第3章復(fù)變函數(shù)的積分(已修改)
2024-10-28 18:46 本頁面
【正文】 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 ? 本章中 ,我們將給出復(fù)變函數(shù)積分的概念 ,然后討論解析函數(shù)積分的性質(zhì) ,其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質(zhì)是解析函數(shù)積分的基礎(chǔ) ,借助于這些性質(zhì) ,我們將得出解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結(jié)論。 本章學(xué)習目標 1了解復(fù)變函數(shù)積分的概念 。 2了解復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) 。 3掌握積分與路經(jīng)無關(guān)的相關(guān)知識 。 4熟練掌握柯西 — 古薩基本定理 。 5會用復(fù)合閉路定理解決一些問題 。 6會用柯西積分公式 。 7會求解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) . ? 定義 1：有向曲線； ? 有向曲線的正向記為 ；負向記為 ． ? 若 是一條光滑的簡單閉曲線，則規(guī)定逆時針方向為 的正向，順時針方向為 的負向． +C C?CCC 定義 2：設(shè)有向曲線 起點為 ，終點為 ，函數(shù) 在 上有定義．沿 到 的方向把曲線任意分成個弧段，設(shè)分點為 ，在每個弧段 上任意取一點 ，并作和式 ，其中 ．記 的長度， ，．當 時，如果和式的極限存在，且此極限值與對 的分法及 的取法無關(guān)，則稱此極限值為 沿從 到 的積分，記為 ． CCA B ()fzA BBzzzzzzA nkk ?? ? ,, 1210 ??1kkzz? k?1()nn k kkS f z????? 1???? kkk zzz 1k k ks z z???}{ma x1 knk s?? ??? 0??C k?()fz A B()C f z d z? ? 1) 當 是連續(xù)函數(shù)且 是光滑 (或按段光滑 ) 曲線時，則積分 一定存在。 ? 2)可以通過兩個二元實變函數(shù)的積分來計算。 ? 若光滑曲線 ： ，則 （參數(shù)方程法） ()fz C()C f z d z?( ) ( i ) ( i ) iC C C Cf z d z u v d x d y u d x v d y v d x u d y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?C ( ) ( ) i ( ) , ( )z z t x t y t t??? ? ? ? ?39。( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )C f z dz f z t dz t f z t z t dt??????? ? ? 積分的性質(zhì) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?dzzfkdzzfk cc ?? ?? ? ? ? 。ccf z d z f z d z?????? ? ? ? ? ? ? ? 。c c cf z g z d z f z d z g z d z? ? ?????? ? ?? ? ? ?ccf z d z f z d s M L????例 1計算 其中 為從原點到點 的直線段。 ? 解 直線的方程可寫成 ? 又因為 ? 容易驗證，右邊兩個線積分都與路線 無關(guān)，所以 的值無論 是怎樣的曲線都等于 ,dzzc? Ci43?10,4,3 ???? ttytx? ? ? ? ? ? ? ? 22210210 2 43210143214343 itit dtit dtidzzc ???????? ???? ?? ? x d yy d xiy d yx d xi d ydxiyxdzz c ccc ??????? ? ???Cdzzc? C? ?24321 i?例 2計算 其中 為以 中心， 為半徑的正向圓周 ,
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