[工學(xué)]信號與系統(tǒng)教案第2章(已修改)
2024-10-28 18:24 本頁面
【正文】 信號與系統(tǒng) 第 21頁 ■ 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于 0和 0+初始值 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng) 二、階躍響應(yīng) 卷積積分 一、信號時域分解與卷積 二、卷積的圖解 卷積積分的性質(zhì) 一、卷積代數(shù) 二、奇異函數(shù)的卷積特性 三、卷積的微積分性質(zhì) 四、卷積的時移特性 點擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 信號與系統(tǒng) 第 22頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為： 建立并求解線性微分方程 。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間 t，故稱為 時域分析法 。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解 y(n)(t) + an1y (n1)(t) + …+ a 1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm1f (m1)(t) + …+ b 1f(1)(t) + b0f (t) 信號與系統(tǒng) 第 23頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解 ) = yh(t)(齊次解 ) + yp(t)(特解 ） 齊次解 是齊次微分方程 y(n)+an1y(n1)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。 yh(t)的函數(shù)形式 由上述微分方程的 特征根 確定。 例 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（ 1）當(dāng) f(t) = 2et， t≥0； y(0)=2， y’(0)= 1時的全解； （ 2）當(dāng) f(t) = e2t， t≥0； y(0)= 1， y’(0)=0時的全解。 特解 的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。 P43表 2 22 齊次解 的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的 固有響應(yīng) 或 自由響應(yīng) ； 特解 的函數(shù)形式由激勵確定，稱為 強(qiáng)迫響應(yīng) 。 信號與系統(tǒng) 第 24頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 解 : (1) 特征方程為 λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根 λ1= – 2，λ2= – 3。齊次解為 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 由表 22可知，當(dāng) f(t) = 2e – t時，其特解可設(shè)為 yp(t) = Pe – t 將其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解為 yp(t) = e – t 全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常數(shù) C1,C2由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ， C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 信號與系統(tǒng) 第 25頁 ■ （ 2） 齊次解同上 。 當(dāng)激勵 f(t)=e–2t時 ， 其指數(shù)與特征根之一相重 。 由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得 P1e2t = e–2t 所以 P1= 1 但 P0不能求得 。 全解為 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 將初始條件代入 ， 得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一項的系數(shù) C1+P0= 2，不能區(qū)分 C1和 P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 信號與系統(tǒng) 第 26頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 二、關(guān)于 0和 0+初始值 若輸入 f(t)是在 t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù) Ci時用 t = 0+時刻的 初始值 ，即 y(j)(0+) (j=0,1,2… ， n1)。 而 y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。 在 t=0時，激勵尚未接入，該時刻的值 y(j)(0)反映了 系統(tǒng)的歷史情況 而與激勵無關(guān)。稱這些值為 初始狀態(tài) 或 起始值 。 通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0)設(shè)法求得 y(j)(0+)。下列舉例說明。 信號與系統(tǒng) 第 27頁 ■ 例 ： 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知 y(0)=2， y’(0)= 0， f(t)=ε(t)
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