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[工學(xué)]信號(hào)與系統(tǒng)教案第2章 (2)-文庫吧

2024-10-01 18:24 本頁面


【正文】 y(0+) = y(0) = 2 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 29頁 ■ ????? ?????????? ???? 0000000000 )(6)(2)(2)(39。3)(39。39。 dttdttdttydttydtty ??由于積分在無窮小區(qū)間 [0, 0+]進(jìn)行的,且 y(t)在 t=0連續(xù), 故 ? ??? ?? ??00 00 0)(,0)( dttdtty ?于是由上式得 [y’(0+) – y’(0)] + 3[y(0+) – y(0)]=2 考慮 y(0+) = y(0)=2 ,所以 y’(0+) – y’(0) = 2 , y’(0+) = y’(0) + 2 =2 由上可見, 當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)(及其各階導(dǎo)數(shù))時(shí),響應(yīng) y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中,有些在 t=0處將發(fā)生躍變。 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 對(duì)式 (1)兩端積分有 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 210頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分別用經(jīng)典法求解。 注意 : 對(duì) t=0時(shí)接入激勵(lì) f(t)的系統(tǒng),初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j = 0, 1, 2, … , n1)的計(jì)算。 y(j)(0)= yzi(j)(0)+ yzs(j)(0) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 對(duì)于 零輸入響應(yīng) ,由于激勵(lì)為零,故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0) = y (j)(0) 對(duì)于 零狀態(tài)響應(yīng) ,在 t=0時(shí)刻激勵(lì)尚未接入,故應(yīng)有 yzs(j)(0)=0 信號(hào)與系統(tǒng) 第 211頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 例 :描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知 y(0)=2, y’(0)=0, f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解 :( 1) 零輸入響應(yīng) yzi(t) 激勵(lì)為 0 ,故 yzi(t)滿足 yzi”(t) + 3yzi’(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0)= y(0)=2 yzi’(0+)= yzi’(0)= y’(0)=0 該齊次方程的 特征根 為 –1, – 2,故 yzi(t) = Czi1e –t + Czi2e –2t 代入初始值并解得系數(shù)為 Czi1=4 ,Czi2= – 2 ,代入得 yzi(t) = 4e –t – 2e –2t ,t 0 信號(hào)與系統(tǒng) 第 212頁 ■ LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) ( 2) 零狀態(tài)響應(yīng) yzs(t) 滿足 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有 yzs(0) = yzs’(0) = 0 由于上式等號(hào)右端含有 δ(t),故 yzs”(t)含有 δ(t),從而yzs’(t)躍變,即 yzs’(0+)≠yzs’(0),而 yzs(t)在 t = 0連續(xù),即yzs(0+) = yzs(0) = 0,由上式積分得 [yzs’(0+) yzs’(0)]+ 3[yzs(0+) yzs(0)]=2 因此, yzs’(0+)= 2 + yzs’(0)=2 對(duì) t0時(shí),有 yzs”(t) + 3yzs’(t) + 2yzs(t) = 6 不難求得其齊次解為 Czs1et + Czs2e2t,其特解為常數(shù) 3, 于是有 yzs(t)=Czs1et + Czs2e2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= – 4et + e2t + 3 , t≥0 信號(hào)與系統(tǒng) 第 213頁 ■ 系統(tǒng)全響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) 齊次解 特解 暫態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 214頁 ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù) δ(t)所引起的 零狀態(tài)響應(yīng) 稱為 單位沖激響應(yīng) ,簡稱沖激響應(yīng),記為 h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)] 信號(hào)與系統(tǒng) 第 215頁 ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 若 n階微分方程的等號(hào)右端只含激勵(lì) f(t),即若 y(n) (t)+an1y(n1) (t)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=f(t) 則當(dāng) f(t)= δ(t)時(shí),其 零狀態(tài)響應(yīng) 滿足方程 h(n) (t)+an1h(n1) (t)+…+a 1h(1)(t)+a0h(t)= δ(t) h(j)(0)=0,j=0,1,2,…,n 1 可推得各 0+初始值為 h(j)(0+)=0 j=0,1,2,…,n 2 h(n1)(0+)=1 信號(hào)與系統(tǒng) 第 216頁 ■ 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 若描述 LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(n) (t)+an1y(n1) (t)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+ bm1f(m1)(t)+… +b 0f(t) 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)可分兩步進(jìn)行 : ?選新變量 y
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