【正文】 第三章 離散付里葉變換(DFT) Discrete Fourier Transform 第一節(jié) 引 言 一、序列分類 ? 對一個序列長度未加以任何限制，則一個序列可分為： 無限長序列： n=∞~∞或 n=0~∞或 n=∞~ 0 有限長序列： 0≤n≤N1 ? 有限長序列在數(shù)字信號處理是很重要的一種序列。由于計算機(jī)容量的限制，只能對過程進(jìn)行逐段分析。 二、 DFT引入 ? 由于有限長序列，引入 DFT(離散付里葉變換 )。 ? DFT它是反映了“ 有限長 ”這一特點的一種有用工具。 ? DFT變換除了作為有限長序列的一種付里葉表示，在理論上重要之外，而且由于存在著 計算機(jī) DFT的有效快速算法 FFT,因而使離散付里葉變換 (DFT)得以實現(xiàn)，它使 DFT在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心的作用。 三、本章主要討論 ? 離散付里葉變換的推導(dǎo) ? 離散付里葉變換的有關(guān)性質(zhì) ? 離散付里葉變換逼近連續(xù)時間信號的問題 ? 序列的抽取與插值 第二節(jié) 付里葉變換的幾種形式 一、引言 ? 傅 里 葉 變 換 ： 建 立 以 時 間 t 為 自 變 量 的 “ 信 號 ” 與 以 頻 率 f為 自 變 量 的 “ 頻 率 函 數(shù) ” (頻譜 ) 之 間 的 某 種 變 換 關(guān) 系 . ? 所 以 “ 時 間 ” 或 “ 頻 率 ” 取 連 續(xù) 還 是 離 散 值 , 就 形 成 各 種 不 同 形 式 的 傅 里 葉 變 換 對 。 ? 在 深 入 討 論 離 散 傅 里 葉 變 換 D F T 之 前 , 先 概 述 四種 不 同 形式 的 傅 里 葉 變 換 對 二、四種不同付里葉變換對 ? 傅 里 葉 級 數(shù) (FS)： 連 續(xù) 時 間 , 離 散 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 。 ? 傅 里 葉 變 換 (FT)： 連 續(xù) 時 間 , 連 續(xù) 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 。 ? 序 列 的 傅 里 葉 變 換 (DTFT):離 散 時 間 , 連 續(xù) 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 . ? 離 散 傅 里 葉 變 換 (DFT):離 散 時 間 , 離 散 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 ? 假定數(shù)字頻率為 w,模擬頻率為 ?。 里 葉 級 數(shù) (FS) ? 周期連續(xù)時間信號 ?? 非周期離散頻譜函數(shù)。 ? 周期為 T0的周期性連續(xù)時間函數(shù) x(t) 可展成傅里葉級數(shù) X(jkΩ0) ,是離散非周期性頻譜 , 表 示為 : FS 0( ) ( )x t X j k ??000/20 /201( ) ( )T j k tTX jk x t e d tT?? ??? ?正變換:00( ) ( )j k tkx t X jk e ???? ? ?? ?反變換:002 2 FT? ?? ??條件：例子 ? 通過以下 變 換 對 可 以 看 出 時 域 的 連 續(xù) 函 數(shù) 造 成 頻 域 是 非 周 期 的 頻 譜 函 數(shù) , 而 頻 域 的 離 散 頻 譜 就 與 時 域 的 周 期 時 間 函 數(shù) 對 應(yīng) . (頻域采樣，時域周期延 拓 ) 2. 傅 里 葉 變 換 (FT) ? 非周期連續(xù)時間信號 通過連續(xù)付里葉變換 (FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。 ( ) ( )x t X j??( ) ( ) jtX j x t e d t?? ?? ???? ?正變換:1( ) ( )2()jtx t X j e dx t d t??????????????????反變換:條件：例子 ? 以下變換對可以看出 時域 連 續(xù) 函 數(shù) 造成 頻域是非周期 的譜 , 而 時域的非周期 造成 頻域是連續(xù) 的譜 . 列 的 傅 里 葉 變 換 (DTFT) ? 非周期離散的時間信號 (單位圓上的 Z變換(DTFT))得到周期性連續(xù)的頻率函數(shù)。 1( ) ( )2jw jw nx n X e e d w??? ?? ?反變換:: ( ) ( )j w j w nnX e x n e??? ? ?? ?正變換? ?其中 是數(shù)字頻率, 它和模擬角頻率 的關(guān)系為 T? ?? 例子 ? 同樣可看出 ,時域的離散 造成頻域的 周期延拓 ,而時域的非周期 對應(yīng)于 頻域的連續(xù) . 散 傅 里 葉 變 換 (DFT) ? 上面討論的三種傅里葉變換對 ,都不適用在計算機(jī)上運(yùn)算 , 因為至少在一個域 ( 時 域 或 頻 域 ) 中 , 函 數(shù) 是 連 續(xù) 的 . 因 為 從 數(shù) 字 計 算 角 度 , 我 們 感 興 趣 的 是 時 域 及 頻 域 都 是 離 散 的 情 況 , 這 就 是 我 們 這 里 要 談 到 的 離 散 傅 里 葉 變 換 . ? 周期性離散時間信號從上可以推斷： 周期性時間信號 可以產(chǎn)生 頻譜是離散 的 離散時間信號 可以產(chǎn)生 頻譜是周期性 的。 得出其 頻譜為周期性離散 的。也即我們所希望的。 ? 總之，一個域的離散必然造成另一個域的周期延拓。 ?????102)()(NnnkNjenxkX?)()(),()(2nTxnxeXkXkNj???????102)(1)(NnnkNjekXNnx?其中 正變換： 反變換： 二、四種付里葉變換形式的歸納 周期（ ） 和連續(xù) 離散（ T） 和非周期 周期（ ） 和離散 離散（ T） 和周期 非周期和連續(xù) 連續(xù)和非周期 非周期和離散 連續(xù)和周期（ T） 頻譜 函數(shù) 時間 函數(shù) 2T?? ?2T?? ?作業(yè) ? 參看程佩青的光盤第三章的第一節(jié)付里葉變換的四種可能形式的測驗題。 第三節(jié) 離散付里葉級數(shù)(DFS) ? 我 們 先 從 周 期 性 序 列 的 離 散 傅 里 葉 級 數(shù) (DFS) 開 始 討 論 , 然 后 再 討 論 可 作 為 周 期 函 數(shù) 一 個 周 期 的 有 限 長 序 列 的 離 散 傅 里 葉 變 換 (DFT). 一、引言 二、 DFS定義 ()x n N設(shè) 為周期為 的周期序列,則其離散傅里葉級數(shù)( D F S ) 變換對為:21100:( ) [ ( ) ] ( ) ( )NNj n knkNNnnX k D F S x n x n e x n W??????? ? ???正變換2Nj NeW ???nkNNkNknkNjWkXNekXNkXI D F Snx ?????? ????10102)(~1)(~1)](~[)(~?反變換： 三、 DFS離散付里級數(shù)的推導(dǎo)意義 ? 用數(shù)字計算機(jī)對信號進(jìn)行頻譜分析時，要求信號必須以離散值作為輸入，而且上面討論可知：只有第四種形式 (DFS)對數(shù)字信號處理有實用價值。 ? 但如果將前三種形式要么在時域上采樣，要么在頻域上采樣，變成離散函數(shù)，就可以在計算機(jī)上應(yīng)用。所以我們要先了解如何從以上三種形式推出 DFS. DFS ? x(t)經(jīng)過抽樣為 x(nT),對離散的時間信號進(jìn)行 DTFT得到周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。再經(jīng)過抽樣，得到周期性離散頻譜密度函數(shù)即為 DFS. x(t) t 取樣 x(t) t DTFT X(ejΩT) Ω 采樣 X(ejw) w ? 周期性連續(xù)時間信號函數(shù)經(jīng)采樣后，得到周期性的離散時間函數(shù) (DFS)。 x(t) X(ejw) t w 采樣 x(n) n DFS ? 非周期離散時間信號經(jīng)過序列付里時變換 (即單位園上的 Z變換 )DTFT,得到周期連續(xù)譜密度函數(shù)，再經(jīng)采樣為周期離散頻譜密度函數(shù)(DFS)。 x(t) t Ω X(ejΩT) w X(ejw) DTFT 采樣 四、推導(dǎo) DFS正變換 以下由第三種付里葉級數(shù)形式為例推導(dǎo)出離散付里葉級數(shù)變換。 非周期信號 x(n),其 DTFT(單位園上 Z變換 )為 其為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對其頻域進(jìn)行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。設(shè)在一周期內(nèi)采樣 N個點，則兩采樣點間距為 ???????nj w njw enxeX )()(~kNw ?2????????1022 )(~)(~)(~NnkNjnkNwjw enxeXkX??12,1,0 ?? Nk ?12,1,0 ?? Nk ???????????10102)(~)(~)](~[)(~ NnnkNNnnkNjWnxenxnxD F SkX?即得出 DFS的正變換： 得到各抽樣頻點頻率為： 代入 DTFT式子中，這時由于抽樣，信號變成周期離散信號 ，得 五、 DFS的反變換 解：已知 )(~)(~ nxkX ID F S?? ???????102)(~)(~ NnkNjnenxkX?12,1,0 ?? Nk ?krNje ?2rkNjNnnkNjNkkrNjNkeenxekX??? 210210210))(~()(~???????????兩邊同乘以 ,并對一個周期求和 )(~)1)((~)(~10)(210210rxNeNnxNekXNkkrnNjNnkrNjNk?? ?????????????根據(jù)正交定理 ??????nrnr01????102)(~1)(~NnknNjekXNnx?12,1,0 ?? Nn ?用 n替換 r,可得： ?即得： )(~)(~210rxNekXkrNjNk?????六、回顧 DFS 設(shè) x(n)為周 期 為 N 的 周 期 序 列 , 則 其 離 散 傅 里 葉 級 數(shù) (DFS) 變 換 對 為 : 正 變 換 ??????????10102)(~)(~)](~[)(~NnnkNNnnkNjWnxenxnxD F SkX?NjN eW?2??反變 換 ??????????10102)(~1)(~1)](~[)(~NknkNNknkNjWkXNekXNkXI D F Snx?第四節(jié) 離散付里葉級數(shù)的性質(zhì) 一、引言 ? 可以由抽樣 Z變換來解析 DFS， 它的許多性質(zhì)與 Z變換性質(zhì)類似。 ? 它們與 Z變換主要區(qū)別為： ? (1) 與 兩者具有周期性，與 Z變換不同。 ? (2)DFS在時域和頻域之間具有嚴(yán)格的對偶關(guān)系。 ? 它們主要性質(zhì)分為：線性、序列移位 (循環(huán)移位 )、調(diào)制性、周期卷積和 )(~ nx )(~