【正文】 摘 要 本文主要分析比較了不同的插值方法對于已有的電阻率數(shù)據(jù)運用插值加密后的效果并進行了一系列的評價。 針對問題一，對于三維空間的插值加密可以運用的有線性插值法、三次樣條插值法、三次多項式插值法、最鄰近插值法等，對各個插值方法進行的深入分析，理解各個一維插值公式的推導(dǎo)過程以及一維至三維的衍生原理，得出保證極值大小及空間位置不變的兩種方法，繼而通過直接證明以及間接證明，通過計算機對于給定數(shù)據(jù)的運算，驗證兩種方法的可行性。最后采用得出的兩種方法，最鄰近插值法以及線性插值法，進行三維分析并建立數(shù)學(xué)模型，得出最后給定點的電阻率數(shù)據(jù)。 針對問題二，通過第一題的給出的線性插值法以及最鄰近插值法，分別計算出網(wǎng)格大 小 1m*1m*1m 上 任意點的電阻率數(shù)據(jù)，對所得數(shù)據(jù)進行三維建模，即可得出在網(wǎng)格加密后的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果。對于插值方法的由一維至三維的延伸，比較在一維延伸至三維時各個方法的計算量，評估出網(wǎng)格加密過程中計算復(fù)雜度及計算量大小。同時運用 1m*1m*1m 以及 10m*10m*10m 網(wǎng)格大小上所有點的電阻率得出各種情況下的平均值及標準差。 針對問題三，用顏色圖展示網(wǎng)格加密后的直觀效果。將最小值置為純藍色（ RGB為 (0,0,255)），中間值置為純綠色（ RGB為 (0,255,0)），最大值置為純紅色（ RGB為 (255,0,0)），對于中間數(shù)值，運用 RGB成色三維矩陣 ，找出電阻率數(shù)值大小與顏色坐標的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系，用計算機作出與要求完全相同的 Z=40對應(yīng)的原圖像。繼而繪制出對切片 Z=0,50分別給出原數(shù)據(jù)，兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對比圖。以及對切片 X=82， Y=47, Z=88 ， 兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖。 針對問題四， 對于不同插值方法的加密效果，可以通過加密后切片圖像的清晰度來表示其加密效果的好壞。將 RGB 三維矩陣轉(zhuǎn)換為灰度數(shù)值，而對灰度進行若干種定量的表示即可反映 數(shù)字圖像清晰度 。 得某一指定切片圖像的灰度值， 通過4種不同方法 對灰度處理 得出相應(yīng) 定量指標以評價圖像清晰度，進而反映兩種插值加密法的效果。 關(guān)鍵字：線性插值法 最鄰近插值法 RGB 三維矩陣 圖像清晰度 灰度1 一、 問題重述 在實際問題中，由于技術(shù)與測量成本等原因，我們不能對一個物體進行密集測量，而只能等間隔的選取部分點進行測量。而實際中我們卻需要更多位置的數(shù)據(jù)，這時候就需要采用數(shù)學(xué)的方法，根據(jù)已知位置的數(shù)據(jù)取計算位置位置的數(shù)據(jù)。 為某空間三維體電阻率數(shù)據(jù)文件，每一行為一個數(shù)據(jù)點，第一列為 x坐標，第二列為 y 坐標，第三列為 z 坐標，第四列為對應(yīng)坐標點的電阻率值。 這個數(shù)據(jù)文件中給出的坐標網(wǎng)格大小是 10m*10m*10m，要求通過插值加密后獲得網(wǎng)格大小為 1m*1m*1m 的三維電阻率數(shù)據(jù)，必須保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值（包含最大值和最小值）與插值前的電阻率數(shù)據(jù)極值相等，并且極值出現(xiàn)的坐標位置相同。另外，必須保證插值后的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果與插值前的電阻率數(shù)據(jù)三維成像結(jié)果形態(tài)基本一致，只是前者像素更高。 請你解決如下問題： (1)請給出符合 條件的兩種計算方法，并給出相應(yīng)數(shù)學(xué)公式，證明你的方法插值后的電阻率數(shù)據(jù)極值與位置不變。采用你給出的兩種方法，分別計算出空間某點(,)處的電阻率數(shù)值。 (2)利用（ 1）中你給出的兩種方法，分別計算出網(wǎng)格大小為 1m*1m*1m的三維電阻率數(shù)據(jù)，要求給出你的計算流程，并對兩種方法的計算量或計算復(fù)雜性進行評估。同時給出原網(wǎng)格數(shù)據(jù)及你采用兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的平均值與標準差。 圖 1 原數(shù)據(jù)成像 圖 2 插值加密后數(shù)據(jù)成像 5 10 15 20246810121416182050 100 150 200204060801001201401601802002 (3)對加密網(wǎng)格后的直觀效果，可采用顏色圖展示。顏色圖就是用不同的顏色來表示每個像素。如 Z=40對應(yīng)的原圖像為圖 1，采用某種方法加密后得到的顏色圖像如圖 2，從中可以看出像素提高了。對每一幅需要對比顯示效果的圖，請將最小值置為純藍色（ RGB為 (0,0,255)），中間值置為純綠色（ RGB為 (0,255,0)），最大值置為純紅色（ RGB為 (255,0,0)），中間數(shù)值采用過渡的顏色，可自行設(shè)計。采用這種方法，請對切片 Z=0,50分別給出原數(shù)據(jù)，兩種方法加密網(wǎng)格后數(shù)據(jù)的顏色對比圖。另外分別對切片 X=82， Y=47, Z=88 ，請給出兩種加密方法得到數(shù)據(jù)的顏色圖。 （ 4）對不同的插值加密方法的效果，你能否給出定量的指標。請對你給出的指標，分別計算出你采用的兩種不同加密方法得到數(shù)據(jù)的指標值，并給出你的評價。 二、 問題分析 問題一： 問題要求給出兩種符合上述條件的計算方法及其數(shù)學(xué)公式并證明，同時分別計算出空間某點的電阻率數(shù)值。首先需要了解所有三維數(shù)據(jù)的插值方法。在對所有插值法有了一個總體的認識后，深入研究各個插值法，理解一維插值公式的推導(dǎo)過程以及一維到三維的延伸。通過其基本特性及原理，給出符合條件的兩種計算方法并結(jié) 合直接證明法及間接證明法，證明結(jié)論的準確性。最后按兩種不同方法對原數(shù)據(jù)進行建模，給出指定點的電阻率數(shù)據(jù)。 問題二： 問題要求用所求的兩種插值法計算出 1m*1m*1m 的三維電阻率數(shù)據(jù)并進行基本統(tǒng)計，同時還將對兩種插值法進行關(guān)于運算量的評估。通過問題一的分析研究，我們可以得出該三維空間內(nèi)任意點的電阻率數(shù)據(jù)，對所得數(shù)據(jù)進行三維建模，即可得到更細致的三維電阻率數(shù)據(jù)。通過統(tǒng)計兩種方法在一維的的計算量進而延伸至三維，可對兩種方法的計算復(fù)雜性有一個大體的評估。 問題三： 問題要求采用顏色圖的方式展示加密網(wǎng)格后的直觀效果。 運用 BRG 成色原理 ，將按題目要求對兩種方法所得的三維電阻率數(shù)據(jù)以及原數(shù)據(jù)分別進行建模，對不同大小的電阻率數(shù)據(jù)點進行區(qū)分，并以不同顏色呈現(xiàn)。 將最小值置為純藍色（ RGB 為 (0,0,255)），中間值置為純綠色（ RGB 為 (0,255,0)），最大值置為純紅色（ RGB 為 (255,0,0)），對于中間數(shù)值，找出電阻率數(shù)值大小與顏色坐標的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系，用計算機作出與要求完全相同的 Z=40 對應(yīng)的原圖像。對比后即可確定正確與否以及切片的精確度。 問題四： 問題要求定量分析不同插值法對數(shù)據(jù)加密 的效果，并給出評價。加密后的效果由顏色圖的方式直觀展示，因此 可以對某一指定切片圖像的清晰度進行建模分析，得出一個定量指標以評價圖像清晰度，進而反映兩種插值加密法的效果。 3 三、 模型假設(shè) 等間隔的選取部分中有著更密集的電阻率數(shù)據(jù)。 等間隔的選取部分的電阻率不會出現(xiàn)過大幅度的突變和振蕩。 忽略其他因素如溫度等對電阻率造成的影響。 四、 符號約定 mid = 電阻率中間值 max = 電阻率最大值 min = 電阻率最小值 m = 電阻率數(shù)值 d = 距離比 w= 空間某點的電阻率 avg = 電阻率平均值 sd = 電阻率標準差 res= 圖像 RGB 數(shù)據(jù) gray = 圖像灰度數(shù)據(jù) D(x,y) = 點 (x,y)清晰度 I(x,y) = 點 (x,y)灰度 五、 模型的建立與求解 問題一： 通過查閱相關(guān)資料，可以得到對于插值有如下概念： 在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過全部給定的離散數(shù)據(jù)點。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。插值的一個普遍應(yīng)用于填充圖像變換時像素之間的空隙。 鑒于本題給的均為三維數(shù)據(jù)，我們可以在