【正文】 關(guān)于 平面拉伸的力學(xué) 分析 作者： 周成杰 （系南京工業(yè)大學(xué)土木工程 0７ 級(jí)強(qiáng)化班） 學(xué)號(hào)： 1801060125 摘要 ： (1) AA平面上各點(diǎn)是存在剪應(yīng)力并且是非均勻分布的，近似呈線性分布。 (2) AA平面上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不完全相同的，并且 AA平面和整個(gè)平面上的危險(xiǎn)點(diǎn)可以求出 。材料力學(xué)當(dāng)中，不規(guī)則的物體可心通過(guò)力學(xué)軟件如 ansys 和 visual basic 的幫助來(lái)解決許多實(shí)際的問(wèn)題，如 危險(xiǎn)點(diǎn) 、 各處的應(yīng)力狀態(tài)、正應(yīng)力、剪應(yīng)力、主應(yīng)力等等。 （ 3） 整體物體及 AA 平面，受力之后的應(yīng)力集中和應(yīng)變分析。 物體在被 力作用的時(shí)候會(huì)有形變和位移，這也很重要，分析時(shí)應(yīng)該用理論推導(dǎo)和軟件共同進(jìn)行。 關(guān)鍵詞 ： 形變 ； 集中應(yīng)力 ； 線性分布 ； 危險(xiǎn)點(diǎn)； Ansys 有限元 。 vb 編程 ? 引言： 為了分析問(wèn)題的方便和用 ansys 建模，假設(shè)如下的數(shù)據(jù)： 636 10 pa? ， 120 .3 。 1 0 0 0 , 5 0 0 。 1? ? ? ?? ? ? ?厚 度。各個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為（０，１）、（０，－１）、（５，２）、（５，－２）。 圖 1 原問(wèn)題圖 一 .研究 AA平面上各點(diǎn)是存在剪 應(yīng)力并且是非均勻分布的 １ .初步分析 AA 面內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài) 研究 AA 面內(nèi)頂部的應(yīng)力狀態(tài) 如圖 ２ ， 三角形的斜 面為自由表面，上面不受力。我們知道， 右面 上一定有垂直于 右面 的的正應(yīng)力 x? 。 由平衡條件可知 沿 X 方向上的合力應(yīng)該為０，故 下 邊的面 上有如圖的剪力 0? 。再由剪應(yīng)力互等定理可知 右面 上有 0? ，同樣地，由平衡條件可知 下面 上有 正應(yīng)力 y? 。 圖 ２ 頂部的微元 到此，可以看出來(lái)頂部點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖２所示。 研究 AA面內(nèi)中部點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 先假設(shè)中間的微元不受上面或下面微元的影響 。 圖 ３ AA 面微段 如圖 ３， 可知左邊的面積小，右邊的面積大，所以左邊的應(yīng)力比右邊的大一點(diǎn)。再由平衡條件和剪應(yīng)力互等定理可以判斷出如圖 ４ 的剪 應(yīng) 力。 y?0??0?x??左 ?右 圖 ４ AA 面中間的微元應(yīng)力狀態(tài) 現(xiàn)在考慮中間的微元受上面或下面微元的影響 。 顯然綜合上下微元的應(yīng)力之后可得如圖５ ： 圖 ５ AA 面中間微元的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài) 2. 現(xiàn)在具體地計(jì)算各處剪力的大?。? 總體分析如圖３ ,FFH H a Ta n?? ??? ?左 右 ? ? ? ??? 左 右－ 計(jì)算如圖 6 頂部的一塊微元的應(yīng)力 ， ?左xy??右?右?左?y?y? 由平衡條件可知： 圖 6 頂部的微 元 00t a nt a n t a nt a naaFha? ? ?? ? ? ????? ?右右 先假定不考慮頂部的三角的影響，即忽略剪應(yīng)力和 y 方向的正應(yīng)力的影響。 圖 ７ 頂部的微元 在距離頂部面的距離為 y 時(shí)如右圖 ７ ： 0 yh?? ， 對(duì)于一小段微元 dy 由平衡條件可以知道： yHy?0??0??右 a dydy???????? 在０到 y 部分上積分： 0y d y yaa???? 得到的便是不考慮上部三角微元影響的假定下的 y 處的剪應(yīng)力 現(xiàn)在考慮頂部的影響。 當(dāng)考慮到頂部的影響的時(shí)候，就必需加上頂部產(chǎn)生的剪應(yīng)力 在距離 y 處對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力： ? ?0 t a nt a n t a nt a n t a nyyFh a ayFh a h h a?? ? ??????? ? ? ???????????? （其中的有下標(biāo)為０的為頂部產(chǎn)生的剪應(yīng)力，沒(méi)有下標(biāo)的剪應(yīng)力為假設(shè)中間部分不受頂部影響時(shí)算得的剪應(yīng)力。） 由上式可知： y=h 時(shí)，即在中點(diǎn)處剪應(yīng)力為０ . 綜上所述，可知 AA 上的點(diǎn)的存在剪 應(yīng)力 并且非均勻分布 。 并且沿 y 方向可以看成是線性分布的 。 ３ .用 ansys 軟件驗(yàn)證結(jié)論的成立。 用 ansys 軟件取如沿 AA 方向的一系列的點(diǎn)（路徑 JOB），如下圖所示： 得到的這條路徑上的點(diǎn)的剪應(yīng)力 SXY，如上圖所示： 從上圖可以看出：在中點(diǎn)處（即橫坐標(biāo) 處）剪應(yīng)力為０。 AA 上半部分的剪應(yīng)力是正號(hào)，所以剪應(yīng)力流是順時(shí)針?lè)较虻摹Ｏ掳氩糠值恼孟喾础? 下 面 一 張 圖 整 體 的 剪 應(yīng) 力 圖 ： 從上面這張圖可以明明白白地看出， 整個(gè)圖形的剪應(yīng)力狀態(tài)，包括 A－ A 方向的點(diǎn)也是可以直觀地看出來(lái)是不完全相同的。 下 面 一 張 圖 是 這 條 路 徑 上 剪 應(yīng) 力 SXY 的 一 張 形 象 一 點(diǎn) 圖 ： 從上圖中可以看出：沿 AA 方向上，剪應(yīng)力可以看成是線性分布 （不考慮應(yīng)力集中情況下的近似線性） 的。 ４ .結(jié)論 （ 1） AA 上的點(diǎn)的存在剪 應(yīng)力 且非均勻分布。 （ 2） 并且沿 y 方向可以 近似 看成是線性分布的 。 (3)在中點(diǎn)處的剪應(yīng)力最小為 0,向兩邊剪應(yīng)力遞增。 二 .研究 AA 平面上各點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)是不完全相同的 ，并且判斷 AA 平面 和整個(gè)平面 上的危險(xiǎn)點(diǎn)。 ，所以可由主應(yīng)力的公式如下： 22( ) 42( ) 420xyxy??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??xy1 x yxy2 x y3 A Axy? ? ?xy是 相 同 的 ， 也 是 相 同 的 ， 唯 獨(dú) 在 變 化 。所 以 ， 各 點(diǎn) 的 主 應(yīng) 力 不 盡 相 同 。因 而 沿 方 向 上 的 各 點(diǎn) 的 應(yīng) 力 狀 態(tài) 不 完 全 相 同 。 ２ .用 ansys 軟件驗(yàn)證結(jié)論的成立。 下面是用 ansys 做的一張 SEQV（等效應(yīng)力）圖： 雖然差距不大，等效應(yīng)力是從 到 ，顯然不盡相同。 下面是 s1,s2,s3 的三個(gè)主應(yīng)力圖： 從這三張主應(yīng)力圖也可以看出：各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是第一和第二主應(yīng)力不同，第三主應(yīng) 力都為０。 ３ .判斷 AA上 哪一點(diǎn)最易發(fā)生危險(xiǎn) 假定此種材料是韌性材料，現(xiàn)在用第三強(qiáng)度理論來(lái)判斷哪一點(diǎn)先壞。 13 m? ? ??? 上式 的 二 個(gè)應(yīng)力為 第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力。 如上面兩組數(shù)據(jù)中用方框標(biāo)出的為最大的第一主應(yīng)力。 而第三主應(yīng)力為０。 故由 13 m? ? ??? 可知： 如果 A－ A 面上發(fā)生破壞的話，則 和 兩個(gè)對(duì)稱的點(diǎn)處先發(fā)生破壞。 ４ .研究整個(gè)平面內(nèi)哪個(gè)點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn) 下面 一張圖是整個(gè)平面的第一主應(yīng)力圖： 可以看出：最左邊的第一主應(yīng)力應(yīng)該最大 ，下面取左邊的一條路徑研究。 下面 研究最左邊的最大主應(yīng)力。 下圖為路徑和路徑上的第一主應(yīng)力圖，從中可以明顯地看出： 中點(diǎn)處的第一主應(yīng)力最大。 由第三強(qiáng)度理論： 13 m? ? ??? 知：整個(gè)平面上最左邊的中點(diǎn)處的第一主應(yīng)力最大， 因而也就在此點(diǎn)最容易發(fā)生破壞。 ５ .結(jié)論 （ 1） AA平面上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不完全相同的。 （ 2） 最先發(fā)生破壞的兩個(gè)點(diǎn)為 A－ A 的路徑上 和 兩個(gè)對(duì)稱的點(diǎn) 。 （ 3） 各條豎線上的 危險(xiǎn)點(diǎn) 是否 發(fā)生在中點(diǎn)處 存在著一個(gè)豎線作為臨界線 。 （ 4） 整個(gè)平面內(nèi)的危險(xiǎn)點(diǎn)處在最左邊的線上的中點(diǎn)處。 三 .研究 AA 平面 及整 個(gè)物體 ， 在 受力之后 的應(yīng)力集中 及變形 分析。 ２ .研究應(yīng)力集中現(xiàn)象。 其中的 k 為 應(yīng)力集中 系數(shù)。 查表可得 D， d 和 k 之間的關(guān)系。 圖 9 假設(shè)的數(shù)據(jù)中 D/d= 大概有下列的數(shù)據(jù)： K r/d 1 無(wú)窮大 2 3 D r d m a xpkA???? ???? 無(wú)窮大 0 在本題中，如果材料是剛體那么半徑 r就是無(wú)窮大 r/d則為無(wú)窮大，查表可得： k= A－ A面上的正應(yīng)力是均勻分布的。 然而材料不可能是剛體，在拉伸的過(guò)程中將使 r 變?yōu)橛邢薜闹?，?應(yīng)力集中系數(shù)k要大于 1. 自然地，本題中 A－ A 面的各點(diǎn)的應(yīng)力 應(yīng)該 有大有小，下面用 ansys 來(lái)進(jìn)一步分析這個(gè)問(wèn)題。 ansys 進(jìn)一步 分析 可以看出在 x