【正文】 1 本科畢業(yè)論文 無理數(shù) e 的存在性證明及應(yīng)用 2 目 錄 1 引言 ................................................................. 1 2 文獻綜述 ............................................................. 1 國內(nèi)外研究狀況現(xiàn)狀 ................................................... 1 國內(nèi)研究狀況現(xiàn)狀評價 ................................................. 1 3 e 的發(fā)現(xiàn)及定義 ....................................................... 1 e 的發(fā)現(xiàn)及符號表示 ................................................... 1 e 的定義 ............................................................. 5 收斂級數(shù)定義 ........................................................ 5 極限定義 ............................................................ 6 e 的意義 ............................................................. 7 4 e 的存在性與無理性證明 ............................................... 8 e 的存在性證明 ....................................................... 8 e 的無理性證明 ...................................................... 11 5 e 的應(yīng)用 ............................................................ 11 e在求極限中的應(yīng)用 ................................................... 11 正態(tài)分布 —— 概率論中的 e ............................................ 13 生活實際問題 ........................................................ 13 銀行復(fù)利率問題 ...................................................... 14 6 結(jié)論 ................................................................ 16 主要發(fā)現(xiàn) ............................................................ 16 啟示 ................................................................ 16 局限性 .............................................................. 16 努力方向 ............................................................ 16 參考文獻 ............................................................ 17 3 1 引言 一位著名的學(xué)者曾說過：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或其與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解” . 確實，人類文明的發(fā)展與進步得益于人們對數(shù)的研究與實踐 . 甚至有些數(shù)極為重要，譬如大家所熟悉的 0 和 1，還有其它更加重要的常數(shù)，如 ? ， i， ? ， e ，人們習(xí)慣分別稱它們?yōu)閳A周率、虛數(shù)單位、黃金分割數(shù)、納皮爾常數(shù) . 關(guān)于前三者的論述文章非常多，而 e 似乎是一個習(xí)以為常的數(shù) ,不被人們所重視 . 它隨著科技發(fā)展越來越多地出現(xiàn)在微積分、概率統(tǒng)計等學(xué)科中；它是今天銀行業(yè)中對銀行家最有幫助的一個數(shù)，此外在考古學(xué)中古生物年限的鑒定中也有涉及 . 目前，初等數(shù)學(xué)教材以及理工科相關(guān)教材中對于 e 通常作如下定義：“在科學(xué)技術(shù)中常常使用無理數(shù) e ，它的前十位小數(shù)是 ??，以其為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，為了簡便， N 的自然對數(shù) Nelog 記為 Nln ，以 e 為底的指數(shù)函數(shù) xe 和自然對數(shù)函數(shù)xln 在高等數(shù)學(xué)中占有極重要地位” .那么，常數(shù) e 到底是一個怎樣的 一個數(shù)呢？其值是如何而來的？在十進制的數(shù)系統(tǒng)里，用這樣奇怪的數(shù)為底，難道會比以 10 為底的常用對數(shù)更自然嗎？它還有哪些方面的應(yīng)用？ 2 文獻綜述 國內(nèi)外研究狀況現(xiàn)狀 在所查閱到的國內(nèi)外參考文獻 [115]中，文獻 [1]論述了對數(shù)與 e 的起源之間的關(guān)系、表示形式、無理性與超越性；文獻 [2]論述了無理數(shù) e 的極限表示形式；文獻 [3]簡單介紹了數(shù) e 的近似計算及超越性證明；文獻 [47]介紹了數(shù) e 的對數(shù)表的編制及發(fā)展過程；文獻 [8]論述了無理數(shù) e 在科學(xué)技術(shù)中占有重要地位及其應(yīng)用并給出了 e 的無理性簡潔證明；文獻 [915]介紹了 e 的發(fā)現(xiàn)歷史過程和性質(zhì) . 國內(nèi)研究狀況現(xiàn)狀評價 在所查閱到的國內(nèi)外參考文獻 [115]中，大多是針對 e 的無理性證明進行研究，研究比較分散 ，沒有系統(tǒng)地歸納和研究，對 e 的產(chǎn)生背景及應(yīng)用的研究不多 . 3 e 的發(fā)現(xiàn)及定義 e 的發(fā)現(xiàn)及符號表示 早在 15,16 世紀(jì)，隨著天文和航海等技術(shù)研究的廣泛興起，解決天文計算的困難成 4 了當(dāng)時最緊迫的任務(wù) . 如何把大數(shù)的乘、除、乘方、開方運算轉(zhuǎn)化為加、減、運算成為當(dāng)時的一種迫切要求，也引起了大家的思考 . 1544 年，德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》一書中論述了等差數(shù)列和等比數(shù)列的關(guān)系 . 對于下面兩個數(shù)列 ????321684212141816543210123，，，，，，，，， ??? 他把上面一行命名為指數(shù)，并指出：“上行的加、減、乘和除分別對應(yīng)于下行的乘、除、乘方和開方” . 若將上行的數(shù)記為 y ，下行的數(shù)記為 x ，則上、下兩行中相應(yīng)的數(shù)滿足 yx 2? ，一般地，若以 1 為公差的等差數(shù)列與以 a 為公比的等比數(shù)列相互對應(yīng)，則等比數(shù)列中任意兩數(shù)的積或商就可以用等差數(shù)列中對應(yīng)上述兩數(shù)的和或差求得，且兩行中相應(yīng) 的數(shù)恒有關(guān)系： yax? . 在此關(guān)系中，以 x 為真數(shù)， a 為底， y 為對數(shù)，則可利用 x 與 y 進行簡單的計算 . 但是，這種關(guān)系對于簡化計算而言尚不具有實用價值，因為在上表中只能做與偶數(shù)及 21 的整數(shù)冪有關(guān)的計算，而不可能做其他 數(shù)的計算 . 因此，要把這種想法發(fā)展到能夠?qū)嵱玫某潭龋捅仨毷箖蓚€數(shù)列的數(shù)間距足夠小，假如在等差數(shù)列中插入中項： ?? ，，， ， 還必須算出對應(yīng)的數(shù)列 ?? 2222222 ，，， . 然而，因當(dāng)時還不能計算指數(shù)為小數(shù)的冪，因此這種想法就不可能推廣使用 . 1614 年，英國數(shù)學(xué)家納皮爾在愛丁堡