【正文】 ?? 說明 )(nf 是單調(diào)增加有界數(shù)列，根據(jù)準則 II， )(nf 的極限存在，用 e 表示，即 en nn ???? )11(lim （ 1） 其次，對任意 0?x ，必存在兩個相鄰的整數(shù) m 與 1?m ，使得 1??? mxm ，因而111 ??? mxm 從而 或者 1)111)(1()()11)(( ??????? mmfxfmmf 當 ???x 時， ???m 并且 emf ?)( ， emf ?? )1( ， 1)11( ??m ， 1)111( 1 ??? ?m由準則 I 知 exxf xxx ??? ?????? )11(lim)(lim （ 2） ○ 2 當 1??x 時， xx ?? 11111)11()(?? ???????????????????????xxx xx xxxf mxm mxm )111()11()11( 1 ?????? ? 12 而 ? ? ???????? ???????????? ?? 1111111 xxfx 當 ???x 時 ， ???x ， 1111 ????????? ?? x ， ? ? exf ??1 所以 ? ? 11111l i m11l i m ????????? ?????????? ? ?????? xxfx xxx （ 3） 綜合 (1)， (2)， (3)對于 0?x 與 1??x ，極限得到了證明 . 接下來討論極限 e 的確定與其值的求法 . 由二項定理及 (1)可得到 e 的表達式 )!1!21!111(l i m)11(l i m nne nnn ??????? ???? ?? 或者 ?????? !31!2111e 由此可知 e 是個無理數(shù)，整數(shù)部分是 2，小數(shù)部分是個無限不循環(huán)小數(shù) . 數(shù) e 的近似值可以通過 ? ? xexf ? 的麥克勞林展開式： ， 10 ??? [5] 當 1?x 時 ， 10 ??? 如取 9?n ，可得 ?ee ！?。。。。。。?！ 101918171615141312111 ??????????? ， 10 ??? ? ??????????? ? ? xnnx enxnxxxe ?!1!!2!11 12 ??????? ??? ? ?enne !11!12111 ??????? ?！ 13 由此計算方法可見，若要求精度越高，則 n 取的越大，且計算每一項的精確度比要求的精度要高，當 10?n 時高一位， 100?n 時高二 位，如此類推 . e 的無理性證明 證明 e 是無理數(shù)的方法很多，這里只介紹一種簡單易懂的方法 . 首先有： ? ????? ??2 1 121!1n n nn， 0!12 ????n n 那么 32 ??e ，說明 e 不是一個整數(shù) . 為了證明 e 是一個無理數(shù)，可用反證法，假設(shè)e 是有理數(shù)，那 么就令 qpe /? ，其中 p 、 q 均為正整數(shù) . 由于 e 不是整數(shù)，故 q ≥ 2. 于是有： ??? ? ????? ???? 100 !!!!!!! qnqnn nqnqnqqe 顯然等式左邊的 !qe? 為整數(shù)，而等式左邊的第一項也為整數(shù)，故等式右邊第二項也為整數(shù)從 2?q 知 31??q 因此 21311!!0 1 1 11 ????? ? ? ???? ?????? iij n nqn jqnq ， 這與整數(shù)的性質(zhì)矛盾，故 e 為無理數(shù) . 5 e 的應(yīng)用 e 在求極限中的應(yīng)用 在 中我們已經(jīng)證明了 exxx ??????? ???11lim ，這是一個重要的極限，它在求解一些極限時有著重要的作用。 bank of pounding 20 無理數(shù) e 的存在性證明及應(yīng)用 摘 要 e是數(shù)學上最重要的常數(shù)之一，在科學研究和數(shù)值計算中有著廣泛的應(yīng)用 . 本文介紹了常數(shù) e的產(chǎn)生背景，介紹了 e的收斂級數(shù)定義和極限定義，確定了 e的取值，并對 e的存在性和無理性進行了證明 .最后結(jié)合例題討論了 e在微積分、概率、及銀行復(fù)利等方面的應(yīng)用，較為系統(tǒng)的、全面的對 e進行了研究，有助于人們對 e的進一步認識 . 關(guān)鍵詞 ：存在性；無理性；概率；銀行復(fù)利 致謝 在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進入課題到論文的順利完成，有多少可敬的老師、同學、朋友給了我真誠的幫助，在此畢業(yè)之季，向關(guān)心我的老師、同學 、父母致以我誠摯的謝意和崇高的敬意 . 本論文是在導(dǎo)師梁 XX 老師的悉心指導(dǎo)下完成的．導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，精益求精的工作作風，誨人不倦的高尚師德，嚴以律己、寬以待人的崇高風范，樸實無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠． 梁老師對我的論文要求嚴格、細致入微，不厭其煩的給我講解、修改、補充、訂正，使我的論文得以按時保質(zhì)完成，在此向梁老師致以最誠摯的感謝和敬意！ 論文的順利完成，也離不開各位院系領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學和朋友的關(guān)心與幫助．最后，再次向各位老師的辛勤勞動表示感謝，祝愿老師們：身體健康，工作順利！ 。伯努利和他的侄兒尼古拉伯努利提出復(fù)利問題，在檢查這個連續(xù)的復(fù)利時，他努力尋找 nn?????? ?11當 ??n 時的極限 . 利用二項式定理，他指出這個極限在 3~2 之間 . 這是對 e 的近似值的首次估計，也是數(shù)學史上第一次用極限來定義一個數(shù)，即 6 nn ne ?????? ????11lim . 1690 年，德國大數(shù)學家萊布尼茨在給惠更斯的一封信中首次用字母 b 來表示自然對數(shù)的底，使得“自然對數(shù)的底”終于有了它的名字而被認同 ，而現(xiàn)在用 e 來表示對數(shù)的底應(yīng)歸功與瑞士大數(shù)學家歐拉 . 在俄羅斯彼得堡科學院寫的一部手稿中，歐拉建議“將對數(shù)為 1 的數(shù)記作 e ，即 ??e ” .并在書中 16 次出現(xiàn) e 代替 ? ，至于歐拉為什么用字母 e 來表示自然對數(shù)的底有人認為 e 來自他自己名字的首字母；也有人認為， e 來自于指數(shù)（ exponential）的首字母；還有人認為， e 是第二個元音字母，因為歐拉在其著作中已經(jīng)使用了第一個元音字母 a .而符號 e 首次公開出現(xiàn)是在 1731 年歐拉寫給哥德巴赫的一封信中 . e 是一個特殊的重要極限，在高等數(shù)學及其應(yīng)用領(lǐng)域中起著奠基般的 舉足輕重的作用 . 但如此重要的極限，在一般的教科書中對它的存在性的證明卻敘述得較少，甚至不證明，只讓去死記硬背一個十分難記難懂的結(jié)論 . e 是作為一個數(shù)列的極限而出現(xiàn)的 .“ e ”這個符號是瑞士數(shù)學家歐拉在 1727 年首先引進的 .為什么用 e 來表示自然對數(shù)的底，至今原因還不明 . 有人猜測，可能是因為 e是“指數(shù)的第一個字母 . 另一種猜測是： a ， b ， c 和 d 經(jīng)常有其他用途，接下來的 e ”就成了首選 . 第一次在出版物中用 e 來表示自然對數(shù)的底，是歐拉在 1736 年出版的《力學》第一卷中 . 在 17471751 年的文章中，歐拉都用 e 來表示自然對數(shù)的底