【正文】 .. i 目 錄 1 引言 ............................................................................................................................... 1 2 范德蒙行列式的基本性質(zhì) ..................................................................................... 1 ................................................................................................ 1 ................................................................................................ 2 3 范德蒙行列式的推廣 .............................................................................................. 3 .................................................................................................. 3 .................................................................................................. 4 4 范德蒙行列式的應(yīng)用 .............................................................................................. 5 ...................................................................... 5 ............................................................................. 7 ................................................................... 9 ................................................................. 10 ........................................................................ 12 .................................................................... 13 5 結(jié) 論 .......................................................................................................................... 15 參考文獻(xiàn) ....................................................................................................................... 16 致 謝 ......................................................................................................................... 17 .. ii 范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用 Xxxxxx 系本 xxxxx 班 xxxxxx 指導(dǎo)教師： xxxxxxx 摘 要 ： 范德蒙行列式是線性代 數(shù)中著名的行列式，它構(gòu)造獨(dú)特、形式優(yōu)美，更由于它有廣泛的應(yīng)用，因而成為一個(gè)著名的行列式。它的證明過程是典型行列式定理及數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用。本文通過對(duì) n 階范德蒙行列式的計(jì)算 , 討論它的各種位置變化規(guī)律 , 介紹了如何構(gòu)造范德蒙行列式進(jìn)行行列式計(jì)算，以及探討了范德蒙行列式在向量空間理論、線性變換理論以及微積分中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 ： 范德蒙行列式，向量空間理論，線性變換理論，微積分，等差數(shù)列拆項(xiàng)。 Application and Popularization of Vandermonde determinant Xxxxxxxxxxxxxx Class xxxxx, Mathematics Department Tutor: xxxxxxxxxxxxx Abstract： Vandermonde determinant is the determinant of wellknown in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus bee a wellknown determinant. It39。s proof process is typical determinant theorem and prehensive application of mathematical induction. This article will through the norder Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,descryibes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus. Key words: Vandermonde determinant,theory of vector spaces,linear transformation theory,infinitesimal calculus... 1 1 引言 行列式 是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式 ， 其定義域?yàn)?數(shù)域 P 上的 nn? 的矩陣 的全體構(gòu)成的集合 ，取 值為一個(gè)標(biāo)量，寫作 ? ?det A 或 A . 行列式可以看 做 是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣 ， 或者說，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè) 線性變換 對(duì) “體積 ”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。作為一種特殊的行列式 ——范德蒙行列式 ，是一類很重要的行列式。 范德 蒙行列式作為一種重要的行列式，在計(jì)算的過程中可以將一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，從而能夠簡(jiǎn)化計(jì)算，有利于行列式的計(jì)算。范德蒙行列式的應(yīng)用也比較廣泛，不僅應(yīng)用于一些行列式的計(jì)算當(dāng)中，而且它可以應(yīng)用于證明行列式的問題和一些關(guān)于多項(xiàng)式方面以及某些特征向量線性無關(guān)等問題上。 2 范德蒙行列式的基本性質(zhì) 我們首先來介紹范德蒙行列式的定義及其計(jì)算方法 ， 形如行列式 1 2 32 2 2 21 2 31 1 1 11 2 31 1 1 1nnnn n n nna a a aD a a a aa a a a? ? ? ?? （ 1） 稱為 n 階的范德蒙（ eVandermond ）行列式 。 接下來我們證明，對(duì)任意的 ? ?2nn? ， n 階范德蒙行列式的結(jié)果為 ? ?1 ijj i n aa?? ??. 范德蒙行列式的證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明范德蒙德行 列式， 我們對(duì) n 作歸納法： （ 1）當(dāng) 2?n 時(shí)，211211 aaaa??結(jié)果是對(duì)的 。 （ 2）假設(shè)對(duì)于 1n? 級(jí)的范德蒙行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來看 n 級(jí)的情況 。