【正文】 1 中央電大 工程數(shù)學作業(yè)（一）答案 （滿分 100 分） 第 2 章 矩陣 （一）單項選擇題（每小題 2 分，共 20 分） ⒈設 a a ab b bc c c1 2 31 2 31 2 32?，則a a aa b a b a bc c c1 2 31 1 2 2 3 31 2 32 3 2 3 2 3? ? ? ?（ D ）． A. 4 B. － 4 C. 6 D. － 6 ⒉若0 0 0 10 0 00 2 0 01 0 01aa?，則 a? （ A ）． A. 12 B. － 1 C. ?12 D. 1 ⒊乘積矩陣 1 12 4 1 0 35 2 1???? ??? ???? ???中元素 c23? （ C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 ⒋設 AB, 均為 n 階可逆矩陣，則下列運算關(guān)系正確的是（ B）． A. A B A B? ? ?? ? ?1 1 1 B. ( )AB BA? ??1 1 C. ( )A B A B? ? ?? ? ?1 1 1 D. ( )AB A B? ? ??1 1 1 ⒌設 AB, 均為 n 階方陣， k?0 且 k?1 ，則下列等式正確的是（ D ）． A. A B A B? ? ? B. AB n A B? C. kA kA? D. ? ? ?kA k An( ) ⒍下列結(jié)論正確的是（ A）． A. 若 A 是正交矩陣，則 A?1 也是正交矩陣 B. 若 AB, 均為 n 階對稱矩陣，則 AB 也是對稱矩陣 C. 若 AB, 均為 n 階非零矩陣，則 AB 也是非零矩陣 D. 若 AB, 均為 n 階非零矩陣，則 AB?0 ⒎矩陣 1 32 5??? ???的伴隨矩陣為（ C）． A. 1 32 5????? ??? B. ????? ???1 32 5 C. 5 32 1????? ??? D. ????? ???5 32 1 ⒏方陣 A 可逆的充分必要條件是（ B ）． A. A?0 B. A?0 C. A*?0 D. A*?0 ⒐設 A B C, , 均為 n 階可逆矩陣，則 ( )ACB? ??1 （ D ）． A. ( )? ? ? ?B A C1 1 1 B. ? ? ?BC A1 1 C. A C B? ? ? ?1 1 1( ) D. ( )B C A? ? ??1 1 1 ⒑設 A B C, , 均為 n 階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ D ）． A. ( )A B A AB B? ? ? ?2 2 22 B. ( )A B B BA B? ? ? 2 2 C. ( )2 21 1 1 1ABC C B A? ? ? ?? D. ( )2 2ABC C B A? ? ? ? ? （二）填空題（每小題 2 分，共 20 分） ⒈ 2 1 01 4 00 0 1???? 7 ． ⒉ ? ??1 1 11 11 1 1x 是關(guān)于 x 的一個一次多項式，則該多項式一次項的系數(shù)是 2 ． ⒊若 A 為 34? 矩陣， B 為 25? 矩陣，切乘積 ACB? ? 有意義，則 C 為 5 4 矩陣． ⒋二階矩陣 A ? ?????? ?1 10 1 5 第一橫排 3 5 第二橫排 5 8 ⒌設 A B????????????? ? ???? ???1 24 03 41 2 03 1 4,，則 ( )A B? ? ?? ?????? ? ?815 360 ⒍設 AB, 均為 3 階矩陣，且 A B? ??3 ，則 ? ?2AB 72 ． ⒎設 AB, 均為 3 階矩陣，且 A B? ? ? ?1 3, ，則 ? ? ??3 1 2( )A B － 3 ． ⒏若 A a???? ???10 1 為正交矩陣，則 a? 0 ． ⒐矩陣 2 1 24 0 20 3 3????????????的秩為 2 ． ⒑設 A A1 2, 是兩個可逆矩陣，則 A OO A1 21?????? ???????? ?? 1211 AO OA ． （三）解答題（每小題 8 分，共 48 分） ⒈設 A B C????? ??? ? ???? ??? ? ???? ???1 23 5 1 14 3 5 43 1, ,，求⑴ A B? ；⑵ A C? ；⑶ 2 3A C? ；⑷ A B?5 ；⑸ AB ；⑹ ( )ABC? ． 答案： ???????? 81 30BA ???????? 40 66CA ???????? 73 161732 CA ???????? 012 22265BA ??????? 1223 77AB ???????? 80151 2156)( CAB ⒉設 A B C? ???????? ? ??????? ?????????????1 2 10 1 21 0 32 1 11 1 43 2 10 0 2, ,，求 AC BC? ． 解 ： ??????????????????????????????? 1022 1046200 123411102420)( CBABCAC 3 ⒊已知 A B? ???????????? ???????????3 1 01 2 13 4 21 0 21 1 12 1 1,，求滿足方程 3 2A X B? ? 中的 X ． 解 ： ? 3 2A X B? ? ? ??????????????????????????????????252112712511234511725223821)3(21 BAX ⒋寫出 4 階行列式 1 0 2 01 4 3 60 2 5 33 1 1 0?? 中元素 a a41 42, 的代數(shù)余子式，并求其值． 答案 ： 0352634020)1( 1441 ???? ?a 45350631021)1( 2442 ????? ?a ⒌用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣： ⑴ 1 2 22 1 22 2 1????????????； ⑵ 1 2 3 42 3 1 21 1 1 11 0 2 6?? ?????????????； ⑶ 1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1????????????． 解：（ 1）? ?????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????? ???????????????????????????919292929192929291100010001919292031320323110021020112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222rrrrrrrrrrrrrrIA???????????????????? ?919292 929192 9292911A （ 2）??????????????????????35141201132051717266221A (過程略 ) (3) ?????????????????11000110001100011A 4 ⒍求矩陣1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 01 0 1 2 1 0 12 1 1 3 2 0 1????????????的秩． 解 ：?????????????????? ????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212rrrrrrrrrr? 3)( ?AR （四）證明題（每小題 4 分，共 12 分） ⒎對任意方陣 A ，試證 A A? ? 是對稱矩陣． 證明： 39。39。)39。39。(39。)39。39。( AAAAAAAA ??????? ? A A? ? 是對稱矩陣 ⒏若 A 是 n 階方陣，且 AA I?? ，試證 A?1 或 ?1 ． 證明 ： ? A 是 n 階方陣，且 AA I?? ? 12 ?????? IAAAAA ? A?1 或 1??A ⒐若 A 是正交矩陣，試證 ?A 也是正交矩陣． 證明： ? A 是正交矩陣 ? AA ???1 ? )()()( 111 ?????? ??? AAAA 即 ?A 是正交矩陣 工程數(shù)學作業(yè)（第二次） (滿分 100 分 ) 第 3 章 線性方程組 （一）單項選擇題 (每小題 2 分，共 16 分 ) ⒈用消元法得 x x xx xx1 2 32 332 4 102? ? ?? ?? ??????的解 xxx123??????????為（ C ）． A. [ , , ]1 0 2? ? B. [ , , ]? ? ?7 2 2 C. [ , , ]? ? ?11