【正文】 時(shí)間序列分析 西安交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院統(tǒng)計(jì)系 趙春艷 本課程內(nèi)容體系： 第一章：平穩(wěn)時(shí)間序列分析導(dǎo)論 第二章：平穩(wěn)時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)知識(shí) 第三章：平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立 第四章：協(xié)整理論導(dǎo)論 第五章：?jiǎn)挝桓^(guò)程 第六章：?jiǎn)挝桓^(guò)程的假設(shè)檢驗(yàn) 第七章：協(xié)整理論 參考書目 : 陸懋祖，高等時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)，上海人民出版社， 1999年版； 王振龍主編，時(shí)間序列分析，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2021； 王耀東等編，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社， 1996； 馬薇，協(xié)整理論與應(yīng)用，南開大學(xué)出版社， 2021； 王少平，宏觀計(jì)量的若干前沿理論與應(yīng)用，南開大學(xué)出版社， 2021。 第一章 平穩(wěn)時(shí)間序列分析導(dǎo)論 一、時(shí)間序列 含義：指被觀察到的依時(shí)間為序排列的數(shù)據(jù)序列。 特點(diǎn)： （ 1）現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)的一組數(shù)據(jù)，而不是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中做實(shí)驗(yàn)得到的。既然是真實(shí)的，它就是反映某一現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，因而，時(shí)間序列背后是某一現(xiàn)象的變化規(guī)律。 （ 2）動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。 二、時(shí)間序列分析 時(shí)間序列分析：是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法。其 基本思想 ：根據(jù)系統(tǒng)的有限長(zhǎng)度的運(yùn)行記錄（觀察數(shù)據(jù)），建立能夠比較精確地反映序列中所包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并借以對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)進(jìn)行預(yù)報(bào)（王振龍） 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的建模方法和思想 理論依據(jù)：盡管影響現(xiàn)象發(fā)展的因素?zé)o法探求，但其結(jié)果之間卻存在著一定的聯(lián)系，可以用相應(yīng)的模型表示出來(lái)，尤其在隨機(jī)性現(xiàn)象中。 三、確定性時(shí)間序列分析與隨機(jī)性時(shí)間序列分析 時(shí)間序列依據(jù)其特征，有以下幾種表現(xiàn)形式，并產(chǎn)生與之相適應(yīng)的分析方法： （ 1）長(zhǎng)期趨勢(shì)變化 受某種基本因素的影響，數(shù)據(jù)依時(shí)間變化時(shí)表現(xiàn)為一種確定傾向，它按某種規(guī)則穩(wěn)步地增長(zhǎng)或下降。 使用的分析方法有：移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法、模型擬和法等； （ 2）季節(jié)性周期變化 受季節(jié)更替等因素影響，序列依一固定周期規(guī)則性的變化，又稱商業(yè)循環(huán)。 采用的方法：季節(jié)指數(shù)； （ 3）循環(huán)變化 周期不固定的波動(dòng)變化。 (4)隨機(jī)性變化 由許多不確定因素引起的序列變化。它所使用的分析方法就是我們要講的時(shí)間序列分析。 確定性變化分析 趨勢(shì)變化分析 周期變化分析 循環(huán)變化分析 時(shí)間序列分析 隨機(jī)性變化分析 AR、 MA、 ARMA模型 四、發(fā)展歷史 時(shí)間序列分析奠基人： 20世紀(jì) 40年代分別由 Norbort Wiener 和 Andrei Kolemogoner 獨(dú)立給出的，他們對(duì)發(fā)展時(shí)間序列的參數(shù)模型擬和和推斷過(guò)程作出了貢獻(xiàn)，提供了與此相關(guān)的重要文獻(xiàn)，促進(jìn)了時(shí)間序列分析在工程領(lǐng)域的應(yīng)用。 時(shí)間序列分析在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用 20世紀(jì) 70年代， 和 著 《 時(shí)間序列分析：預(yù)測(cè)和控制 》 ，使時(shí)間序列分析的應(yīng)用成為可能。 現(xiàn)代時(shí)間序列分析的發(fā)展趨勢(shì) （ 1）單位根檢驗(yàn)（ 2）協(xié)整檢驗(yàn) 2021年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特 .恩格爾和英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家克萊夫 .格蘭杰。 獲獎(jiǎng)原因：“今年的獲得者發(fā)明了處理許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列兩個(gè)關(guān)鍵特性的統(tǒng)計(jì)方法：時(shí)間變化的變更率和非平穩(wěn)性?！眱扇耸菚r(shí)間序列經(jīng)濟(jì)學(xué)的奠基人。 時(shí)間變化的變更率指方差隨時(shí)間變化而變化的頻率，這主要是指恩格爾在 1982年發(fā)表的條件異方差模型（ ARCH），最初主要用于研究英國(guó)的通貨膨脹問(wèn)題，后來(lái)廣泛用作金融分析的高級(jí)工具； 傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，通常假定經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)和產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的。格蘭杰的貢獻(xiàn)主要是在非平穩(wěn)過(guò)程假定下所進(jìn)行的嚴(yán)格計(jì)量模型的建立。（協(xié)整檢驗(yàn)） 第二章 平穩(wěn)時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)知識(shí) 第一節(jié) 隨機(jī)序列 一、隨機(jī)過(guò)程 定義： 在數(shù)學(xué)上，隨機(jī)過(guò)程被定義為一組隨機(jī)變量，即， ? ?Ttzt ?,其中， T表示時(shí)間 t的變動(dòng)范圍，對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻 t而言， Zt是一隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 特征 （ 1）隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合 （ 2）構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量是隨時(shí)間產(chǎn)生的，在任意時(shí)刻，總有隨機(jī)變量與之相對(duì)應(yīng)。 二、隨機(jī)序列（時(shí)間序列） 當(dāng) 時(shí)，即時(shí)刻 t只取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過(guò)程 可寫成 此類隨機(jī)過(guò)程 稱為隨機(jī)序列，也成時(shí)間序列。 ? ?, . . .2,1,0 ???t? ?Ttzt ?,? ?, .. .2,1,0, ???tz t可見(jiàn) （ 1）隨機(jī)序列是隨機(jī)過(guò)程的一種，是將連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程等間隔采樣后得到的序列； （ 2）隨機(jī)序列也是隨機(jī)變量的集合，只是與這些隨機(jī)變量聯(lián)系的時(shí)間不是連續(xù)的、而是離散的。 三、時(shí)間序列的分布、均值、協(xié)方差 函數(shù) 分布函數(shù) (1)一維分布函數(shù) :隨機(jī)序列中每個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) . F1(z) ,F2(z) ,…, F t1(z) , Ft(z) (2)二維分布函數(shù) :隨機(jī)序列中任意兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) Fi,j(zi,zj).i,j=…, 2,1,0,1,2,… (3)柯爾莫哥洛夫定理與有限維概率分布 柯爾莫哥洛夫定理表明 ,一個(gè)隨機(jī)序列的特征 ,可以用它的有限維分布表示出來(lái)。 均值函數(shù) 對(duì)隨機(jī)序列中的任一隨機(jī)變量取期望。 當(dāng) t取遍所有可能整數(shù)時(shí)，就形成了離散時(shí)間的函數(shù) ut稱 ut 為時(shí)間序列的均值函數(shù)。 dzzfzzdFzEzu tttttt )()( ?? ???自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) ),())(()])([(),( , ststssttsstt zzdFuzuzuzuzEstr ?????? ??)()(),()()(),(22ssstttzDuzEssrzDuzEttr??????自相關(guān)函數(shù)： 當(dāng) t,s取遍所有可能的整數(shù)時(shí)，就形成了時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，它描述了序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)。它的本質(zhì)等同于相關(guān)系數(shù)。 ),(),(),(),(ssrttrstrst ??第二節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列 一、平穩(wěn)時(shí)間序列 定義：時(shí)間序列 {zt}是平穩(wěn)的。如果 {zt}有有窮的二階中心矩，而且滿足： （ 1） ut= Ezt =c。 （ 2） r(t,s) = E[(ztc)(zsc)] = r(ts,0) 則稱 {zt}是平穩(wěn)的。 含義： a有窮二階矩意味著期望和自協(xié)方差存在； b平穩(wěn)時(shí)間序列任意時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的均值相等； c自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 二、平穩(wěn)時(shí)間序列的均值、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù) 均值函數(shù)：平穩(wěn)時(shí)間序列均值為常數(shù)，為分析方便，假定 E zt=0，當(dāng)均值不為零時(shí)，給每個(gè)值減去均值后再求均值，即等于 0。 自協(xié)方差函數(shù)：平穩(wěn)時(shí)間序列的自協(xié)方差僅與時(shí)間間隔有關(guān)，而與具體時(shí)刻無(wú)關(guān)，所以，自協(xié)方差函數(shù)僅表明時(shí)間間隔即可。 tttttkttktktttkDZEZEZZErEZZEZEZZEZZEr????????????220)()0()])([(自相關(guān)函數(shù) ρk 平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差僅與時(shí)間隔有關(guān)，當(dāng)間隔為 零時(shí)，自協(xié)方差應(yīng)相等 ： kkkrrrrrssrttrstrst ?? ????000),(),(),(),(自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) (1) rk=rk ρk= ρk k、－ k僅是時(shí)間先后順序上的差異，它們代表的間隔是相同的。 (2) 001,1 rrrrkk ?????三、偏自相關(guān)函數(shù) （ PACF) 偏自相關(guān)函數(shù)用來(lái)考察扣除 zt 和 zt+k之間 zt+1 ， zt+2， … ， zt+k1影響之后的 zt 和 zt+k之間的相關(guān)性。 偏自相關(guān)函數(shù)的定義 設(shè) {zt}為零均值平穩(wěn)序列， zt+1 ， zt+2， … ， zt+k1對(duì) zt 和 zt+k 的線性估計(jì)為： 112211112211?????????????????????ktkttktktktttzzzzzzzz????????φkk表示偏自相關(guān)函數(shù)，則： )?va r()?va r()?(),?c ov[(ktktttktktttkkzzzzzzzz?????????? PACF的涵義 設(shè)有 zt+1， zt+2， zt+3 )c ov ()]?(c ov [?,133,1213213ttttttttttazzzzzzazz??????????????? pacf的推導(dǎo) 2222112212123332211211111112221111,1,1,1111111,11111,1, .. .,2,1,)1)((11????????????????????????????????????????????????????????????????? ??kjjkkkkkjjkkjkjjkjkjjkkkk四、 隨機(jī)序列的特征描述 （ 1）樣本均值 cznz ntt ?? ?? 11（ 2）樣本自協(xié)方差函數(shù) ? ?? ?kttkttktktttkktktttknttktknttkktknttkdzdzzzEzzEzzrEzzEzzErzznrzzzzknrzzzznr??????????????????????????????????)())(())(()(1))((1))((121011或（ 3）樣本自相關(guān)函數(shù) ????????20 )())((zzzzzzrrtkttkk?（ 4）樣本偏自相關(guān)函數(shù) kjjkkkkkjjkkjkjjkjkjjkkkk,.. .,2,1,)1)((1,1,1,1111111,1111???????????????????? ??????????????例 設(shè)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù) 16， 12， 15， 10， 9， 17， 11，16， 10， 14，求樣本均值、樣本自相關(guān)函數(shù)（ SACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（ SPACF）（各求前三項(xiàng) ） ? ?222103302221011)1314()1312()1316()1314)(1310()1315)(1312()1312)(1316()(1))((1)2(13101)1(????????????????????????????????????????rrrrzznzzzznrrzztttt5 6 1 6 10 5 1)3(11221121222211221212333111111222111?????????????????????????????????????????第三節(jié) 線性平穩(wěn)時(shí)間序列模型 一、自回歸過(guò)程 (A R (p)） ttppttPPpppttstpttptptttazBzzBBBBBBB