直角坐標(biāo)系的分離變量法(已修改)
2025-05-30 23:56 本頁面
【正文】 作業(yè) P220 u (x ,t)的偏微分方程（齊次） u (x ,t)的邊條件（齊次） u (x ,t)的初條件 令 )()(),( tTxtxu ??T (t)滿足的方程 X (x)滿足的常微分方程 X (x)滿足的邊條件 第二章 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 167。 1分離變量法簡(jiǎn)介 一、基本思想和解題思路 ◆ 通過分別解 X (x)和 T (t),求出滿足齊次方程 齊次邊條件的分離變量的形式解： ?2,1)()(),( ??? ntTxtxu nnn◆ 把這些形式解迭加起來 ????1)()(nnnn tTxC令其滿足非齊次的定解條件，求出 C n， 即為所求的解。 二、理論依據(jù) — 線性迭加原理 設(shè)： L、 Mk (k=1,2…… m)為線性算子 u i (i=1,2…… n)為線性齊次定解問題的解 0 1 , 2 ,0 ( 1 , 2 )ikiLu inM u k m??? ???????則 一定是線性齊次定解問題的解， 其中 C i為任意常數(shù) ???niiiuCu1即： ?????00uMLuk【 例 】 2 0( 0 , ) 0 , ( , ) 0( , 0) ( ) , ( , 0) ( )tt x xxtu a uu t u l tu x f x u x g x? ??????? ???22222xatL ??????121,MM x????三、處理的主要問題 ，齊次邊條件的定解問題 ，齊次邊條件的定解問題 4. 多維空間的定解問題 167。 2齊次方程、齊次邊條件的 初值 — 邊值問題 特點(diǎn)：直接用分離變量法就可獲得成功 一、兩端固定弦的自由橫振動(dòng) ： （ 1）列出定解問題 ??????????????)()0,(),()0,(0),(,0),0(0,002xxuxxutlututlxuautxxtt??① (2)分離變量 設(shè)形式解 : )()(),( tTxtxu ?? 代入①中的方程 0)()()()( 2 ?? ?????? tTxatTx兩邊同時(shí)除以 )()(2 tTxa ?)()()()(2 tTatTxx ????? ?? (*) 分析：右側(cè)只是 t的函數(shù)與 x無關(guān) 左側(cè)只是 x的函數(shù)與 t無關(guān) x、 t是兩個(gè)獨(dú)立變量，所以為了使 0xl ,t0上式能 處處成立，只能有一種情況：左＝右＝常量 由（ *）式得到： ???????? ?? )( )()( )( 2 tTa tTxx0)()(0)()(2 ???????? ??tTatTxx??將形式解代入邊條件： 0)()(),(0)()0(),0(??????tTltlutTtu∵ T (t) ≠0 ???????0)(0)0(l整理得： ????????????? ??0)(,0)0(00)()(llxxx ? ② 00)()( 2 ????? ttTatT ?③ 其中： ?為待定常數(shù) 討 論： 1）分離變量法的第一個(gè)目的已經(jīng)達(dá)到
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