統(tǒng)計學(xué)區(qū)間估計詳細講解(已修改)
2025-05-28 23:15 本頁面
【正文】 教學(xué)重點 教學(xué)過程 教學(xué)總結(jié) 第八章 區(qū)間估計 STAT STAT 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于 100克，否則即為不合格。為對產(chǎn)量質(zhì)量進行檢測，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門負責(zé)質(zhì)量檢驗，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。 由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進行全面的檢驗是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計平均每袋的重量。質(zhì)檢科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了 25袋，下表 1是對每袋食品重量的檢驗結(jié)果。 實踐中的統(tǒng)計 STAT 根據(jù)表 1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量在 ~，其中，估計的可信程度為 95%，估計誤差不超過 4克。產(chǎn)品的合格率在 %~%之間，其中，估計的可信程度為 95%，估計誤差不超過 16%。 表 1 25袋食品的重量（克） 10808 STAT 質(zhì)檢報告提交后，企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能用一個更大的樣本進行估計？二是能否將估計的誤差在縮小一點？比如，估計平均重量時估計誤差不超過 3克，估計合格率時誤差不超過 10%。三是總體平均重量的方差是多少？因為方差的大小說明了生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，過大或過小的方差都意味著應(yīng)對生產(chǎn)過程進行調(diào)整。 STAT 本章重點 抽樣誤差的概率表述； 區(qū)間估計的基本原理； 小樣本下的總體參數(shù)估計方法； 樣本容量的確定方法； 本章難點 一般正態(tài)分布 ?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； t分布； 區(qū)間估計的原理； 分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。 STAT 點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度 區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數(shù)的可能區(qū)間 【 例 1】 CJW公司是一家專營體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進行調(diào)查以了解顧客的滿意分?jǐn)?shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在 20分左右。最近一次對 100名顧客的抽樣顯示，滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為 82分，試建立總體滿意分?jǐn)?shù)的區(qū)間。 抽樣誤差：一個無偏估計與其對應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對值。 抽樣誤差 = （實際未知） （大樣本 n30） x???xSTAT 要進行區(qū)間估計，關(guān)鍵是將抽樣誤差 求解。若 已知，則區(qū)間可表示為： 此時，可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進行描述。 上例中，已知，樣本容量 n=100,總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，根據(jù)中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。 即： x? x?? ?xx xx ???? ,20???210020 ??? nx ??)2,82(~ 2NxSTAT 由概率論可知， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即， 有以下關(guān)系式成立： 一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估計結(jié)果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到其對應(yīng)的臨界值 。進而計算抽樣誤差 )2,82(~ 2NxxxZ???? )1,0(~ NZ???? ????1)(2ZxPx??12?Zxx Zx ?? ? ????? 2STAT 若， 則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得， 抽樣誤差 此時抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的 177。 的區(qū)間包含總體均值的概率是 95%，或者說，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是 。 常用的置信度還有 90%， %， %，他們對應(yīng)的臨界值分別為 ， 2和 3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應(yīng)的精確程度和把握程度。 %951 ?? ? ??Z* ?????? xxx Z ???STAT ： 在 CJW公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是 的概率是 。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為， 由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示： ? ? ? ?? ?,???????? xx xx已知時的大樣本情況?STAT x 的 抽 樣 分 布 2x? ?95% x的 所 有 的 值 3x1x x2 1 3 .9 2x ?基 于 的 區(qū) 間2 3 .9 2x ?基 于 的 區(qū) 間3 ??基 于 的 區(qū) 間 ( 該 區(qū) 間 不 包 含 )圖 1 根據(jù)選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間 1x x2 3xSTAT 上圖中，有 95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值 177。 。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有 95%的把握認為，以樣本均值為中心的 177。 。 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應(yīng)的置信水平為 置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負值。也將正負值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍。 總結(jié)： ??1? 已 知 時 的 大 樣 本 下 的 區(qū) 間 估 計nZx ?? ??2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)；式中，（Z212???Z?STAT ： 在大多數(shù)的情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。根據(jù)抽樣分布
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