【正文】 補充專題 多屬性決策與灰色決策 ? ? ? ? ? 一、簡單線性加權法 二、理想解法 三、功效系數(shù)法 一、簡單線性加權法 ?簡單線性加權法是一種常用的多屬性決策方法，先確定各決策指標的權重，再對決策矩陣進行標準化處理，求出各方案的線性加權指標平均值，并以此作為各可行方案排序的依據(jù)。應該注意，簡單線性加權法對決策矩陣的標準化處理，應當使所有的指標正向化。 簡單線性加權法的基本步驟是： 步驟一： 用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權重，設權重向量為： 12( , , , )TnW w w w?，其中，11njjw???。 步驟二： 對決策矩陣() ij m nXx ??作標準化處理，標準化矩陣為() ij m nYy ??，并且標準化之后的指標均為正向指標。 步驟三： 求出各決策方案的線性加權指標值1ni j ijju w y?? ? ? ?mi ??1。 步驟四： 以線性加權指標值iu為依據(jù)，選擇線性加權指標值最大者為最滿意的答案，即*111( ) m a x m a xni j iji m i mju a u w y? ? ? ???? ?。 二、理想解法 ?理想解法又稱為 TOPSIS（ Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 法。 ?這種方法通過構造多屬性問題的理想解和負理想解，并以靠近理想解和遠離理想解兩個基準作為評價各可行方案的依據(jù)。 理想解法又成為雙基點法 。 ?理想解：設想各指標屬性都達到最滿意的解。 ?負理想解：設想指標屬性都達到最不滿意的解。 三、功效系數(shù)法 ?功效系數(shù)法是將各決策指標的相異度量轉化為相應的無量綱的功效系數(shù)，再進行綜合評價的多屬性決策方法。 ?功效系數(shù)法的基本步驟是： ?步驟一：確定決策指標體系 ?步驟二：計算各指標的功效系數(shù) ?步驟三：計算各方案的總功效系數(shù) ?步驟四：以總功效系數(shù)為判據(jù)，對各方案進行排序。功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；反之，方案越劣。 ? ? ? ? ? 一、區(qū)間數(shù)的基本概念 （一）區(qū)間數(shù)定義 設 R 為實數(shù)域，稱閉區(qū)間 ? ?UL xx , 為區(qū)間數(shù)，用 x~ 表示。其中，為 Lx 區(qū)間數(shù)的下確界， Ux 為區(qū)間數(shù)的上確界， ULUL xxRxx ?? , 。 下列符號用來表示一個具有區(qū)間數(shù)的多指標決策問題的集和量： ? ?mSSSS ,2,1 ?? ：為 m 個備選方案的集合 ? ?2?m 。 ? ?3,2,1 ?? ：為 n 個指標的集合 ? ?2?n ，假設這些指標是加性獨立的。 w~ ? ? Tn ,2,1 ?? ：為用區(qū)間數(shù)形式 表示的指標權重向量，其中， ?jw ? ?UjLj ww ,，0,0,1 ,11???? ????UjLjjnjUjnjLj w。一般地， w~ 由決策者給出。 ? ? nmijaA ?? ~~ ：表示具有區(qū)間數(shù)的決策矩陣，其中 ?ija~ ? ?UijLij aa ,表示方案iS 對應于指標jQ的一個結果 （二）區(qū)間數(shù)的運算法則 設?a~[UL aa ,] 和 ?b~ [ ULbb ,] 為任意兩個正閉區(qū)間數(shù) ， 關于區(qū)間數(shù)的運算法則可由下列式子給出： ?? ba~~? ?UULL baba ?? ,； ? ?UULL bababa ,~~ ?? ； a~ ? b~ =? ?LUULbaba,； ?ak ~ ? ?UL kaka , ， 0?k ； ?a~1? ?LUaa1,1 。 （三）區(qū)間數(shù)大小比較 記[ , ] { | }L U L Ua a a x a x a? ? ? ?，稱a為一個區(qū)間數(shù)。特別地，若LUaa ? ，則 a 退化為一個實數(shù)。 定義 1 當,ab均為實數(shù)時，稱 ? 1,() 0, abp a b ab ??? ? 為 ab? 的可能度。 相應地， ba? 的可能度定義為 ?1,()0,bap b aba???? 定義 2 當,ab同時為區(qū)間數(shù)或者有一個為區(qū)間數(shù)時，設[ , ]LUa a a?，[ , ]LUb b b?且記( ) , ( ) ,U L U Ll a a a l b b b? ? ? ? 則稱 ( ) m a x 1 m a x , 0 , 0( ) ( )ULbap a bl a l b?? ?? ???? ? ??? ????? ???? 為ab?的可能度。 類似地，稱 ( ) m a x 1 m a x , 0 , 0( ) ( )ULabp b al a l b?? ?? ???? ? ??? ????? ???? 為 ba? 的可能度。 對于給定的一組區(qū)間數(shù)[ , ] , 1 , 2 , , .LUa a a i n??用區(qū)間數(shù)比較的可能度公式對其進行兩兩比較，得到相應的可能度( ) , , 1 , 2 , , ,ijp a a i j n? ?，簡記為, , 1 , 2 , , ,ijp i j n? 建立如下可 能度矩陣11 12 121 22 212nnn n nnp p pp p ppp p p?????????????。 該矩陣包含了所有方案相互比較的全部可能度信息。因此，對 區(qū)間數(shù)進行排序的問題就轉化為求解可能度矩陣的排序向量問題 。 由于可能度矩陣p中元 素, , 1 , 2 , ,ijp i j n?滿足0 1 , 1 , , 1 , 2 , ,ij ij jip p p i j n? ? ? ? ?。因此，矩陣p是一個模糊互補判斷矩陣。采用 模糊互補判斷矩陣的排序理論 進行排序，即 112, 1 , 2 , ,( 1 )nijjinpw i nnn???????得到可能度矩陣p的排序向量12( , , , )Tnw w w w?，并利用( 1 , 2 , , )iw i n?對區(qū)間數(shù)( 1 , 2 , , )ia i n?進行排序。 ? ? ? ? ? 定義 1 設},),({ BbAabasS jijiij ????為局勢集，? ?kiju為局勢ijs在k目標下的效果值， R 為實數(shù)集，則稱? ?kiju：RS ? ? ?kijij us ? 為S在k目標下的效果映射。 定義 2 01 若? ? ? ?kihkij uu ?