【正文】 1 拔河比賽最優(yōu)方案研究 摘要 拔河比賽可以鍛煉參加者的臂力、腿力、腰力和耐力，比賽現(xiàn)場氣氛熱烈，并且能夠培養(yǎng)團隊合作精神。所以對如何使拔河比賽成為一項受大眾歡迎的運動的研究日益重要。我們可以通過對參賽隊員的受力分析，比賽方式等來研究拔河問題。 針對問題一，某對為了使己方在拔河比賽中發(fā)揮最大能量，我們分別建立只考慮運動員體重和只考慮運動員身高的模型，通過對兩個模型的受力分析，得出了比賽時將身高較高的同學安排在靠前位置、體重較大的同學安排在靠后位置最有利于發(fā)揮全隊的能量的結(jié)論。 針對問題二，為了判斷繩子拉過 4米為獲勝者這一規(guī)定是否科學，我們建立了能量模型和齊次馬爾可夫鏈模型，分別從能量的消耗和繩子拉動的距離的關(guān)系，以及其轉(zhuǎn)移概率與繩子中點標記的偏移距離的關(guān)系。從而得出了拔河比賽獲勝規(guī)定為拉過繩索 4米是科學的這個結(jié)論。 針對問題三，為了保證在校大部分同學都能參加，又能體現(xiàn)比賽競爭性，我們對傳統(tǒng)的比賽模式作了改變，提出了一賽三隊的比賽模式，并制定了與之對應的比賽規(guī)則。 針對問題四，我們根據(jù)問題二判斷繩子拉過 4米為獲勝者的結(jié)論和問題三中我們設計的比賽方式和規(guī)則，我們可以寫出將自己設計的拔 河比賽列入全國大學生正式比賽項目的提案。 最后，對模型進行靈敏度和誤差分析，并且對模型優(yōu)缺點進行評價與推廣。 關(guān)鍵詞 ： 拔河比賽；受力分析； 能量模型 ； 齊次馬爾可夫鏈 一、 問題重述 拔河是深受大家喜愛的比賽項目，有各種比賽分級方法。常見的分 以參賽雙方每方 8 人的 “ 總體重 ” 來分級，從 320 公斤到 720 公斤，每隔 40公斤 為 一級。拔河比賽的繩子中間有一個標記，在比賽中，若 某 參賽方將繩子標記拉過自己一側(cè) 4米 ， 則該方獲勝。針對此項比賽規(guī)則，進行以下分析： 2 在某種分級比賽中，若想發(fā)揮最大能量，應如何安排隊員的站位才能達到最佳以獲勝。 通過數(shù)學建模的方式說明比賽獲勝規(guī)定為拉過繩索 4 米是否科學。 設計一個既能保證在校大部分同學都能參加，又能體現(xiàn)比賽競爭性的拔河比賽規(guī)則，并對該規(guī)則進行定量說明。 向 我校 運動組委會寫一個將你設計的拔河比賽列入全國大學生正式比賽項目的提案。 二、 問題分析 問題一 屬于分類討論類問題，通過利用物理對拔河時的參賽隊員進行受力分析討論。該問題通過分類討論，探討在拔河比賽時對總體的受力分析以及對個人的受力分析進行比較匯總。此外，通過控制變量，討論在只考慮身高因素及只考慮體重因素時的最優(yōu)站位，從而得出結(jié)論。 問題二中對于繩子被拉動的距離 ，我們可以用能量模型對雙方在拔河比賽中的能量進行分析就得關(guān)系，再由一般人的最大能量和一般場地與鞋子的摩擦系數(shù)，求得一方一次發(fā)力時，繩子被拉動的最大距離。根據(jù)最大距離和規(guī)定的 4米進行比較來得出規(guī)定為 4 米是否科學。我們也可以建立齊次馬爾可夫鏈模型 ，通過對其轉(zhuǎn)移概率的分析來得出結(jié)論。 問題三屬于定量分析類問題，通過改變傳統(tǒng)比賽模式，制定新的比賽規(guī)則，讓比賽更加新穎有吸引力，從而可以讓更多的人自愿參加拔河比賽，但也要保留其競爭性和團隊合作性。并通過定量分析，對該比賽規(guī)則的公平合理性進行探討。 問題 四屬于擬定文案類問題， 通過前三個問題的 分析及 解決完善，使得傳統(tǒng)的拔河比賽煥然一新，能夠使得大多數(shù)學生自愿參與并享受其中。在本問題中，需 將所得模型舉薦給全國大學生體育運動組委會， 并 從背景，目的，策略，依據(jù)的科學原理方面給予具體的說明。 三、 基本假設 假設比賽場地地面的摩擦因數(shù)相同 假設比賽時力總用在一條直線上 假設比賽時參賽人員的傾角相同 3 四、 符號說明 N? ??????????????? ????? ????? 地面對人的支持力 G??????????????????????? ???? 人所受到的重力 f??????????????????????? ??? 人所受到的摩擦力 Fi???? ? ??????????? ?????? ??? ??? 所受的力 T????????????????????? ??????? ? 繩子的拉力 μ??????????????????????? ???? ?? ? 摩擦因數(shù) θ???????????????????????? ??? ?? 人的傾斜角 h??????????? ?? ???? ???? ???????? 人的身高 m ???????????? ?? ????? ?? ???????? 人的質(zhì)量 g ????????????? ?? ?????????????? 重力加速 0E ??????????????? ??????? 每名隊員體內(nèi)貯存的能量 ? ????????????????? ?????? 鞋子對地的摩擦系數(shù) E????????? ? ?????? 比賽雙方 8名隊員的摩擦力消耗的總能量 l ?????????????? ????????? 比賽時拉過繩子的距離 ??tj ?????????????? ????? t時刻小旗所在位置的隨機過程 21,?? ????????????? ???? A、 B兩支隊伍所 產(chǎn)生拉力的期望值 P???????????? ??? 在比賽過程中，下一時刻 A取得優(yōu)勢的概率 ??kp ??????????? ?? ?????? 比賽過程的 k 步轉(zhuǎn)移概率矩陣 ????2,??(??)?????????????? ?? 時刻小旗從 n 2轉(zhuǎn)移至 n點的概率 0d ???????????????? 每一個時刻兩支隊伍競爭所產(chǎn)生的位移 d?????????????? ???? 使得比賽勝利所必須拉過的繩索長度 4 五、 模型的建立與求解 拔河最優(yōu)站位模型的建立 與求解 問題分析 在拔河比賽時，如何 發(fā)揮最大能量 以取得勝利，需要從以下幾個方面分析： 1) 總體及個人受力分析情況 2) 傾斜角度對受力情況的影響 3) 按身高因素分析時發(fā)揮最大能量時的站位 4) 按體重因素分析時發(fā)揮最大能量時的站位 模型 I（ 拔河最佳站位模型 ）的建立 拔河時總體受力分析情況 在拔河比賽中， 對于參賽的兩個隊伍 A、 B 進行受力分析，兩個隊伍總體運動情況課視為平動。因此，可以將兩隊分別視為質(zhì)點，將受力移至質(zhì)心，則 A、B兩隊的受力分析如下圖 1 所示： 圖 1 總體受力分析 在 A、 B 兩隊雙方拉力懸殊時，拉力大的獲勝。若雙方拉力 相 當時， 雙方的受力情況 如圖 1所示， A、 B 兩隊各自受 4 個力的作用：重力 G、支持力 N、摩擦力 f、拉力 T，這四個力可看作共同作用于質(zhì)心。由作用力與反作用力相等可得 TBA與 TAB大小相同，力在豎直方向平衡可得 N與 G相等。因此，拔河時獲勝的關(guān)鍵因素即為 A、 B 雙方的所受摩擦力 f 的大小。若 fAfB,則 fATBA, TABfB,若 A、 B狀態(tài)不變，則 A、 B 都將獲得向 A 方向的加速度 a， A 將獲得勝利；反之，則 B獲勝。 5 由上述分析可得， 在雙方實力相當?shù)那闆r下，可以通過增加己方所受的摩擦力的大小取勝。此時，摩擦力的大小 f與對地面的正壓力有關(guān) : f = μN 式中， μ為腳與地面的摩擦因 數(shù)， N與參賽隊員的總質(zhì)量成正相關(guān)，因此可以通過讓隊員穿上摩擦因數(shù)較大的鞋子或是讓體重較大的成員參加比賽，即可增大所受摩擦力取勝。 （二） 拔河時個人受力分析情況 1） 拔河比賽時，對于個人的受力分析情況如圖 2所示： 圖 2 個人受力情況 如圖 2所