【正文】 1 拔河比賽最優(yōu)方案研究 摘要 拔河比賽可以鍛煉參加者的臂力、腿力、腰力和耐力，比賽現(xiàn)場氣氛熱烈，并且能夠培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神。所以對(duì)如何使拔河比賽成為一項(xiàng)受大眾歡迎的運(yùn)動(dòng)的研究日益重要。我們可以通過對(duì)參賽隊(duì)員的受力分析，比賽方式等來研究拔河問題。 針對(duì)問題一，某對(duì)為了使己方在拔河比賽中發(fā)揮最大能量，我們分別建立只考慮運(yùn)動(dòng)員體重和只考慮運(yùn)動(dòng)員身高的模型，通過對(duì)兩個(gè)模型的受力分析，得出了比賽時(shí)將身高較高的同學(xué)安排在靠前位置、體重較大的同學(xué)安排在靠后位置最有利于發(fā)揮全隊(duì)的能量的結(jié)論。 針對(duì)問題二，為了判斷繩子拉過 4米為獲勝者這一規(guī)定是否科學(xué)，我們建立了能量模型和齊次馬爾可夫鏈模型，分別從能量的消耗和繩子拉動(dòng)的距離的關(guān)系，以及其轉(zhuǎn)移概率與繩子中點(diǎn)標(biāo)記的偏移距離的關(guān)系。從而得出了拔河比賽獲勝規(guī)定為拉過繩索 4米是科學(xué)的這個(gè)結(jié)論。 針對(duì)問題三，為了保證在校大部分同學(xué)都能參加，又能體現(xiàn)比賽競爭性，我們對(duì)傳統(tǒng)的比賽模式作了改變，提出了一賽三隊(duì)的比賽模式，并制定了與之對(duì)應(yīng)的比賽規(guī)則。 針對(duì)問題四，我們根據(jù)問題二判斷繩子拉過 4米為獲勝者的結(jié)論和問題三中我們?cè)O(shè)計(jì)的比賽方式和規(guī)則，我們可以寫出將自己設(shè)計(jì)的拔 河比賽列入全國大學(xué)生正式比賽項(xiàng)目的提案。 最后，對(duì)模型進(jìn)行靈敏度和誤差分析，并且對(duì)模型優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)與推廣。 關(guān)鍵詞 ： 拔河比賽；受力分析； 能量模型 ； 齊次馬爾可夫鏈 一、 問題重述 拔河是深受大家喜愛的比賽項(xiàng)目，有各種比賽分級(jí)方法。常見的分 以參賽雙方每方 8 人的 “ 總體重 ” 來分級(jí)，從 320 公斤到 720 公斤，每隔 40公斤 為 一級(jí)。拔河比賽的繩子中間有一個(gè)標(biāo)記，在比賽中，若 某 參賽方將繩子標(biāo)記拉過自己一側(cè) 4米 ， 則該方獲勝。針對(duì)此項(xiàng)比賽規(guī)則，進(jìn)行以下分析： 2 在某種分級(jí)比賽中，若想發(fā)揮最大能量，應(yīng)如何安排隊(duì)員的站位才能達(dá)到最佳以獲勝。 通過數(shù)學(xué)建模的方式說明比賽獲勝規(guī)定為拉過繩索 4 米是否科學(xué)。 設(shè)計(jì)一個(gè)既能保證在校大部分同學(xué)都能參加，又能體現(xiàn)比賽競爭性的拔河比賽規(guī)則，并對(duì)該規(guī)則進(jìn)行定量說明。 向 我校 運(yùn)動(dòng)組委會(huì)寫一個(gè)將你設(shè)計(jì)的拔河比賽列入全國大學(xué)生正式比賽項(xiàng)目的提案。 二、 問題分析 問題一 屬于分類討論類問題，通過利用物理對(duì)拔河時(shí)的參賽隊(duì)員進(jìn)行受力分析討論。該問題通過分類討論，探討在拔河比賽時(shí)對(duì)總體的受力分析以及對(duì)個(gè)人的受力分析進(jìn)行比較匯總。此外，通過控制變量，討論在只考慮身高因素及只考慮體重因素時(shí)的最優(yōu)站位，從而得出結(jié)論。 問題二中對(duì)于繩子被拉動(dòng)的距離 ，我們可以用能量模型對(duì)雙方在拔河比賽中的能量進(jìn)行分析就得關(guān)系，再由一般人的最大能量和一般場地與鞋子的摩擦系數(shù)，求得一方一次發(fā)力時(shí)，繩子被拉動(dòng)的最大距離。根據(jù)最大距離和規(guī)定的 4米進(jìn)行比較來得出規(guī)定為 4 米是否科學(xué)。我們也可以建立齊次馬爾可夫鏈模型 ，通過對(duì)其轉(zhuǎn)移概率的分析來得出結(jié)論。 問題三屬于定量分析類問題，通過改變傳統(tǒng)比賽模式，制定新的比賽規(guī)則，讓比賽更加新穎有吸引力，從而可以讓更多的人自愿參加拔河比賽，但也要保留其競爭性和團(tuán)隊(duì)合作性。并通過定量分析，對(duì)該比賽規(guī)則的公平合理性進(jìn)行探討。 問題 四屬于擬定文案類問題， 通過前三個(gè)問題的 分析及 解決完善，使得傳統(tǒng)的拔河比賽煥然一新，能夠使得大多數(shù)學(xué)生自愿參與并享受其中。在本問題中，需 將所得模型舉薦給全國大學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)組委會(huì)， 并 從背景，目的，策略，依據(jù)的科學(xué)原理方面給予具體的說明。 三、 基本假設(shè) 假設(shè)比賽場地地面的摩擦因數(shù)相同 假設(shè)比賽時(shí)力總用在一條直線上 假設(shè)比賽時(shí)參賽人員的傾角相同 3 四、 符號(hào)說明 N? ??????????????? ????? ????? 地面對(duì)人的支持力 G??????????????????????? ???? 人所受到的重力 f??????????????????????? ??? 人所受到的摩擦力 Fi???? ? ??????????? ?????? ??? ??? 所受的力 T????????????????????? ??????? ? 繩子的拉力 μ??????????????????????? ???? ?? ? 摩擦因數(shù) θ???????????????????????? ??? ?? 人的傾斜角 h??????????? ?? ???? ???? ???????? 人的身高 m ???????????? ?? ????? ?? ???????? 人的質(zhì)量 g ????????????? ?? ?????????????? 重力加速 0E ??????????????? ??????? 每名隊(duì)員體內(nèi)貯存的能量 ? ????????????????? ?????? 鞋子對(duì)地的摩擦系數(shù) E????????? ? ?????? 比賽雙方 8名隊(duì)員的摩擦力消耗的總能量 l ?????????????? ????????? 比賽時(shí)拉過繩子的距離 ??tj ?????????????? ????? t時(shí)刻小旗所在位置的隨機(jī)過程 21,?? ????????????? ???? A、 B兩支隊(duì)伍所 產(chǎn)生拉力的期望值 P???????????? ??? 在比賽過程中，下一時(shí)刻 A取得優(yōu)勢的概率 ??kp ??????????? ?? ?????? 比賽過程的 k 步轉(zhuǎn)移概率矩陣 ????2,??(??)?????????????? ?? 時(shí)刻小旗從 n 2轉(zhuǎn)移至 n點(diǎn)的概率 0d ???????????????? 每一個(gè)時(shí)刻兩支隊(duì)伍競爭所產(chǎn)生的位移 d?????????????? ???? 使得比賽勝利所必須拉過的繩索長度 4 五、 模型的建立與求解 拔河最優(yōu)站位模型的建立 與求解 問題分析 在拔河比賽時(shí)，如何 發(fā)揮最大能量 以取得勝利，需要從以下幾個(gè)方面分析： 1) 總體及個(gè)人受力分析情況 2) 傾斜角度對(duì)受力情況的影響 3) 按身高因素分析時(shí)發(fā)揮最大能量時(shí)的站位 4) 按體重因素分析時(shí)發(fā)揮最大能量時(shí)的站位 模型 I（ 拔河最佳站位模型 ）的建立 拔河時(shí)總體受力分析情況 在拔河比賽中， 對(duì)于參賽的兩個(gè)隊(duì)伍 A、 B 進(jìn)行受力分析，兩個(gè)隊(duì)伍總體運(yùn)動(dòng)情況課視為平動(dòng)。因此，可以將兩隊(duì)分別視為質(zhì)點(diǎn)，將受力移至質(zhì)心，則 A、B兩隊(duì)的受力分析如下圖 1 所示： 圖 1 總體受力分析 在 A、 B 兩隊(duì)雙方拉力懸殊時(shí)，拉力大的獲勝。若雙方拉力 相 當(dāng)時(shí)， 雙方的受力情況 如圖 1所示， A、 B 兩隊(duì)各自受 4 個(gè)力的作用：重力 G、支持力 N、摩擦力 f、拉力 T，這四個(gè)力可看作共同作用于質(zhì)心。由作用力與反作用力相等可得 TBA與 TAB大小相同，力在豎直方向平衡可得 N與 G相等。因此，拔河時(shí)獲勝的關(guān)鍵因素即為 A、 B 雙方的所受摩擦力 f 的大小。若 fAfB,則 fATBA, TABfB,若 A、 B狀態(tài)不變，則 A、 B 都將獲得向 A 方向的加速度 a， A 將獲得勝利；反之，則 B獲勝。 5 由上述分析可得， 在雙方實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下，可以通過增加己方所受的摩擦力的大小取勝。此時(shí)，摩擦力的大小 f與對(duì)地面的正壓力有關(guān) : f = μN(yùn) 式中， μ為腳與地面的摩擦因 數(shù)， N與參賽隊(duì)員的總質(zhì)量成正相關(guān)，因此可以通過讓隊(duì)員穿上摩擦因數(shù)較大的鞋子或是讓體重較大的成員參加比賽，即可增大所受摩擦力取勝。 （二） 拔河時(shí)個(gè)人受力分析情況 1） 拔河比賽時(shí)，對(duì)于個(gè)人的受力分析情況如圖 2所示： 圖 2 個(gè)人受力情況 如圖 2所