【正文】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記 前 言 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是經(jīng)管類各專業(yè)的基礎(chǔ)課，概率論研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，它是本課程的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計則從應(yīng)用角度研究如何處理隨機數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計方法，進行統(tǒng)計推斷。 概率論包括隨機事件及其概率、隨機變量及其概率分布、多維隨機變量及其概率分布、隨機變量的數(shù)字特征及大數(shù)定律和中心極限定理。共五章，重點第一、二章，數(shù)理統(tǒng)計包括樣本與統(tǒng)計量，參數(shù)估計和假設(shè)檢驗、回歸分析。重點是參數(shù)估計。 預(yù)備知識 （一）加法原則 引例一，從北京到上海的方法有兩類： 第一類坐火車，若北京到上海有早、中、晚三班火車分別記作火 火 火 3，則坐火車的方法有 3種；第二類坐飛機，若北京到上海的飛機有早、晚二班飛機，分別記作飛 飛 2。問北京到上海的交通方法共有多少種。 【答疑編號： 10000101 針對該題提問】 解：從北京到上海的交通方法共有火 火 火 飛 飛 2共 5 種。它是由第一類的 3 種方法與第二類的 2 種方法相加而成。 一般地有下面的加法原則： 辦一件事，有 m 類辦法，其中： 第一類辦法中有 n1種方法； 第二類辦法中有 n2種方法； …… 第 m 類辦法中有 nm種方法； 則辦這件事共有 種方法。 （二）乘法原則 引例二，從北京經(jīng)天津到上海，需分兩步到達。 第一步從北京到天津的汽車有早、中、晚三班，記作汽 汽 汽 3 第二步從天津到上海的飛機有早、晚二班，記作飛 飛 2 問從北京經(jīng)天津到上海的交通方法有多少種？ 【答疑編號： 10000102 針對該題提問】 解：從北京經(jīng)天津到上海的交通方法共有： ① 汽 1飛 1， ② 汽 1飛 2， ③ 汽 2飛 1， ④ 汽 2飛 2， ⑤ 汽 3 飛 1， ⑥ 汽 3 飛 2。共 6 種，它是由第一步由北京到天津的 3 種方法與第二步由天津到上海的 2 種方法相乘 32=6 生成。 一般地有下面的乘法原則： 辦一件事，需分 m 個步驟進行，其中： 第一步驟的方法有 n1 種； 第二步驟的方法有 n2 種； …… 第 m 步驟的方法有 nm種； 則辦這件事共有 種方法。 （三）排列（數(shù)）： 從 n個不同的元素中，任取其中 m個排成與順序有關(guān)的一排的方法數(shù)叫排列數(shù)，記作 或 。 排列數(shù) 的計算公式為： 例如： （四）組合（數(shù)）： 從 n個不同的元素中任取 m個組成與順序無關(guān)的一組的方法數(shù)叫組合數(shù)，記作 或 。 組合數(shù) 的計算公式為 例如： =45 組合數(shù)有性質(zhì) （ 1） ，（ 2） ，（ 3） 例如： 例一，袋中有 8 個球，從中任取 3 個球，求取法有多少種？ 【答疑編號： 10000103 針對該題提問】 解：任取出三個球與所取 3 個球順序無關(guān)，故方法數(shù)為組合數(shù) （種） 例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（ √√√√√）從中任取 3 件，求所取 3 件中有 2 件正品 1 件次品的取法有多少種？ 【答疑編號： 10000104 針對該題提問】 解：第一步在 5 件正品中取 2 件，取法有 （種） 第二步在 3 件次品中取 1 件，取法有 （種） 由乘法原則，取法共有 103=30（種） 第一章 隨機事件與隨機事件的概率 167。 隨機事件 引例一，擲兩次硬幣，其可能結(jié)果有： ｛上上；上下；下上；下下｝ 則出現(xiàn)兩次面向相同的事件 A 與兩次面向不同的事件 B 都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的。 引例二，擲一次骰子，其可能結(jié)果的點數(shù)有： ｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6｝ 則出現(xiàn)偶數(shù)點的事件 A，點數(shù) ≤4的事件 B 都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。 從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可 能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結(jié)果，這樣的事件，我們叫隨機事件。 （一）隨機事件 ：在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機事件，習(xí)慣用 A、 B、 C 表示隨機事件。 由于本課程只討論隨機事件，因此今后我們將隨機事件簡稱事件。 雖然我們不研究在一次試驗中，一定會出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。 必然事件：在一次試驗中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用 Ω表示必然事件。 例如，擲一次骰子，點數(shù) ≤6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。 不可 能事件：在一次試驗中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用 φ 表示不可能事件。 例如，擲一次骰子，點數(shù) 6 的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。 （二）基本（隨機）事件 隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫基本隨機事件，簡稱基本事件，也叫樣本點，習(xí)慣用 ω表示基本事件。 例如，擲一次骰子，點數(shù) 1,2,3,4,5,6 分別是基本事件，或叫樣本點。 全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間，記作 Ω，當然 Ω是必然事件。 （三）隨機事件的關(guān)系 （ 1）事件的包含：若事件 A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件 B 發(fā)生，就說事 件 B包含事件 A，記作 。 例如，擲一次骰子， A 表示擲出的點數(shù) ≤2， B 表示擲出的點數(shù) ≤3。 ∴ A=｛ 1， 2｝， B=｛ 1， 2， 3｝。 所以 A發(fā)生則必然導(dǎo)致 B 發(fā)生 。 顯然有 （ 2）事件的相等：若 ，且 就記 A=B，即 A與 B 相等，事件 A等于事件 B，表示 A與 B 實際上是同一事件。 （四）事件的運 算 （ 1）和事件：事件 A與事件 B 中至少有一個發(fā)生的事件叫事件 A與事件 B 的和事件，記作：或 A+B 例如，擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝； B=｛ 1， 2， 3｝ 則和事件 A+B=｛ 1， 2， 3， 5｝ 顯然有性質(zhì) ① ② 若 ，則有 A+B=B ③ A+A=A （ 2）積事件：事件 A與事件 B都發(fā)生的事件叫事件 A與事件 B 的積事件，記作： AB 或 A∩B 例如，擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝； B=｛ 1， 2， 3｝，則 AB=｛ 1， 3｝ 顯然有性質(zhì)： ① ② 若 ，則有 AB=A ③ AA=A （ 3）差事件：事件 A發(fā)生而且事件 B不發(fā)生的事件叫事件 A與事件 B的差事件，記作（ AB） 例如，擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝； B=｛ 1， 2， 3｝，則 AB=｛ 5｝ 顯然有性質(zhì)： ① ② 若 ，則有 AB=Φ ③ AB=AAB （ 4）互不相容事件：若事件 A與事件 B 不能都發(fā)生，就 說事件 A 與事件 B 互不相容（或互斥）即 AB=Φ 例如，擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝； B=｛ 2， 4｝ ∴ AB=Φ （ 5）對立事件：事件 A不發(fā)生的事件叫事件 A的對立事件。記作 例如，擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝，則 顯然，對立事件有性質(zhì)： ① ② ③ 注意： A與 B 對立，則 A與 B 互不相容，反之不一定成立。 例如在考試中 A表示考試成績?yōu)閮?yōu)， B 表示考試不及格。 A與 B 互不相容，但不對立。 下面圖 至圖 用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運算，其中正方形表示必然事件或樣本空間 Ω。 圖 表示事件 事件 A 圖 陰影部分表示 A+B 圖 陰影部分表示 AB 圖 陰影部分表示 AB 圖 表示 A與 B 互不相容 圖 陰影部分表示 事件的運算有下面的規(guī)律： （ 1） A+B=B+A， AB=BA叫交換律 （ 2）（ A+B） +C=A+（ B+C）叫結(jié)合律 （ AB） C=A（ BC） （ 3） A（ B+C） =AB+AC （ A+B）（ A+C） =A+BC 叫分配律 （ 4） 叫對偶律 例 1， A， B， C 表示三事件，用 A， B， C 的運算表示以下事件。 （ 1） A， B， C 三事件中，僅事件 A發(fā)生 【答疑編號： 10010101 針對該題提問】 （ 2） A， B， C 三事件都發(fā)生 【答疑編號： 10010102 針對該題提問】 （ 3） A， B， C 三事件都不發(fā)生 【答疑編號： 10010103 針對該題提問】 （ 4） A， B， C 三事件不全發(fā)生 【答疑編號： 10010104 針對該題提問】 （ 5） A， B， C 三事件只有一個發(fā)生 【答疑編號： 10010105 針對該題提問】 （ 6） A， B， C 三事件中至少有一個發(fā)生 【答疑編號： 10010106 針對該題 提問】 解：（ 1） （ 2） ABC （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） A+B+C 例 ： A1表示第 1 次射中， A2表示第 2 次射中， A3表示第 3次射中。 B0表示三次中射中 0次， B1表示三次中射中 1次， B2表示三次中射中 2 次， B3 表示三次中射中 3 次，請用 A A A3的運算來表示 B0、 B B B3 【答疑編號： 10010107 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 例 3 ， A， B， C 表示三事件，用 A， B， C 的運算表示下列事件。 （ 1） A， B 都發(fā)生且 C 不發(fā)生 【答疑編號： 10010108 針對該題提問】 （ 2） A與 B 至少有一個發(fā)生而且 C 不發(fā)生 【答疑編號： 10010109 針對該題提問】 （ 3） A， B， C 都發(fā)生或 A， B， C 都不發(fā)生 【答疑編號： 10010110 針對該題提問】 （ 4） A， B， C 中最多有一個發(fā)生 【答疑編號： 10010111 針對該題提問】 （ 5） A， B， C 中恰有兩個發(fā)生 【答疑編號： 10010112 針對該題提問】 （ 6） A， B， C 中至少有兩個發(fā)生 【答疑編號： 10010113 針對該題提問】 （ 7） A， B， C 中最多有兩個發(fā)生 【答疑編號： 10010114 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 簡記 AB+AC+BC （ 7） 簡記 例 4，若 Ω=｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6｝； A=｛ 1， 3， 5｝； B=｛ 1， 2， 3｝ 求（ 1） A+B； 【答疑編號： 10010115 針對該題提問】 （ 2） AB； 【答疑編號： 10010116 針對該題提問】 （ 3） ； 【答疑編號： 10010117 針對該題提問】 （ 4） ； 【答疑編號： 10010118 針對該題提問】 （ 5） ； 【答疑編號： 10010119 針對該題提問】 （ 6） ； 【答疑編號： 10010120 針對該題提問】 （ 7） ， 【答疑編號： 10010121 針對該題提問】 （ 8） 。 【答疑編號： 10010122 針對該題提問】 解：（ 1） A+B=｛ 1， 2， 3， 5｝； （ 2） AB=｛ 1， 3｝； （ 3） =｛ 2， 4， 6｝； （ 4） =｛ 4， 5， 6｝； （ 5） =｛ 4， 6｝； （ 6） =｛ 2， 4， 5， 6｝； （ 7） =｛ 2， 4， 5， 6｝； （ 8） =｛ 4， 6｝ 由本例可驗算對偶律， = ， = 正確 例 5，（ 1）化簡 ； 【答疑編號： 10010123 針對該題提問】 （ 2）說明 AB 與 是否互斥 【答疑編號： 10010124 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） 例 ， B， C 為三事件，說明下列表示式的意義。 （ 1） ABC； 【答疑編號： 10010125 針對該題提問】 （ 2） ； 【答疑編號： 10010126 針對該題提問】 （ 3） AB； 【答疑編號： 10010127 針對該題提問】 （ 4） 【答疑編號： 10010128 針對該題提問】 解：（ 1） AB