【正文】 P（在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中， A發(fā)生 k 次） = 其中 P 表示在每一次試驗(yàn)時， A的概率，記為 p=P（ A）， 習(xí)慣用符號 Pn（ k）表 示在 n 次重復(fù) 試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生 k 次的概率。 【答疑編號： 10010607針對該題提問】 解：設(shè)所需試驗(yàn)次數(shù)為 n，它的對立事件為 Pn（ 0） 答：試驗(yàn)次數(shù)至少 4次 例 4，某射手射擊目標(biāo) 4次，且知道至少擊中一次的概率為 ，求該射手射擊 1次的命中率 P。 引例二，擲硬幣，可能結(jié)果為 Ω={正，反 }. 我們可以引入變量 X，使 X=0，表示正面， X=1 表示反面。 定義 1：若變量 X 取某些值表示隨機(jī)事件。 （二）離散型隨機(jī)變量及其分布律 定義 2 若隨機(jī)變量 X 只取有限多個值或可列的無限多個（分散的）值，就說 X是離散型隨機(jī)變量。而且 是 X 全部可能取值。 【答疑編號： 10020202 針對該題提問】 解 X 的全部可能取值為 1,2,3,4,5,6,且 則 X 的分布律為 在求離散型隨機(jī)變量的分布律時，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每個值相應(yīng)的概率。 【答疑編號： 10020204 針對該題提問】 解 X 的取值為 0， 1， 2， 3，設(shè) 表示 “第 i 次取出的零件是不合格的 ”，利用概率乘法公式可計(jì)算，得 故 X 的分布率為 在實(shí)際應(yīng)用中，有時還要求 “X 滿足某一條件 ”這樣的事件的概率，比如等，求法就是把滿足條件的 所對應(yīng)的概率 相加可得，如在例 2 中，求擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率，即為 P{X=1,或 3,或 5} =P{X=1}+ P{X=3}+ P{X=5}= 在例 4 中， P{X≤1}= P{X=0}+ P{X=1}= ， P{X1}= P{X=2}+ P{X=3}= ， P{1≤X}= P{X=1}+ P{X=2}= ， 例 5 若 X 的分布律為 求（ 1） P(X2), 【答疑編號： 10020205 針對該題提問】 （ 2） P(X≤2), 【答疑編號： 10020206 針對該題提問】 （ 3） P(X≥3), 【答疑編號： 10020207 針對該題提問】 （ 4） P(X4) 【答疑編號： 10020208 針對該題提問】 解（ 1） P(X2)=P(X=0)+P(X=1)=+.02= (2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=++= (3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =+= (4)∵ {x4}=Φ ∴ P{x4}=0 （三） 01 分布與二項(xiàng)分布 下面，介紹三種重要的常用離散型隨機(jī)變量，它們是 01 分布、二項(xiàng)分布與泊松分布。 例 6 一批產(chǎn)品有 1000 件，其中有 50 件次品，從中任取 1 件，用 {X=0}表示取到次品，{X=1}表示取到正品，請寫出 X 的分布律。 在 n 重貝努利試驗(yàn)中，令 X 為 A發(fā)生的次數(shù)，則 。設(shè) ，試求 P{Y≥1}. 【答疑編號： 10020201 針對該題提問】 解 ，知 ，即 由此得 . 再由 可得 例 9 考卷中有 10 道單項(xiàng)選擇題，每道題中有 4個答案，求某人猜中 6 題以上的概率。 泊松（ Poisson）定理 設(shè) λ0 是常數(shù)， n 是任意正整數(shù)，且 ，則對于任意取定的非負(fù)整數(shù) k，有 證明略。利用近似公式近似計(jì)算， λ=1000=5. （ 1） （ 2） （四）泊松分布 定義 6 設(shè)隨機(jī)變量 X 的可能取值為 0,1,…,n,… ，而 X 的分布律為 其中 λ0，則稱 X 服從參數(shù)為 λ的泊松分布，簡記為 X～ p(λ) 即若 X～ p(λ)，則有 例 11 設(shè) X 服從泊松分布，且已知 P{X=1}= P{X=2}，求 P{X=4}. 【答疑編號： 10020205 針對該題提問】 解 設(shè) X 服從參數(shù)為 λ的泊松分布，則 由已知，得 解得 λ=2，則 167。其次，對于連續(xù)型隨機(jī)變量 X，取任一指定的實(shí)數(shù)值 x 的概 率都等于 0，即 P{X=x}=0。 例 1 若 X 的分布律為 求 (1)F(1), 【答疑編號： 10020201 針對該題提問】 (2)F(), 【答疑編號： 10020202 針對該題提問】 (3)F(3), 【答疑編號： 10020203 針對該題提問】 (4)F() 【答疑編號： 10020204 針對該題提問】 解 由分布函數(shù)定義知 F(x)=P(X≤x) ∴ (1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+ P(X=1)= (2)F()= P(X≤)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)= (3)F(3) = P(X≤3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=+++= (4)F()= P(X≤)=1 P(X)=1 P(X=4) == 例 2 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 求 X 的分布函數(shù) 【答疑編號： 10020205 針對該題提問】 解 當(dāng) x1 時， F(x)=P{X≤x}=P(X1)=0 當(dāng) 1≤x0時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}= 當(dāng) 0≤x1時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}+ P{X=0}=+= 當(dāng) 1≤x2時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}+ P{X=0}+ P{X=1}=++= 當(dāng) x≥2時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=+++=1 則 X 的分布函數(shù) F(x)為 F(x)的圖象見圖 。 一般地，若 X 的分布律是 則有 X 的分布函數(shù)為 公式： 所以，例 2 中 X 的分布函數(shù)為 （二）分布函數(shù)的性質(zhì) 分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)： （ 1） 0≤F(x) ≤1. 由于 F(x) =P{X≤x}，所以 0≤F(x) ≤1. （ 2） F(x)是不減函數(shù)，即對于任意的 有 因?yàn)楫?dāng) 時， ，即 從而 （ 3） F(∞)=0， F(+∞)=1，即 從此，我們不作嚴(yán)格證明，讀者可從分布函數(shù)的定義 F(x) =P{X≤x}去理解性質(zhì)（ 3）。P{X≤b}=F(b). 【答疑編號： 10020207 針對該題提問】 2176。P{aX≤b}= P{X≤b} P{ X≤a} = F(b)F (a) 3176。 由連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)的定義知概率密度有下列性質(zhì) （ 1） 【答疑編號： 10020216 針對該題提問】 （ 2） 【答疑編號： 10020217 針對該題提問】 （ 3） （ a≤b） 【答疑編號： 10020218 針對該題提問】 前面已曾經(jīng)證明，由于連續(xù)型隨機(jī)變量是在一個區(qū)間或幾個區(qū)間上連續(xù)取值，所以它在任何一點(diǎn)上取值的概率為零，即 若 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量則有 P(X=x)=0,其中 X 是任何一個實(shí)數(shù)。 【答疑編號： 10020302 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2）有兩種解法： 或者 例 2－ 1 若 【答疑編號： 10020303 針對該題提問】 解： 例 2－ 2 若 求 x~f(x) 。 （ 2） （ 3） ∵ P(aX≤b)=F(b)F(a) 因?yàn)?F(x)是 f(x)的原函數(shù) 因此，對連續(xù)型隨機(jī)變量 X 在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種： （ 1）若 F(x)已知，則 P(aX≤b)=F(b)F(a) （ 2）若 f(x)已知，則 P(aX≤b)= 例 1 設(shè) 求（ 1） c 【答疑編號： 10020220 針對該題提問】 （ 2） 【答疑編號： 10020221 針對該題提問】 解（ 1） 而 時， p(x)=0, （ 2） 例 X 的分布函數(shù)為 求： （ 1） X 的概率密度 f（ x） 。 連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度 （一）連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 定義 若隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 其中 f(t)≥0。P{Xb}=1F(b) 【答疑編號： 10020209 針對該題提問】 證 1176。 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 其中 λ0為常數(shù)，求常數(shù) a 與 b 的值。 一般地， 對于離散型隨機(jī)變量 X，它的分布函數(shù) F(x)在 X 的可能值 處具有跳 躍，跳躍值恰為該處的概率 ， F(x)的圖形是階梯形曲線， F(x)為分段函數(shù)，分段點(diǎn)仍是 。 定義 1 設(shè) X 為隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x)=P{X≤x},x∈ (∞,+ ∞) 為 X 的分布函數(shù)。而對于非離散型的隨機(jī)變理，就無法用分布率來描述它了。 例 10 一個工廠中生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為 ，任取 1000 件，計(jì)算： （ 1）其中至少有兩件是廢品的概率； 【答疑編號： 10020203 針對該題提問】 （ 2）其中不超過 5 件廢品的概率。下面我們給出一個 n很大、 p 很小時的近似計(jì)算公式，這就是著名的二項(xiàng)分布的泊松逼近。 二項(xiàng)分布是一種常用分布，如一批產(chǎn)品的不合格率為 p，檢查 n 件產(chǎn)品， n 件產(chǎn)品中不合格品數(shù) X 服從二項(xiàng)分布；調(diào)查 n 個人， n 個人中的色盲人數(shù) Y服從參數(shù)為 n,p的二項(xiàng)分布，其中 p 為色盲率； n 部機(jī)器獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)，每臺機(jī)器出故障的概率為 p，則 n 部機(jī)器中出故障的機(jī)器數(shù) Z 服從二項(xiàng)分布，在 射擊問題中，射擊 n 次，每次命中率為 p，則命中槍數(shù) X 服從二項(xiàng)分布。 其中 ，則稱 X服從參數(shù)為 n,p的二項(xiàng)分布，簡記為 X～ B（ n,p）。 X 的分布律為 在 n 重貝努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只觀察 A 是否發(fā)生，定義隨機(jī)變量 X 如下： 因?yàn)?，所以 X 服從 01 分布。從中同時取出 3 個球，記X 為取出的球的最大編號，求 X 的分布率。 例 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 求常數(shù) c。 定義 3 若隨機(jī)變量 X 可能取值為 且有 （ k=1,2,…,n,… ） 或有 其中，第一行表示 X 的取值，第二行表示 X 取相應(yīng)值的概率。 習(xí)慣用英文大寫字母 X,Y,Z 表示隨機(jī)變量。 例如， 1000≤X≤2020 表示燈泡壽命在 1000小時與 2020小時之間。 離散型隨機(jī)變量 （一）隨機(jī)變量 引例一：擲骰子。 【答疑編號： 10010605針對該題提問】 解：（ 1） （ 2）用 B表示至少命中 1次的事件 則 表示最多命中 0次的事件，故 表示恰好命中 0次的事件 例 ，每臺車床在一天內(nèi)出現(xiàn)故障的概率 P=，求在一天內(nèi)： （ 1）沒有機(jī)床出現(xiàn)故障的概率； （ 2）最多有一臺機(jī)床出現(xiàn)故障的概率。求該種產(chǎn)品的正品率和次品率。乙能破譯的概率為 。 （ 2） A與 B獨(dú)立的性質(zhì) 性質(zhì)一，若 A與 B獨(dú)立，則 而若 A與 B獨(dú)立，則 證： ∵A 與 B獨(dú)立， ∴P （ AB） =P（ A） P（ B） （ 1）當(dāng) P（ A） 0時， （ 2）當(dāng) P（ B） 0時， 性質(zhì)一說明 A與 B相互獨(dú)立時， A發(fā)生與否，對 B發(fā)生的概率沒有影響，而且， B發(fā)生與否也對 A發(fā)生的概率沒有影響。 例 7，甲袋中有 3個白球， 2個紅球，乙袋中有 2個白球， 3個紅球，先從甲袋中取一個球放入乙袋，再從乙袋中取一個球，求： （ 1）從乙袋中取出的球是白球的概率； 【答疑編號： 10010505針對該題提問】 （ 2）如果從乙袋中取出的球是白球，則這時 從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？ 【答疑編號： 10010506針對該題提問】 解：用 B表示從乙袋中取出白球； A表示從甲袋中取出白球，所以 表示從甲袋中取出紅球。 【答疑編號： 10010504針對該題提問】 解：用 B表示產(chǎn)品是次品， A1表示甲廠的產(chǎn)品， A2表示乙廠的產(chǎn)品， A3表示丙廠的產(chǎn)品。 【答疑編號： 10