【正文】 高考真題 — 普通高等學校統(tǒng)一考試 — 理科數(shù)學（北京卷）— 解析版（推薦閱讀） 第一篇：高考真題 — 普通高等學校統(tǒng)一考試 — 理科數(shù)學（北京卷）— 解析版 絕密★啟用前 2021 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學本試卷共 5 頁， 150 分?？荚嚂r長 120 分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 z=2+i，則 【答案】 D【解析】【分析】題先求得，然后根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則即得 .【詳解】∵故選 D.【點睛】本容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查 .程序框圖，輸出的 s 值為 【答案】 B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖中的條件逐次運算即可 .【詳解】運行第一次，，運行第二次，，運行第三次，，結束循環(huán)，輸出，故選 B.【點睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎知識、基本運算能力的考查 .線 l 的參數(shù)方程為（ t為參數(shù)），則 點（ 1,0）到直線 l 的距離是 .【答案】 D【解析】【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可 .【詳解】直線的普通方程為 ,即 ,點到直線的距離 ,故選 D.【點睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程轉化 ,點到直線的距離 ,屬于容易題 ,注重基礎知識 ?基本運算能力的考查 .4. 已 知 橢 圓 （ a ＞ b ＞ 0 ） 的 離 心 率 為 ， 則====4b【答案】 B【解析】【分析】由題意利用離心率的定義和的關系可得滿足題意的等式 .【詳解】橢圓的離心率 ,化簡得 ,故選 B.【點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質 ,屬于容易題 ,注重基礎知識 ?基本運算能力的考查 . x， y 滿足，且 y≥ ?1，則 3x+y 的最大值為 A.?【答案】 C【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義確定其最值即可 .【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示 .設 ,當直線經過點時 ,取最大值 5.故選 C.【點睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型 ,根據(jù)“畫 ?移 ?解”等步驟可得解 .題目難度不大題 ,注重了基礎知識 ?基本技能的考查 .，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述 .兩顆 星的星等與亮度滿足，其中星等為 mk 的星的亮度為 Ek（ k=1,2） .已知太陽的星等是 – ，天狼星的星等是 – ，則太陽與天狼星的亮度的比值為 – 【答案】 D【解析】【分析】先求出，然后將對數(shù)式換為指數(shù)式求再求【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足 ,令，，故選 D.【點睛】考查考生的數(shù)學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算 . A， B， C 不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的 條件 【答案】 C【解析】【分析】由題意結合向量的減法公式和向量的運算法則考查充分性和必要性是否成立即可 . 【詳解】∵ A ? B ? C 三點不共線 , ∴|+||||+||||+|2||2?0 與的夾角為銳角 .故“與的夾角為銳角”是“ |+|||”的充分必要條件 ,故選 C.【點睛】本題考查充要條件的概念與判斷 ?平面向量的模 ?夾角與數(shù)量積 ,同時考查了轉化與化歸數(shù)學思想 .、寓意美好的曲線，曲線 C：就是其中之一（如圖） .給出下列三個結論： ①曲線 C 恰好經過 6個整點（即橫、縱坐 標均為整數(shù)的點）； ②曲線 C 上任意一點到原點的距離都不超過； ③曲線 C 所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于 ，所有正確結論的序號是 A.① B.② C.①② D.①②③【答案】 C【解析】【分析】將所給方程進行等價變形確定 x 的范圍可得整點坐標和個數(shù)，結合均值不等式可得曲線上的點到坐標原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍 .詳解】由得 ,所以可為的整數(shù)有 0,1,1, 從 而 曲 線 恰 好 經 過(0,1),(0,1),(1,0),(1,1),(1,0),(1,1)六個整點 ,結 論①正確 .由得 ,解得 ,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過 .結論②正確 .如圖所示 ,易知 ,四邊形的面積 ,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于 ,即“心形”區(qū)域的面積大于 3,說法③錯誤 .故選 C.【點睛】本題考查曲線與方程 ?曲線的幾何性質，基本不等式及其應用 ,屬于難題 ,注重基礎知識?基本運算能力及分析問題解決問題的能力考查 ,滲透“美育思想” .第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共30 分。 f(x)=sin22x 的最小正周期是 __________．【答案】 .【解析】【分析】將所給 的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可 .【詳解】函數(shù) ,周期為【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式 ?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎題 .列 {an}的前 n 項和為 Sn，若 a2=?3， S5=?10，則 a5=__________， Sn的最小值為 __________．【答案】 (1).0.(2).10.【解析】【分析】首先確定公差 ,然后由通項公式可得的值，進一步研究數(shù)列中正項 ?負項的變化規(guī)律 ,得到和的最小值 .【詳解】等差數(shù)列中 ,得 ,公差 ,由等差數(shù)列的性質得時 ,時 ,大于 0,所以 的最小值為或 ,即為 .【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式 ?求和公式 ?等差數(shù)列的性質 ,難度不大 ,注重重要知識 ?基礎知識 ?基本運算能力的考查 .去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網格紙上小正方形的邊長為 1，那么該幾何體的體積為 __________．【答案】 40.【解析】【分析】畫出三視圖對應的幾何體，應用割補法求幾何體的體積 .【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示幾何體的體積 V=43（ 2+4） 2 4=40【點睛】易錯點有二，一是不能正確還原幾何體； 二是計算體積有誤 .為避免出錯，應注重多觀察、細心算 .l， m 是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷： ① l⊥ m； ② m∥； ③ l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： __________．【答案】如果 l⊥α， m∥α，則 l⊥ m.【解析】【分析】將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析 .【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題： （ 1）如果 l⊥α， m∥α，則 l⊥ ； （ 2）如果 l⊥α， l⊥ m，則 m∥α .不正確，有可能 m 在平 面α內； （ 3）如果 l⊥ m， m∥α，則 l⊥α .不正確，有可能 l 與α斜交、l∥α .【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力 . f（ x） =ex+ae?x（ a 為常數(shù)）．若 f（ x）為奇函數(shù)，則 a=________； 若 f（ x）是 R 上的增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ___________．【答案】 (1).1。(2)..【解析】【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導函數(shù)的解析式可得 a 的取值范圍 .【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù) ,則，對任意的恒成立 .若函數(shù)是上的增函數(shù) ,則恒成立 ,.即實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性 ?單調性 ?利用單調性確定參數(shù)的范圍 .解答過程中 ,需利用轉化與化歸思想 ,轉化成恒成立問題 .注重重點知識 ?基礎知識 ?基本運算能力的考查 .14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為 60 元 /盒、 65 元 /盒、 80 元 /盒、 90 元 /盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到 120元，顧客就少付 x 元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的 80%．①當 x=10 時，顧客一 次購買草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 __________元； ②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則 x 的最大值為 __________．【答案】 (1).130.(2).15.【解析】【分析】（ 1）將購買的草莓和西瓜加錢與 120進行比較，再根據(jù)促銷規(guī)則可的結果； （ 2）根據(jù)、分別探究 .【詳解】（ 1） x=10，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（ 60+80） 10=130 元 .（ 2）設顧客一次購買水果的促銷前總價為 y 元，元時，李明得到的金額為 y 80%，符合要求 .元 時，有（ yx） 80%≥ y 70%成立，即 8（ yx）≥ 7y， x≤，即 x≤（） min=15元 .所以 x的最大值為 15.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質、數(shù)學的應用意識、數(shù)學式子變形與運算求解能力，有一定難度 .三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 △ ABC 中， a=3， b?c=2， cosB=．（Ⅰ）求 b， c的值； （Ⅱ）求 sin（ B– C）的值．【答案】 (Ⅰ )； (Ⅱ ).【解析】【分析】 (Ⅰ )由題意列出關于 a,b,c 的方程組，求解方程組即可確 定 b,c的值； (Ⅱ )由題意結合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值 .【詳解】(Ⅰ )由題意可得：，解得： .(Ⅱ )由同角三角函數(shù)基本關系可得：，結合正弦定理可得：，很明顯角 C 為銳角，故，故 .【點睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應用，兩角和差正余弦公式的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力 .，在四棱錐 P– ABCD中， PA⊥平面 ABCD， AD⊥ CD， AD∥ BC， PA=AD=CD=2， BC=3． E為 PD 的中點，點 F 在 PC 上，且．（Ⅰ）求證： CD⊥平面 PAD； （Ⅱ）求二面角 F– AE– P的余弦值； （Ⅲ）設點 G 在 PB上，且．判斷直線 AG 是否在平面 AEF 內，說明理由．【答案】 (Ⅰ )見解析； (Ⅱ )； (Ⅲ )見解析 .【解析】【分析】 (Ⅰ )由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論； (Ⅱ )建立空間直角坐標系，結合兩個半平面的法向量即可求得二面角 FAEP的余弦值； (Ⅲ )首先求得點 G的坐標，然后結合平面的法向量和直線 AG 的方向向量可判斷直線是否在平面內 .【詳解】 (Ⅰ )由于 PA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD，則 PA⊥ CD，由題意可知 AD⊥ CD，且 PA∩ AD=A，由線面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD.(Ⅱ )以點 A 為坐標原點，平面 ABCD內與 AD 垂直的直線為 x 軸， AD,AP 方向為 y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點 F 的坐標為，由可得，設平面 AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面 AEF 的一個法向量為：，很明顯平面AEP 的一個法向量為，二面角 FAEP 的平面角為銳角，故二面角FAEP的余弦值為 .(Ⅲ )易知，由可得，則，注意到平面 AEF 的一個法向量為：，其且點 A 在平面 AEF 內，故直線 AG 在平面 AEF 內 .開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月 A， B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了 100 人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A， B兩種支付方式都不使用的有 5 人，樣本中僅使用 A 和僅使用 B 的學生的支付金額分布情況如下： 交付金額（元）支付方式（ 0,1000]（ 1000,2021]大于 2021 僅使用 A18 人 9 人 3人僅使用 B10人 14 人 1 人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取 1 人，估計該學生上個月 A， B兩種支付方式都使用的概率； （Ⅱ）從