【正文】 樣本僅使用 A 和僅使用 B 的學生中各隨機抽取 1 人，以X 表示這 2 人中上個月支付金額大于 1000 元的人數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學期望； （Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用 A 的學生中，隨機抽查 3 人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于 2021 元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用 A的學生中本月支付金額大于 2021元的人數(shù)有變化？說明理由．【 答案】 (Ⅰ )； (Ⅱ )見解析； (Ⅲ )見解析 .【解析】【分析】 (Ⅰ )由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值； (Ⅱ )首先確定 X 可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可 .(Ⅲ )由題意結合概率的定義給出結論即可 .【詳解】 (Ⅰ )由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則： 該學生上個月 A， B 兩種支付方式都使用的概率 .(Ⅱ )由題意可知，僅使用 A支付方法的學生中，金額不大于 1000的人數(shù)占，金額大于 1000的人數(shù)占，僅使用 B 支付方法的學生中，金額不大于 1000 的人數(shù)占，金額大于 1000 的人數(shù)占，且 X 可能的取值為 0,1,2.，， X 分布列為： X012 其數(shù)學期望： .(Ⅲ )我們不認為樣本僅使用 A 的學生中本月支付金額大于 2021元的人數(shù)有變化 .理由如下： 隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率。 學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件” .【點睛】本題以支付方式相關調(diào)查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活息息相關 . C： x2=?2py 經(jīng)過點（ 2， ?1）．（Ⅰ）求拋物線 C的方程及其準線方程； （Ⅱ）設 O 為原點，過拋物線 C 的焦點作斜率不為 0的直線 l交拋物線 C于兩點 M， N，直線 y=?1 分別交直線 OM， ON 于點 A和點 證：以 AB 為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個定點．【答案】 (Ⅰ )，； (Ⅱ )見解析 .【解析】【分析】 (Ⅰ )由題意結合點的坐標可得拋物線方程，進一步可得準線方程； (Ⅱ )聯(lián)立準線方程和拋物線方程，結合韋達定理可得圓心坐標和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令 x=0即可證得題中的結論 .【詳解】 (Ⅰ )將點代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程：，其準線方程為： .(Ⅱ )很明顯直線的斜率存在，焦點坐標為，設直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得： .故： .設，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以 AB 為直徑的圓的圓心坐標為：，圓的半徑 為：，且：，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以 AB 為直徑的圓經(jīng)過 y 軸上的兩個定點 .【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關系，圓的方程的求解及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力 . .（Ⅰ）求曲線的斜率為 1 的切線方程； （Ⅱ）當時，求證：； （Ⅲ）設，記在區(qū)間上的最大值為 M（ a），當 M（ a）最小時，求a 的值．【答案】（Ⅰ）和 .（Ⅱ）見解析； （Ⅲ） .【解析】【分析】 (Ⅰ )首先求解導函數(shù)，然后利用導函數(shù)求得切點的橫坐 標，據(jù)此求得切點坐標即可確定切線方程； (Ⅱ )由題意分別證得和即可證得題中的結論； (Ⅲ )由題意結合 (Ⅱ )中的結論分類討論即可求得 a 的值 .【詳解】（Ⅰ），令得或者 .當時，此時切線方程為，即； 當時，此時切線方程為，即； 綜上可得所求切線方程為和 .（Ⅱ）設，令得或者，所以當時，為增函數(shù)； 當時，為減函數(shù)； 當時，為增函數(shù)； 而，所以，即； 同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得 .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的較大者，若，即時，； 若，即時，； 所以當最小時，此時 .【點睛】本題主要考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力 . {an}，從中選取第 i1 項、第 i2 項、?、第 im 項 (i1 第二篇： 2021 年高考真題 — 普通高等學校統(tǒng)一考試 — 理科數(shù)學（全國卷Ⅲ） — 解析版 2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國 III 卷） 理科數(shù)學 一． 選擇題 已知集合，則（ ） A. B. B. C. C. D. D. 答案： A 解答： ，所以 . ，則（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： ,. 3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了 100 位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有 90 位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有 80 位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有 60 位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： （ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 由題意可知含的項為，所以系數(shù)為 . ，且，則（） A. B. C. D. 答案： C 解答： 設該等比數(shù)列的首項，公比，由已知得， 因為且，則可解得，又因為， 即可解得，則 . 6. 已知曲線在點處的切線方程為，則（ ） A., B., C., D., 答案： D 解析： 令，則，得 . ，可得 .故選 D. （ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： ∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除選項 ∵，根據(jù)圖像進行判斷，可知選項 B 符合題意 . ，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則（ ） A.，且直線，是相交直線 B.，且直線，是相交直線 C.，且直線，是異面直線 D.，且直線，是異面直線 答案： B 解析： 因為直線，都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線，是相交直線，設正方形的邊長為，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：， ，所以，故選 B. ，如果輸出為，則輸出的值等于（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 第一次循環(huán)：； 第二次循環(huán)： ； 第三次循環(huán)：； 第四次循環(huán)：； ? 第七次循環(huán)：， 此時循環(huán)結束，可得 .故選 C. 10. 雙曲線：的右焦點為，點為的一條漸近線的點，為坐標原點 .若則的面積為（ ） A: B: C: D: 答案 : A 解析： 由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過點做垂直因為得到 。所以 。故選 A。 11. 若是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析 : 依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因為；又因為；所以；故選 C. ，已知在有且僅有個零點，下述四個結論： 在有且僅有個極大值點 在有且僅有個極小值點 在單調(diào)遞增 的取值范圍是 其中所有正確結論的編號是 A. B. C. D. 答案： D 解析： 根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知， 由題意可得，解得， 所以，解得，故對； 令得，∴圖像中軸右側第一個最值點為最大值點，故對； ∵，∴在有個或個極小值點，故錯； ∵，∴，故對 . 二 .填空題 ，為單位向量，且，若，則 . 答案： 解析： ∵，∴， ∵，∴ . ，若，則 . 答案： 解析： 設該等差數(shù)列的公差為，∵，∴，故， ∴ . 、為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標為 ________. 答案： 解析： 已知橢圓可知，，由為上一點且在第一象限，故等腰三角形中， ,，代入可得 .故的坐標為 . ，利用 D 打印技術制作模型。如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點， ,D 打印機所用原料密度為，不考慮打印損耗，則作該模型所需原料的質量為 . 答案： 解答： ， . . 三．解答題 ，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下實驗：將 200 只小鼠隨機分成 兩組，每組 100 只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 ”，根據(jù)直方圖得到的估計值為 . （ 1） 求乙離子殘留百分比直方圖 中的值； （ 2） 分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表） . 答案： 見解析 解答 : （ 1） 依題意得，解得 . （ 2） 得到甲離子殘留百分比的平均值為 ,，乙離子殘留百分比的平均值為 . .已知 . (1 求 B。 (2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍 . 答案： （ 1） （ 2）見解析 解析： 因為；結合正弦定理 ,得 ,即；得到； （ 2） 因為 ,所以又因為 ,。又因為（因為為銳角，若越大越大，則越小越??；越大）；所以，所以 . 1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中， ， .將其沿折起使得與重合，連結，如圖 2.