【正文】 第 1 頁(yè) 共 25 頁(yè) 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 13） — 直線(xiàn)、圓的方程 一．課標(biāo)要求： 1． 直線(xiàn)與方程 （ 1） 在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素 ； （ 2） 理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式 ； （ 3） 根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 ； 2． 圓與方程 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般 方程 。 二．命題走向 直線(xiàn)方程考察的重點(diǎn)是直線(xiàn)方程的特征值（主要是直線(xiàn)的斜率、截距）有關(guān)問(wèn)題，可與三角知識(shí)聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問(wèn)題，在對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程。 預(yù)測(cè) 20xx 年對(duì)本講的考察是： （ 1） 2 道選擇或填空，解答題多與其他知識(shí)聯(lián)合考察，本講對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會(huì)是一個(gè)出題方向； （ 2）熱點(diǎn)問(wèn)題是直線(xiàn)的傾斜角和斜率、直線(xiàn)的幾種方程形式和求圓的方程。 三．要點(diǎn)精講 1．傾斜角：一條直線(xiàn) L 向上的方向與 X 軸的正方向所成的最小正角，叫做直線(xiàn)的傾斜角，范圍為 ? ??,0 。 2．斜率：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角不是 900 時(shí)，則稱(chēng)其正切值為該直線(xiàn)的斜率，即 k=tan? 。當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角等于 900 時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在。 過(guò)兩點(diǎn) p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直線(xiàn)的斜率公式 :k=tan1212 xx yy ???? （若 x1＝ x2，則直線(xiàn) p1p2 的斜率不存在，此時(shí)直線(xiàn)的傾斜角為 900）。 4．直線(xiàn)方程的五種形式確定直線(xiàn)方程需要有兩個(gè)互相 獨(dú)立的條件。確定直線(xiàn)方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線(xiàn)方程的適用范圍。 名稱(chēng) 方程 說(shuō)明 適用條件 斜截式 y=kx+b k—— 斜率 b—— 縱截距 傾斜角為 90176。的直線(xiàn)不能用此式 點(diǎn)斜式 yy0=k(xx0) (x0， y0)—— 直線(xiàn)上 已知點(diǎn)， k—— 斜率 傾斜角為 90176。的直線(xiàn)不能用此式 第 2 頁(yè) 共 25 頁(yè) 兩點(diǎn)式 121yy yy?? =121xx xx?? (x1， y1)， (x2， y2)是直線(xiàn)上兩個(gè)已知點(diǎn) 與兩坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)不能用此式 截距式 ax + by =1 a—— 直線(xiàn)的橫截距 b—— 直線(xiàn)的縱截距 過(guò)（ 0， 0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 BA? ， AC? ， BC? 分別為斜率、橫截距和縱截距 A、 B 不能同時(shí)為零 直線(xiàn)的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于 x 軸）的直線(xiàn)；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線(xiàn)；截距式不能表 示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線(xiàn)及過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。 5．圓的方程 圓心為 ),( baC ，半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： )0()()( 222 ????? rrbyax 。特殊地，當(dāng) 0??ba 時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為： 222 ryx ?? 。 圓 的 一 般 方 程 022 ????? FEyDxyx ， 圓 心 為 點(diǎn) )2,2( ED ??，半徑2 422 FEDr ??? ，其中 0422 ??? FED 。 二元二次方程 022 ?????? FEyDxCyBxyAx ，表示圓的方程的充要條件是：①、 2x 項(xiàng) 2y 項(xiàng)的系數(shù)相同且不為 0，即 0??CA ；②、沒(méi)有 xy 項(xiàng)，即 B=0；③、0422 ??? AFED 。 四．典例解析 題型 1：直線(xiàn)的傾斜角 例 1． （ 1995 全國(guó)， 5）圖中的直線(xiàn) l l l3 的斜率分別為 kk k3，則（ ） A． k1＜ k2＜ k3 B． k3＜ k1＜ k2 C． k3＜ k2＜ k1 D． k1＜ k3＜ k2 答案： D 解析：直線(xiàn) l1 的傾斜角 α 1 是鈍角，故 k1＜ 0，直線(xiàn) l2 與 l3 的傾斜角 α α 3 均為銳角，且 α 2＞ α 3，所以 k2＞ k3＞ 0，因此 k2＞ k3＞ k1，故應(yīng)選 D。 圖 第 3 頁(yè) 共 25 頁(yè) 點(diǎn)評(píng)： 本題重點(diǎn)考查直線(xiàn)的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。 例 2． 過(guò)點(diǎn) P（ 2， 1）作直線(xiàn) l 分別交 x 軸、 y 軸的正半軸于 A、 B 兩點(diǎn)，求 PA PB178。 | | 的值最小時(shí)直線(xiàn) l 的方程。 解析：依題意作圖，設(shè)∠ BAO＝ ? ， 則 PA PB? ?1 2s in cos? ?， ? ? ? ?PA PB178。 2 2 4 4 2s in cos s in cos s in? ? ? ? ?， 當(dāng) sin2 1?? ，即 ?? ?45 時(shí) PA PB178。 | | 的值最小，此時(shí)直線(xiàn) l 的傾斜角為 135176。， ∴斜率 k l ? ?? ?tan 135 1。 故直線(xiàn) l 的方程為 ? ? ? ?y x? ? ? ?1 1 2178。 ，即 x y? ? ?3 0 。 點(diǎn)評(píng)：求直線(xiàn)方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類(lèi)題除用到有關(guān)概念和直線(xiàn)方程的五種形式外，還要用到一些技巧。 題型 2：斜率公式及應(yīng)用 例 3．（ 1） （ 05 年江西高考）設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足 x yx yy? ? ?? ? ?? ??????2 02 4 02 3 0，則 yx的最大值是___________。 （ 2）（ 1997 全國(guó)文， 24）已知過(guò)原點(diǎn) O 的一條直線(xiàn)與函數(shù) y=log8x 的圖象交于 A、 B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn) A、 B 作 y 軸的平行線(xiàn)與函數(shù) y＝ log2x 的圖象交于 C、 D 兩點(diǎn)。 （ 1）證明點(diǎn) C、 D 和原點(diǎn) O 在同一條直線(xiàn)上。 （ 2）當(dāng) BC 平行于 x 軸時(shí)，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)。 解析：（ 1）如圖，實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（包括邊界），而 yx yx? ??00表示點(diǎn)（ x， y）與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn) AO 的斜率最大，其中 A 點(diǎn)坐標(biāo)為 1 32，??? ???，此時(shí) kOA?32，所以 yx 的最大值是 32 。 y B P （ 2 ， 1 ） θ O A x θ 第 4 頁(yè) 共 25 頁(yè) 點(diǎn)評(píng)：本題還可以設(shè) yx k?，則 y kx? ，斜率 k 的最大值即為 yx的最大值，但求解頗費(fèi)周折。 （ 2）證明：設(shè) A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 x1， x2，由題設(shè)知 x1＞ 1， x2＞ 1，點(diǎn) A（ x1， log8x1），B（ x2， log8x2） . 因?yàn)?A、 B 在過(guò)點(diǎn) O 的直線(xiàn)上 ，所以228118 loglog x xx x ? ， 又點(diǎn) C、 D 的坐標(biāo)分別為（ x1， log2x1），（ x2， log2x2） 由于 log2x1＝2loglog8 18x＝ 3log8x1， log2x2＝2loglog8 28 x＝ 3log8x2， 所以 OC 的斜率和 OD 的斜率分別為 228222118112 l og3l og,l og3l og x xx xkx xx xk ODOC ???? 。 由此得 kOC＝ kOD，即 O、 C、 D 在同一條直線(xiàn)上。 由 BC 平行于 x 軸，有 log2x1＝ log8x2，解得 x2＝ x13 將其代入228118 loglog x xx x ? ，得 x13log8x1＝ 3x1log8x1. 由于 x1＞ 1，知 log8x1≠ 0，故 x13＝ 3x1， x1＝ 3 ，于是點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 3 ， log8 3 ） . 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力。 例 4． （ 05 年全國(guó)高考）當(dāng) 02? ?x ?時(shí)，函數(shù) 的最小值是（ ） A． 2 B． C． 4 D． 43 解析：原式化簡(jiǎn)為 ，則 y 看作點(diǎn) A（ 0， 5）與點(diǎn) ? ?B x x? sin co s2 3 2， 的連線(xiàn)的斜率。 第 5 頁(yè) 共 25 頁(yè) 因?yàn)辄c(diǎn) B 的軌跡是 X xY x x? ????? ? ???? ???s i ncos 23 2 0 2? 即 過(guò) A 作直線(xiàn) Y kX? ?5 ，代入上式，由相切（△＝ 0）可求出 k?4 ，由圖象知 k 的最小值是 4，故選 C。 點(diǎn)評(píng)：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系使問(wèn)題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。 題型 3：直線(xiàn)方程 例 5． 已知直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為 ? ?y x? ? ? ?1 34 2，求該直線(xiàn)另外三種特殊形式的方程。 解析：（ 1）將 ? ?y x? ? ? ?1 34 2移項(xiàng)、 展開(kāi)括號(hào)后合并，即得斜截式方程。 （ 2）因?yàn)辄c(diǎn)（ 2， 1）、（ 0， 52）均滿(mǎn)足方程 ? ?y x? ? ? ?1 34 2，故它們?yōu)橹本€(xiàn)上的兩點(diǎn)。 由兩點(diǎn)式方程得： y x?? ???152 120 2 即 y x? ? ??132 22 （ 3）由 y x?? ?34 52知：直線(xiàn)在 y 軸上的截距 b?52 又令 y?0 ，得 x?103 故直線(xiàn)的截距式方程 x y103 52 1? ? 點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線(xiàn)在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問(wèn)題解得簡(jiǎn)捷、明了。 例 6．直線(xiàn) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（ 5， 4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 5，求直線(xiàn) l 的方程。 第 6 頁(yè) 共 25 頁(yè) 解析：設(shè)所求直線(xiàn) l 的方程為 ， ∵直線(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) P（ 5， 4）， ?? ? ? ?5 4 1a b，即 4 5a b ab? ? ? 。 又由已知有 12 5ab?，即 ab?10 ， 解方程組 4 510a b abab? ? ?????，得：