20xx中考數(shù)學(xué)壓軸綜合題精華20題(已修改)
2025-08-31 02:01 本頁(yè)面
【正文】 1 2020 中考 數(shù)學(xué)壓軸 綜合 題 （ 精華 20 道） 【 01】 如圖，點(diǎn) P是雙曲線 11( 0 0 )ky k xx? ? ?，上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 x軸、 y軸的垂線，分別交x軸、 y軸于 A、 B 兩點(diǎn)，交雙曲線 y=xk2 （ 0＜ k2＜ |k1|）于 E、 F兩點(diǎn) ． （ 1）圖 1中，四邊形 PEOF的面積 S1= (用含 k k2的式子表示 )； （ 2）圖 2 中，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（－ 4， 3） ． ① 判斷 EF與 AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 ； ② 記 2 PEF OEFS S S????， S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 。 ⑴ 設(shè) P（ a， b） ∵ P 在雙曲線 y=k1x 上 ∴ b=k1a ∴ P（ a， k1a） ∴ OB=k1a， OA=a ∵ PF⊥ y 軸， PE⊥ x 軸 ∴ E 點(diǎn)橫坐標(biāo)與 P 點(diǎn)橫坐標(biāo)相等， F 點(diǎn)縱坐標(biāo)與 P 點(diǎn)縱坐標(biāo)相等 ∴ E 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 k2a， F 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ak2k1 ∴ PE=k1ak2a， BF=ak2k1 ∴ S 梯形 PBOE=12（ OB+PE）? OA=12（ k1ak2a+k1a）?（ a） =k1+12k2 ∴ S△ BOF=12BO?BF=12?k1a?ak2k1=12k2 ∴ S1= S 梯形 PBOE+ S△ BOF=k1+12k2+12k2=k2k1 ⑵ ① EF‖ AB ∵ P（－ 4， 3） ∴ k1=12 ∴ PB=4， PA=3 ∴ PAPB=34 由⑴知 BF=k23， AE=k24 ∴ PE=12+k24， PF=12+k23 ∴ ， ∴ ． ∵ ∠ P=∠ P， PEPF=PAPB=34 （第 21 題圖） 2 ∴ △ PBA∽△ PFE ∴ ∠ PAB=∠ PEF ∴ AB‖ EF ② S2 沒(méi)有最小值，理由如下： 過(guò) E 作 EM⊥ y 軸于點(diǎn) M，過(guò) F 作 FN⊥ x 軸于點(diǎn) N，兩 線交于點(diǎn) Q． 由上知 M（ 0， ）， N（ ， 0）， Q（ ， ）． 而 S△ EFQ= S△ PEF， ∴ S2＝ S△ PEF－ S△ OEF＝ S△ EFQ－ S△ OEF＝ S△ EOM＋ S△ FON＋ S 矩形 OMQN ＝ ＝ = ． 當(dāng) 時(shí)， S2 的值隨 k2 的增大而增大，而 0＜ k2＜ 12． ∴ 0＜ S2＜ 24， s2 沒(méi)有最小值． 【 02】一開(kāi)口向上的拋物線與 x 軸交于 A(m－ 2， 0)， B(m＋ 2， 0)兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為 C，且 AC⊥ BC． (1)若 m 為常數(shù)，求拋物線的解析式； (2)若 m 為小于 0 的常數(shù)，那么 (1)中的拋物線經(jīng) 過(guò)怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)？ (3)設(shè)拋物線交 y 軸正半軸于 D 點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) m，使得 △ BOD 為等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1)設(shè)拋物線的解析式為： y＝ a(x－ m＋ 2)(x－ m－ 2)＝ a(x－ m)2－ 4a．???? 2 分 ∵ AC⊥ BC，由拋物線的對(duì)稱性可知：△ ACB 是等腰直角三角形，又 AB＝ 4， ∴ C(m，－ 2)代入得 a＝ ．∴解析式為： y＝ (x－ m)2－ 2．?????????? 5 分 (亦可求 C 點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式 ) (2)∵ m 為小于零的常數(shù)，∴只需將拋物線向右平移－ m 個(gè)單位，再向上平移 2 個(gè)單位，可以使拋物線 y＝ (x－ m)2－ 2 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．??????????????? 7 分 (3)由 (1)得 D(0， m2－ 2)，設(shè)存在實(shí)數(shù) m，使得△ BOD 為等腰三角形． ∵△ BOD 為直角三角形，∴只能 OD＝ OB．????????????????? 9 分 ∴ m2－ 2＝ |m＋ 2|，當(dāng) m＋ 2＞ 0 時(shí)，解得 m＝ 4 或 m＝－ 2(舍 )． 當(dāng) m＋ 2＜ 0 時(shí)，解得 m＝ 0(舍 )或 m＝－ 2(舍 )； 當(dāng) m＋ 2＝ 0 時(shí)，即 m＝－ 2 時(shí)， B、 O、 D 三點(diǎn)重合 (不合題意， 舍 ) 綜上所述：存在實(shí)數(shù) m＝ 4，使得△ BOD 為等腰三角形．??????????? 12 分 【 03】 如圖，在梯形 ABCD 中， 24A D B C A D B C??∥
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