【正文】 、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)例題精講圖形變換，是指不改變圖形的大小、形狀，只通過(guò)位置關(guān)系的改變（旋轉(zhuǎn)、平移、折疊等），構(gòu)成新的圖形．【例 1】 右圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10．中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，它們的寬都是2，求草地部分的面積（陰影部分）有多大？ 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖所示，將道路平移后的?！敬鸢浮俊纠?2】 如圖所示，一個(gè)正十二邊形的邊長(zhǎng)是1厘米，空白部分是等邊三角形，一共有12個(gè)．請(qǐng)算出陰影部分的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖，將陰影部分分割成一個(gè)正六邊形和12個(gè)小三角形，再把正六邊形分割成6個(gè)正三角形，由于正十二邊形的每個(gè)內(nèi)角為，所以陰影小三角形的頂角等于，每個(gè)頂角的兩邊和與其相鄰的正三角形的底邊所成的角都是，所以通過(guò)如右上圖所示的平移可以組成6個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，所以所求陰影部分面積為平方厘米．【答案】【例 3】 如圖所示，梯形中，平行于，又，．試求梯形 的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如右圖，將沿平移至,連接,在三角形中，有，，有，所以三角形為直角三角形．由于，所以梯形的面積與三角形的面積相等，為．【答案】【例 4】 如下圖，六邊形中，，且有平行于，平行于，平行于，對(duì)角線垂直于，已知厘米，厘米，請(qǐng)問(wèn)六邊形的面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如圖，我們將平移使得與重合，將平移使得與重合，這樣、都重合到圖中的了．這樣就組成了一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，所以六邊形的面積為平方厘米．【答案】【例 5】 如圖2，六邊形為正六邊形，為對(duì)角線上一點(diǎn)，若、的面積為與，則正六邊形的面積是　　　?。究键c(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯、中年級(jí)、初賽、7題【解析】 這是一道幾何問(wèn)題，考察同學(xué)們對(duì)常見(jiàn)圖形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)．正六邊形的六條邊都相等，每個(gè)角都是，每一組對(duì)邊都互相平行，正六邊形可以看作是由六個(gè)正三角形拼成的（如圖（1））．其中正六邊形的面積是正三角形面積的6倍．每相鄰兩個(gè)正三角形拼成的是一個(gè)平行四邊形．如圖（2），連結(jié)，三角形的面積是平行四邊形面積的一半．六邊形的面積是平行四邊形的3倍，故六邊形的面積是三角形的面積的6倍． 如圖（3），連結(jié)，三角形的面積與三角形的面積和是平行四邊形面積的一半．，故六邊形的面積是三角形的面積與三角形的面積和的3倍．所以，由、的面積分別為3與4，可知正六邊形的面積是．【答案】【例 6】 正六邊形A1A2A3A4A5A6的面積是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是　　　　平方厘米．【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯、六年級(jí)、初賽、14題【解析】 如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，則圖中空白部分由個(gè)與一樣大小的三角形組成，只要求出了的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積.連接、設(shè)的面積為“”，則面積為“”，面積為“”，那么面積為的倍，為“”，梯形的面積為，的面積為“”，的面積為根據(jù)蝴蝶定理，故，所以，即的面積為梯形面積的，故為六邊形面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米).【答案】【例 7】 按照?qǐng)D中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個(gè)直角三角形．已知甲三角形兩條直角邊分別為和，乙三角形兩條直角邊分別為和，求圖中陰影部分的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如右圖，我們將三角形甲與乙進(jìn)行平移，就會(huì)發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積等于平移后兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和．所以陰影部分面積為：【答案】【例 8】 在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段(見(jiàn)右圖)，求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾.【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 .⑴ 割補(bǔ)法從頂點(diǎn)作底邊上的高，(見(jiàn)下圖).顯然，陰影部分正好是長(zhǎng)方形的，所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面積的.⑵ 拼補(bǔ)法將兩個(gè)這樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形(下頁(yè)左上圖).顯然，將陰影面積和平行四邊形面積同時(shí)除以，.⑶ 等分法將原圖等分成個(gè)小三角形(見(jiàn)右上圖)，陰影部分占個(gè)小三角形，所以陰影部分占整個(gè)圖形面積的.注意，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立.【答案】【例 9】 如下左圖，有兩個(gè)大小相同的完全重疊在一起的正方形，現(xiàn)在以點(diǎn)為中心轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)正方形．當(dāng)厘米，厘米，厘米時(shí)(如下右圖)，求右圖中的兩個(gè)正方形相重疊部分的面積(注意，圖的尺寸不一定準(zhǔn)確)． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】3星 【題型】解答【解析】 右圖由左圖旋轉(zhuǎn)而得，則右圖中的8個(gè)空白小三角形都是完全相同的，右圖中重疊部分的面積等于正方形面積減去4個(gè)小三角形的面積，從右圖中可以看出正方形的邊長(zhǎng)為厘米，所以重疊部分的面積為：(平方厘米)．【答案】【例 10】 如圖，在直角三角形中有一個(gè)正方形，已知厘米，厘米，求陰影部分的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】4星 【題型】解答【解析】 繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，則點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，且．則陰影部分面積轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積，所以陰影部分的面積為平方厘米．【答案】【例 11】 四邊形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=∠ABD+∠BDC=900,求四邊形ABCD的面積．【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如下圖,以BD的垂直平分線為對(duì)稱軸L,做△ABD關(guān)于L的對(duì)稱圖形△．因?yàn)椤螦BD+∠BDC=9000而∠ABD=∠DB=900,所以有∠DB+∠BDC=900．那么CD為直角三角形,由勾股定理知=2500,所以.而在△BC中,有B=AD=48,有482+142=2500,即B2+BC2=C2,即△BC為直角三角形．有.而|.評(píng)注:Ⅰ.本題以∠ABC+∠BDC=900突破口,通過(guò)對(duì)稱變換構(gòu)造出與原圖形相關(guān)的角三角形Ⅱ.對(duì)于這道題我們還可以將△：【答案】【例 12】 如圖,在三角形ABD中,當(dāng)AB和CD的長(zhǎng)度相等時(shí),請(qǐng)求出“?”所示的角是多少度,給出過(guò)程．【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 因?yàn)锳B=CD,于是可以將三角形ABC的邊BA邊與CD對(duì)齊,如下圖． 在下圖中有∠BCA=110176。,所以∠ACD=70176。于是∠=∠+∠=∠+∠=70176。+40176。=110176。；即∠=110176。=∠；又因?yàn)橹皇且苿?dòng)的變化,所以=；則是一等腰梯形．于是,∠=180176。110176。=70176。；又∠=30176。,所以∠=70176。30176。=40176。.【答案】176。【例 13】 如圖所示的四邊形的面積等于多少？【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】4星 【題型】解答【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長(zhǎng)方形，難以運(yùn)用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)圖形實(shí)施變換：把三角形繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使長(zhǎng)為的兩條邊重合，此時(shí)三角形將旋轉(zhuǎn)到三角形 ，通過(guò)旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且這個(gè)正方形的面積就是原來(lái)四邊形的面積.因此，原來(lái)四邊形的面積為.(也可以用勾股定理)【答案】【例 14】 如圖，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一點(diǎn)，其中，求四邊形的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 因?yàn)楹投际侵苯?，和為，所以和的和也為，可以旋轉(zhuǎn)三角形，使和重合，則四邊形的面積轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形，面積為平方厘米．【答案】【例 15】 如圖所示，中，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】武漢明心奧數(shù)【解析】 如圖，將沿著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)的位置．由于，所以．而，所以，那么、三點(diǎn)在一條直線上．由于，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為．根據(jù)面積比例模型，的面積為．【答案】【例 16】 如圖，直角梯形中，，，將腰以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接、則的面積是 ． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】武漢明心奧數(shù)【解析】 如圖所示，將以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到的位置．延長(zhǎng)與交于．由于是直角梯形，與垂直，則四邊形是長(zhǎng)方形，則．由于與面積相等，而的底邊，高，所以的面積為，那么的面積也為1．【答案】【例 17】 如圖，正方形和有一個(gè)公共點(diǎn)，試比較三角形和三角形的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 因?yàn)楹褪侵苯?，所以和是互補(bǔ)角，將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，則、在同一條直線上，且，即是的中點(diǎn)，所以三角形和三角形面積相等，則三角形和三角形面積相等．【答案】相等【例 18】 如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，、交于．已知、的長(zhǎng)分別為、求三角形的面積． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】資優(yōu)杯【解析】 如圖，連接，以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置．那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且，所以梯形的面積為：()．又因?yàn)槭侵苯侨切危鶕?jù)勾股定理，所以()．那么()，所以()．【答案】【例 19】 如圖，已知，，則 ． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯、高年級(jí)、復(fù)賽、10題【解析】 將三角形繞點(diǎn)和點(diǎn)分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成三角形和，再連接，顯然，，所以是正方形．三角形和三角形關(guān)于正方形的中心中心對(duì)稱，在中心對(duì)稱圖形中有如下等量關(guān)系：；；．所以．【答案】【例 20】 如圖所示的四邊形中，，厘米，連接對(duì)角線，．求四邊形的面積．【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】第八屆、華杯總決賽【解析】 由，可得，．將剪下來(lái)，翻轉(zhuǎn)，再貼在邊上，即將點(diǎn)粘在點(diǎn)上，點(diǎn)粘在點(diǎn)上，如右上圖所示．則點(diǎn)在點(diǎn)的位置．由于，所以、三點(diǎn)在同一條直線上．由于，所以，即是等腰直角三角形，它的面積就等于四邊形的面積，所以四邊形的面積為平方厘米．【答案】【例 21】 如圖，在中，求“？”的度數(shù)． 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如圖，由于，可以將移動(dòng)到，由于，所以，又，而，所以四邊形是等腰梯形，有，．點(diǎn)評(píng)：通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)轉(zhuǎn)化．【答案】176?！纠?22】 下圖三角形是等腰三角形，．三角形是正三角形，點(diǎn)在 邊上，．當(dāng)三角形的面積是時(shí)，三角形的面積是多少？ 【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 以點(diǎn)為中心，由三個(gè)三角形可拼成右圖：連結(jié)、則是一個(gè)正六邊形．連結(jié)、顯然是一個(gè)等邊三角形，并且它的面積是正六邊形面積的一半，所以是三角形的面積的3倍．由于，根據(jù)“鳥(niǎo)頭定理”，所以，則．【答案】【例 23】 如圖，正方形有三個(gè)頂點(diǎn)分別在的三條邊上，．求正方形的面積．【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如下圖，我們?cè)O(shè)的面積為1，有，所以， 所以． 如下圖左，將三角形和三角形分別以、為中心按箭頭方向旋轉(zhuǎn)，形成由兩個(gè)直角三角形連在一起的一個(gè)四邊形，如下圖右，、被虛線分成兩個(gè)直角三角形，它們的面積之和為：，所以． 【答案】【例 24】 如下圖,△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，頂角∠BDC=1200,∠MDN=600,求△AMN的周長(zhǎng).【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如下圖, 延長(zhǎng)AC至P,使CP=MB,連接DP.則有∠MBD=600+∠PCD；CP=BM；BD=CD,所以有△MBD≌△∠MDC=∠PDC；又因?yàn)椤螹DB+∠NDC=600,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=600；MD=PD,在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△==NP=NC+CP,而AM=ABMB=ABCP,所以AM+AN+MN=(ABCP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=△AMN的周長(zhǎng)為2.【答案】【例 25】 若干個(gè)大小相同的正五邊形如右圖排成環(huán)狀，下圖中所示的只是3個(gè)五邊形．那么要完成這一圈共需　 個(gè)正五邊形．【考點(diǎn)】平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ) 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯、六年級(jí)、初賽、5題【解析】 如圖，設(shè)為圓心，、為五邊形的頂點(diǎn)，連接、.從圖中可以看出，和是完全相同的，所以，又五邊形內(nèi)角和為，所以正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都為，即，那么，則，又，所以所以要用個(gè)正五邊形才能圍成一圈.【答案】【例 26】 如圖，ABCD是矩形，BC=6cm, AB=10cm,AC和BD是對(duì)角線，圖中的陰影部分以C為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃過(guò)的立體的體積是多少立方厘米？