【正文】 知識(shí)點(diǎn)撥所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù)．從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖．但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個(gè)問題的方法．什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲．我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)．相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)．一筆畫問題：(1)能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；(2)凡是只由偶點(diǎn)組成的連通圖形．一定可以一筆畫出．畫時(shí)可以由任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn)．最后仍回到這點(diǎn)；(3)凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形一定可以一筆畫出．畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；(4)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過兩個(gè)的圖形，一定不能一筆畫．多筆畫問題：我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫．多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半．事實(shí)上，對(duì)于任意的連通圖來說，如果有2n個(gè)奇點(diǎn)(n為自然數(shù))，那么這個(gè)圖一定可以用n筆畫成．例題精講模塊一、判斷奇偶點(diǎn)【例 1】 我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)．下圖中，哪些點(diǎn)是偶點(diǎn)？哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 奇點(diǎn)： D H J O 偶點(diǎn)：A B C E F G I【答案】奇點(diǎn)： D H J O 偶點(diǎn)：A B C E F G I【例 2】 同學(xué)們野營時(shí)建了9個(gè)營地，連接營地之間的道路如圖所示，貝貝要給每個(gè)營地插上一面旗幟，要求相鄰營地的旗幟色彩不同，則貝貝最少需要 種顏色的旗子，如果貝貝從某營地出發(fā)，不走重復(fù)路線就 （填“能”或“不能”）完成任務(wù).【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，初賽，第10題【解析】 最少需要3種顏色的旗子。因?yàn)橹虚g的三點(diǎn)連成一個(gè)三角形，要使這三點(diǎn)所代表營地兩糧相鄰，要使相鄰營地沒有相同顏色的旗子，必須各插一種與其它兩點(diǎn)不同顏色的旗子。不走重復(fù)路線不能完成插旗的任務(wù)，因?yàn)楸绢}共有6各奇點(diǎn)?！敬鸢浮糠N顏色，不能 【例 3】 判斷下列圖a、圖b、圖c能否一筆畫．【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 圖a能，因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)，圖a能b不能，因?yàn)閳D形不是連通的，圖c能，因?yàn)橐驗(yàn)閳D中全是奇點(diǎn)【答案】a能，a能，c能【例 4】 下面圖形能不能一筆畫成？若果能，應(yīng)該怎樣畫？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 圖1能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)；圖2能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)；圖3不能因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)?！敬鸢浮繄D1能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)；圖2能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)；圖3不能因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)?！纠?5】 下面的圖形，哪些能一筆畫出？哪些不能一筆畫出？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 第1個(gè)能，3不能【答案】第1個(gè)能，3不能【例 6】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個(gè)展覽廳還有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有的門，并且從入口進(jìn)，從出口出？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將圖形中的6個(gè)區(qū)域看成6個(gè)點(diǎn)，每個(gè)門看成連結(jié)他們的線段，顯然6個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以有人能一次不重復(fù)的走過所有的門．【答案】能【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請(qǐng)說明理由．如果能，應(yīng)從哪開始走？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 不能【答案】不能【例 7】 下圖中的線段表示小路，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，能夠不重復(fù)的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以應(yīng)該從奇點(diǎn)出發(fā)才能一筆畫出圖形，所以甲螞蟻能夠．【答案】甲螞蟻【例 8】 能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 可以．【答案】可以【例 9】 下圖是兒童樂園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 要想不重復(fù)，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個(gè)奇點(diǎn)出，即F和I點(diǎn)．【答案】出口和入口應(yīng)該分別放在F和I點(diǎn)【例 10】 郵遞員叔叔向11個(gè)地點(diǎn)送信一次信，不走重復(fù)路，怎樣走最合適？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 不走重復(fù)路，一筆能畫出路線圖，圖中有2個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該從奇點(diǎn)處出發(fā)，下面有一種參考路線： 41258961011743【答案】41258961011743【例 11】 觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖(1)有8個(gè)奇點(diǎn)，所以要4筆畫出，圖(2)有12個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫出，圖(3)能一筆畫出．【答案】圖(1)有8個(gè)奇點(diǎn)，所以要4筆畫出，圖(2)有12個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫出，圖(3)能一筆畫出．【例 12】 在33的方陣中每個(gè)小正方形的邊長都是100 米．小明沿線段從A點(diǎn)到B 點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實(shí)際上可以用一筆畫原理求解．首先，圖中有8 個(gè)奇點(diǎn)，在8 個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4 條線段，才能使這8 個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B 點(diǎn)， A， B 兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A， B 都是偶點(diǎn)，必須在與A，B 連接的線段中各去掉1 條線段，使A，B 成為奇點(diǎn)．所以至少要去掉6 條線段，也就是最多能走1800 米，走法如圖【答案】【例 13】 有個(gè)點(diǎn)排成的方陣。如圖，請(qǐng)不間斷地一筆畫出條直線經(jīng)過每個(gè)點(diǎn)，且最后回到起點(diǎn)【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 答案不唯一只使用橫平豎直的線怎么都不夠，因此嘗試使用斜線進(jìn)行構(gòu)造。【答案】答案不唯一【例 14】 一條小蟲沿長6分米，寬4分米，高5分米的長方體的棱爬行．如果它只能進(jìn)不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 8個(gè)定點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以至少需要4筆．多畫長和高能保證總路程最長，為A－B－G－H－A－D－C－F－E－D總長為64＋54 ＋41＝48分米．【答案】48分米【鞏固】一只木箱的長、寬、高分別為5，4，3厘米(見右圖)，有一只甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復(fù)，則甲蟲回到A點(diǎn)時(shí)，最多能爬行多少厘米？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 最多34厘米【答案】多34厘米模塊二、調(diào)整奇偶點(diǎn)變一筆畫【例 15】 判斷下列圖形能否一筆畫．若能，請(qǐng)給出一種畫法；若不能，請(qǐng)加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形．【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖(1)不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)BD，或者去掉BF都可以使圖形能一筆畫出．圖(2)不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉KL，或者BK都可以使圖形能一筆畫出．圖(3)不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉AB可以使圖形能一筆畫出．一個(gè)K(K＞1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)．如左下圖中的B，C兩個(gè)奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn)．所以只要在K筆畫的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加(K1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫． 【答案】【例 16】 如圖是某餐廳的平面圖，共有五個(gè)小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設(shè)有入口．請(qǐng)問你能否從入口進(jìn)入一次不重復(fù)地穿過所有的門．如果可以，請(qǐng)指明穿行路線， 如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個(gè)門就可以辦到？ 【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 可以將圖中的五個(gè)小廳以及廳外的部分都抽象成點(diǎn)，為方便解題，給它們分別編號(hào)．這時(shí)，連通廳與廳之間的門就相當(dāng)于各點(diǎn)之間的連線．于是題目中餐廳平面圖就抽象成為一個(gè)連通的圖形，如下：求穿形路線的問題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問題．在抽象出的圖形中，我們可以找到四個(gè)奇點(diǎn)，即②、③、④和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進(jìn)入不可能一次不重復(fù)的穿過所有的門．但根據(jù)一筆畫問題的知識(shí)，只要關(guān)閉門，把③、④變?yōu)榕键c(diǎn)，就可以辦到，關(guān)閉B門，可行路線如上圖?！敬鸢浮筷P(guān)閉B門?！纠?17】 下圖中不能一筆畫成，請(qǐng)你在下圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖．【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有E H G F四個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)EH就可以使圖形一筆畫出．【答案】連結(jié)EH就可以使圖形一筆畫出【例 18】 如圖所示，某小區(qū)花園的道路為一個(gè)長480米，寬200米的長方形；一個(gè)邊長為260米的菱形和十字交叉的兩條道路組成．一天，王大爺A處進(jìn)入花園，走遍花園的所有道路并從A處離開．如果他每分鐘走60米，那么他從進(jìn)入花園到走出花園最少要用　 分．【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】填空【解析】 根據(jù)一筆畫的概念，因?yàn)榈缆穲D有四個(gè)奇點(diǎn)，所以王大爺是沒法不重復(fù)地走完小區(qū)所有的道路回到的，但可以對(duì)道路圖作一些處理，相當(dāng)于王大爺通過走重復(fù)的道路，完成一筆畫，如下圖：　　　道路的總路程為米，王大爺走完這些路要分鐘．【答案】分鐘【例 19】 某城市的交通系統(tǒng)由若干個(gè)路口（右圖中線段的交點(diǎn)）和街道（右圖中的線段）組成，每條街道都連接著兩個(gè)路口．所有街道都是雙向通行的，且每條街道都有一個(gè)長度值（標(biāo)在圖中相應(yīng)的線段處）．一名郵遞員傳送報(bào)紙和信件，要從郵局出發(fā)經(jīng)過他所管轄的每一條街道最后返回郵局（每條街道可以經(jīng)過不止一次）．他合理安排路線，可以使得自己走過最短的總長度是 ．【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】填空【解析】 根據(jù)一筆畫的有關(guān)概念，道路圖中有個(gè)奇點(diǎn)，郵遞員不可能不重復(fù)地走遍所有街道并返回郵局．但可以對(duì)道路圖作一些處理，相當(dāng)于郵遞員通過走重復(fù)的道路，完成一筆畫，如下圖：總路程為．【答案】【例 20】 18世紀(jì)的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島A和一座半島D，人們在這里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個(gè)小島連接起來(如圖a)．如果游人要一次走過這七座橋，而且對(duì)每座橋只許走一次，問如何走才能成功？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙．他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線．這樣，一個(gè)實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形(如下圖)能否一筆畫出的問題了．而圖B中有4個(gè)奇點(diǎn)顯然不能一筆畫出．【答案】不能【鞏固】如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七座橋連接這兩個(gè)島及河岸．問：一個(gè)散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 能【答案】能【例 21】 一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)， 要走遍各街道，最后回到郵局．怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 【考點(diǎn)】一筆畫問題 【難度】5星 【題型】解答【解析】 圖中共有8 個(gè)奇點(diǎn)，必須在8 個(gè)奇點(diǎn)間添加4 條線，才能消除所有奇點(diǎn)，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫．在距離最近的兩個(gè)奇點(diǎn)間添加一條連線，如左下圖中虛線所示，共添加4 條連線，這4 條連線表示要重復(fù)走的路，顯然，這樣重復(fù)走的路程最短，全程30千米．走法參考右下圖(走法不唯一)．【答案】千米閱讀下面的材料，完成作文。記憶天空群星燦爛,記憶枝頭繁花似錦。記憶是陳年的老窖,記憶是經(jīng)典的華章,記憶是人生一筆寶貴的財(cái)富。曾經(jīng)如花般燦爛的笑顏、曾經(jīng)流淌溫暖的畫面、曾經(jīng)深深懺悔的淚水……這一切都是難以磨滅的。難以磨滅的記憶也一定是觸動(dòng)心靈的。請(qǐng)以“難以磨滅的記憶”為標(biāo)題,寫一篇不少于800字的記敘性文章?！敬鸢浮侩y以磨滅的記憶 “班長……”數(shù)學(xué)老師突然停頓了，他拿著試卷，眉頭緊鎖，似乎看到了什么，讓他沉痛。不想說卻還是說了：“班長，八十八分……”班里一下子安靜了，同學(xué)們?nèi)冀┳×耍瑐€(gè)個(gè)呆若木雞。班長也驚呆了，變得面紅耳赤。她慢慢地站起來，離開座位，走到老師面前。她不敢看老師，一聲不出地將試卷拿在手上，回到座位。班里突然傳來一陣騷動(dòng)：“哇，班長居然只考了八十八，以前都是一百分的！”“怎么可能？班長都只考了八十八，那我們豈不都七十幾分？”“好可怕，這次試卷好難，感覺我要涼涼了?！薄案卑嚅L……八十……”“課代表……八十六……”……隨著老師邊念分?jǐn)?shù)邊發(fā)試卷，同學(xué)們的心都懸了起來，好像下一個(gè)七十幾分的試卷就是自己的。要是沒考好，那就糗大了。我也十分緊張，回憶著考試時(shí)有沒有認(rèn)真答題，可我做的時(shí)候一帆風(fēng)順，并