【正文】 知識點撥所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準重復．從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖．但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個問題的方法．什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數(shù)學游戲．我們把一個圖形中與偶數(shù)條線相連接的點叫做偶點．相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點叫做奇點．一筆畫問題：(1)能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；(2)凡是只由偶點組成的連通圖形．一定可以一筆畫出．畫時可以由任一偶點作為起點．最后仍回到這點；(3)凡是只有兩個奇點的連通圖形一定可以一筆畫出．畫時必須以一個奇點作為起點，以另一個奇點為終點；(4)奇點個數(shù)超過兩個的圖形，一定不能一筆畫．多筆畫問題：我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫．多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點個數(shù)的一半．事實上，對于任意的連通圖來說，如果有2n個奇點(n為自然數(shù))，那么這個圖一定可以用n筆畫成．例題精講模塊一、判斷奇偶點【例 1】 我們把一個圖形上與偶數(shù)條線相連的點叫做偶點，與奇數(shù)條線相連的點叫做奇點．下圖中，哪些點是偶點？哪些點是奇點？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 奇點： D H J O 偶點：A B C E F G I【答案】奇點： D H J O 偶點：A B C E F G I【例 2】 同學們野營時建了9個營地，連接營地之間的道路如圖所示，貝貝要給每個營地插上一面旗幟，要求相鄰營地的旗幟色彩不同，則貝貝最少需要 種顏色的旗子，如果貝貝從某營地出發(fā)，不走重復路線就 （填“能”或“不能”）完成任務(wù).【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級，初賽，第10題【解析】 最少需要3種顏色的旗子。因為中間的三點連成一個三角形，要使這三點所代表營地兩糧相鄰，要使相鄰營地沒有相同顏色的旗子，必須各插一種與其它兩點不同顏色的旗子。不走重復路線不能完成插旗的任務(wù)，因為本題共有6各奇點。【答案】種顏色，不能 【例 3】 判斷下列圖a、圖b、圖c能否一筆畫．【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 圖a能，因為有2個奇點，圖a能b不能，因為圖形不是連通的，圖c能，因為因為圖中全是奇點【答案】a能，a能，c能【例 4】 下面圖形能不能一筆畫成？若果能，應(yīng)該怎樣畫？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 圖1能 因為圖中全是偶點；圖2能 因為圖中全是偶點；圖3不能因為有4個奇點?！敬鸢浮繄D1能 因為圖中全是偶點；圖2能 因為圖中全是偶點；圖3不能因為有4個奇點?！纠?5】 下面的圖形，哪些能一筆畫出？哪些不能一筆畫出？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 第1個能，3不能【答案】第1個能，3不能【例 6】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復地穿過所有的門，并且從入口進，從出口出？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 將圖形中的6個區(qū)域看成6個點，每個門看成連結(jié)他們的線段，顯然6個點都是偶點，所以有人能一次不重復的走過所有的門．【答案】能【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由．如果能，應(yīng)從哪開始走？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 不能【答案】不能【例 7】 下圖中的線段表示小路，請你仔細觀察，認真思考，能夠不重復的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 要想不重復爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個奇點，所以應(yīng)該從奇點出發(fā)才能一筆畫出圖形，所以甲螞蟻能夠．【答案】甲螞蟻【例 8】 能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個正方形和兩個三角形？【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 可以．【答案】可以【例 9】 下圖是兒童樂園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 要想不重復，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個奇點，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個奇點出，即F和I點．【答案】出口和入口應(yīng)該分別放在F和I點【例 10】 郵遞員叔叔向11個地點送信一次信，不走重復路，怎樣走最合適？【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 不走重復路，一筆能畫出路線圖，圖中有2個奇點，應(yīng)該從奇點處出發(fā)，下面有一種參考路線： 41258961011743【答案】41258961011743【例 11】 觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成？【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖(1)有8個奇點，所以要4筆畫出，圖(2)有12個奇點，所以要一筆畫出，圖(3)能一筆畫出．【答案】圖(1)有8個奇點，所以要4筆畫出，圖(2)有12個奇點，所以要一筆畫出，圖(3)能一筆畫出．【例 12】 在33的方陣中每個小正方形的邊長都是100 米．小明沿線段從A點到B 點，不許走重復路，他最多能走多少米？【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題大多數(shù)同學都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解．首先，圖中有8 個奇點，在8 個奇點之間至少要去掉4 條線段，才能使這8 個奇點變成偶點；其次，從A點出發(fā)到B 點， A， B 兩點必須是奇點，現(xiàn)在A， B 都是偶點，必須在與A，B 連接的線段中各去掉1 條線段，使A，B 成為奇點．所以至少要去掉6 條線段，也就是最多能走1800 米，走法如圖【答案】【例 13】 有個點排成的方陣。如圖，請不間斷地一筆畫出條直線經(jīng)過每個點，且最后回到起點【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 答案不唯一只使用橫平豎直的線怎么都不夠，因此嘗試使用斜線進行構(gòu)造。【答案】答案不唯一【例 14】 一條小蟲沿長6分米，寬4分米，高5分米的長方體的棱爬行．如果它只能進不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 8個定點都是奇點，所以至少需要4筆．多畫長和高能保證總路程最長，為A－B－G－H－A－D－C－F－E－D總長為64＋54 ＋41＝48分米．【答案】48分米【鞏固】一只木箱的長、寬、高分別為5，4，3厘米(見右圖)，有一只甲蟲從A點出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復，則甲蟲回到A點時，最多能爬行多少厘米？【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 最多34厘米【答案】多34厘米模塊二、調(diào)整奇偶點變一筆畫【例 15】 判斷下列圖形能否一筆畫．若能，請給出一種畫法；若不能，請加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形．【考點】一筆畫問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖(1)不能一筆畫出，因為圖中有4個奇點，連結(jié)BD，或者去掉BF都可以使圖形能一筆畫出．圖(2)不能一筆畫出，因為圖中有4個奇點，去掉KL，或者BK都可以使圖形能一筆畫出．圖(3)不能一筆畫出，因為圖中有4個奇點，去掉AB可以使圖形能一筆畫出．一個K(K＞1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個奇點，如果在任意兩個奇點之間添加一條連線，那么這兩個奇點同時變成了偶點．如左下圖中的B，C兩個奇點在右下圖中都變成了偶點．所以只要在K筆畫的2K個奇點間添加(K1)筆就可以使奇點數(shù)目減少為2個，從而變成一筆畫． 【答案】【例 16】 如圖是某餐廳的平面圖，共有五個小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設(shè)有入口．請問你能否從入口進入一次不重復地穿過所有的門．如果可以，請指明穿行路線， 如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個門就可以辦到？ 【考點】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 可以將圖中的五個小廳以及廳外的部分都抽象成點，為方便解題，給它們分別編號．這時，連通廳與廳之間的門就相當于各點之間的連線．于是題目中餐廳平面圖就抽象成為一個連通的圖形，如下：求穿形路線的問題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問題．在抽象出的圖形中，我們可以找到四個奇點，即②、③、④和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進入不可能一次不重復的穿過所有的門．但根據(jù)一筆畫問題的知識，只要關(guān)閉門，把③、④變?yōu)榕键c，就可以辦到，關(guān)閉B門，可行路線如上圖。【答案】關(guān)閉B門?！纠?17】 下圖中不能一筆畫成，請你在下圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖．【考點】一筆畫問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 不能一筆畫出，因為圖中有E H G F四個奇點，連結(jié)EH就可以使圖形一筆畫出．【答案】連結(jié)EH就可以使圖形一筆畫出【例 18】 如圖所示，某小區(qū)花園的道路為一個長480米，寬200米的長方形；一個邊長為260米的菱形和十字交叉的兩條道路組成．一天，王大爺A處進入花園，走遍花園的所有道路并從A處離開．如果他每分鐘走60米，那么他從進入花園到走出花園最少要用　 分．【考點】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】填空【解析】 根據(jù)一筆畫的概念，因為道路圖有四個奇點，所以王大爺是沒法不重復地走完小區(qū)所有的道路回到的，但可以對道路圖作一些處理，相當于王大爺通過走重復的道路，完成一筆畫，如下圖：　　　道路的總路程為米，王大爺走完這些路要分鐘．【答案】分鐘【例 19】 某城市的交通系統(tǒng)由若干個路口（右圖中線段的交點）和街道（右圖中的線段）組成，每條街道都連接著兩個路口．所有街道都是雙向通行的，且每條街道都有一個長度值（標在圖中相應(yīng)的線段處）．一名郵遞員傳送報紙和信件，要從郵局出發(fā)經(jīng)過他所管轄的每一條街道最后返回郵局（每條街道可以經(jīng)過不止一次）．他合理安排路線，可以使得自己走過最短的總長度是 ．【考點】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】填空【解析】 根據(jù)一筆畫的有關(guān)概念，道路圖中有個奇點，郵遞員不可能不重復地走遍所有街道并返回郵局．但可以對道路圖作一些處理，相當于郵遞員通過走重復的道路，完成一筆畫，如下圖：總路程為．【答案】【例 20】 18世紀的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島A和一座半島D，人們在這里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個小島連接起來(如圖a)．如果游人要一次走過這七座橋，而且對每座橋只許走一次，問如何走才能成功？【考點】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 歐拉解決這個問題的方法非常巧妙．他認為：人們關(guān)心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線．這樣，一個實際問題就轉(zhuǎn)化為一個幾何圖形(如下圖)能否一筆畫出的問題了．而圖B中有4個奇點顯然不能一筆畫出．【答案】不能【鞏固】如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個島，有七座橋連接這兩個島及河岸．問：一個散步者能否一次不重復地走遍這七座橋？【考點】一筆畫問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】 能【答案】能【例 21】 一個郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)， 要走遍各街道，最后回到郵局．怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 【考點】一筆畫問題 【難度】5星 【題型】解答【解析】 圖中共有8 個奇點，必須在8 個奇點間添加4 條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫．在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如左下圖中虛線所示，共添加4 條連線，這4 條連線表示要重復走的路，顯然，這樣重復走的路程最短，全程30千米．走法參考右下圖(走法不唯一)．【答案】千米閱讀下面的材料，完成作文。記憶天空群星燦爛,記憶枝頭繁花似錦。記憶是陳年的老窖,記憶是經(jīng)典的華章,記憶是人生一筆寶貴的財富。曾經(jīng)如花般燦爛的笑顏、曾經(jīng)流淌溫暖的畫面、曾經(jīng)深深懺悔的淚水……這一切都是難以磨滅的。難以磨滅的記憶也一定是觸動心靈的。請以“難以磨滅的記憶”為標題,寫一篇不少于800字的記敘性文章?！敬鸢浮侩y以磨滅的記憶 “班長……”數(shù)學老師突然停頓了，他拿著試卷，眉頭緊鎖，似乎看到了什么，讓他沉痛。不想說卻還是說了：“班長，八十八分……”班里一下子安靜了，同學們?nèi)冀┳×?，個個呆若木雞。班長也驚呆了，變得面紅耳赤。她慢慢地站起來，離開座位，走到老師面前。她不敢看老師，一聲不出地將試卷拿在手上，回到座位。班里突然傳來一陣騷動：“哇，班長居然只考了八十八，以前都是一百分的！”“怎么可能？班長都只考了八十八，那我們豈不都七十幾分？”“好可怕，這次試卷好難，感覺我要涼涼了。”“副班長……八十……”“課代表……八十六……”……隨著老師邊念分數(shù)邊發(fā)試卷，同學們的心都懸了起來，好像下一個七十幾分的試卷就是自己的。要是沒考好，那就糗大了。我也十分緊張，回憶著考試時有沒有認真答題，可我做的時候一帆風順，并