【正文】 比較與估算教學(xué)目標(biāo)本講是在分?jǐn)?shù)計算方面技巧的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識小數(shù)、分?jǐn)?shù)，只是從比較大小方面認(rèn)識它們，這一講主要介紹一些比較較為復(fù)雜的小數(shù)、分?jǐn)?shù)大小的方法，主要有通分子、通分母、倒數(shù)法、放縮法等。知識點撥一、小數(shù)的大小比較常用方法為方便比較，往往把這些小數(shù)排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù).(如果是循環(huán)小數(shù)，就把它改寫成一般寫法的形式)二、分?jǐn)?shù)的大小比較常用方法⑴通分母：分子小的分?jǐn)?shù)小.⑵通分子：分母小的分?jǐn)?shù)大.⑶比倒數(shù)：倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小.⑷與1相減比較法：分別與1相減，差大的分?jǐn)?shù)?。?適用于真分?jǐn)?shù))⑸重要結(jié)論：①對于兩個真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；②對于兩個假分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都小的分?jǐn)?shù)比較大．⑹放縮法在實際解題的過程中，我們還會用到其它一些思路！同學(xué)們要根據(jù)具體情況展開思維！三、數(shù)的估算時常用方法（1）放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設(shè)法放大或縮小．使結(jié)果介于某兩個接近數(shù)之間，從而估算結(jié)果．（2）變換結(jié)構(gòu)：將原來算式或問題變形為便于估算的形式．例題精講模塊一、兩個數(shù)的大小比較【例 1】 如果a ，b ，那么a，b中較大的數(shù)是 【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試【解析】 方法一：與1相減比較法1 ；1 ．因為 ，所以b較大；方法二：比倒數(shù)法因為，所以，進(jìn)而，即；方法三：兩個真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大，所以b大【答案】【鞏固】 試比較和的大小【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【解析】 【答案】【鞏固】 比較和的大小【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【解析】 因為，顯然，根據(jù)被減數(shù)一定，減數(shù)越大差越小的道理，有：【答案】【例 2】 如果A，B,A與B中哪個數(shù)較大？【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽【解析】 方法一：觀察可以發(fā)現(xiàn)A、B都很接近，且比它小．我們不防與比較．A,B,BA，即B比A更接近，換句話說 BA .方法二： ，即.方法三：，顯然，則【答案】【鞏固】 如果，那么A和B中較大的數(shù)是 .【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】 ，即大【答案】【鞏固】 試比較和的大小 【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 方法一：觀察可知，這兩個分?jǐn)?shù)的分母都比分子的10倍多1．對于這樣的分?jǐn)?shù)，可以利用它們的倒數(shù)比較大?。牡箶?shù)是1 ，的倒數(shù)是１ ，我們很容易看出10 10 ，所以 ；方法二：，兩個真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大，所以即【答案】【例 3】 在 a=200320032002和 b=200220032003中，較大的數(shù)是______ ，比較小的數(shù)大______ 。 【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 ba=200220032003200320032002=200200002003+2003200320030000200220032002=2003(20032002)=2003所以a比b大2003【答案】a比b大2003【例 4】 設(shè)a= ，b= ,則在a與b中，較大的數(shù)是______?！究键c】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 可采用放縮法。因為= + ＞+ ，＞。所以＞，即a是較大的數(shù)。當(dāng)然這道題目我們也可采用通分求結(jié)果的一般方法?！敬鸢浮縜【例 5】 比較與的大?。究键c】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 如果直接放縮：，但是，所以不能確定與的大小關(guān)系，同樣如果如下進(jìn)行放縮：，也不能確定．但是如果保留，將進(jìn)行放縮，則有：，可見兩者中較大．【答案】較大【鞏固】 與相比，哪個更大，為什么？【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 記，顯然有： ，而，有，所以原分式比小 .【答案】更大【例 6】 試比較: 與哪一個大? 【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 296=378，185=375，因為 所以＞【答案】【例 7】 圖中有兩個黑色的正方形，兩個白色的正方形，它們的面積已在圖中標(biāo)出(單位：厘米)．黑色的兩個正方形面積大還是白色的兩個正方形面積大?請說明理由．【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，口試【解析】 此題利用到平方差公式：19971996(19971996)(19971996)19971996399319931992199319923985所以1997199619931992即1997199219961993，兩個白色正方形的面積大．【答案】兩個白色正方形的面積大【例 8】 在中選出若干個數(shù)使它們的和大于3，最少要選多少個數(shù)?【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為了使選出的數(shù)最少，那么必須盡可能選擇較大的數(shù)． 有依次減小，所以我們選擇時應(yīng)從左至右的選擇． 有而所以最少選擇11個即可使它們的和大于3.【答案】11個【例 9】 已知：，那么與中 比較大，說明原因；【考點】兩個數(shù)的大小比較 【難度】4星 【題型】填空【解析】 ,即比大【答案】比較大模塊二、多個數(shù)的大小比較【例 10】 ⑴比較以下小數(shù)，找到最大的數(shù)：， ，⑵比較以下5個數(shù)，排列大?。? ，，.【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 ⑴題目中存在循環(huán)小數(shù)，將所有小數(shù)位數(shù)補(bǔ)至相同的位數(shù)，如下所示：→ → →→ →于是可以得出結(jié)果，是最大的數(shù)．對于循環(huán)小數(shù)的問題，首先考慮的就是將其展開，從中獲得足夠的信息，然后按照小數(shù)比較原則判斷，不處理而一味的觀察是沒有意義的．⑵題目中出現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)，可以先把數(shù)分為兩個部分，一部分為小于1的數(shù)，一部分為大于等于1的數(shù)，然后兩部分內(nèi)部比較，無須兩部分間重復(fù)比較．①小于l的部分為和，將小數(shù)展開，并把化為小數(shù)得：，顯然，即；②大于等于1的部分中，有整數(shù)、小數(shù)、假分?jǐn)?shù)：1，，先將假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，比較三數(shù)整數(shù)部分，發(fā)現(xiàn)都為1，然后比較其他部分：…，所以得到1 ． 即得： 1 .【答案】⑴ ⑵ 1 .【鞏固】 在，中，最小的數(shù)是______?！究键c】多個數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試【解析】 所以最小的是【答案】【鞏固】 在、四個小數(shù)中，第二小的數(shù)是____【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽【解析】 由于，可以看出，其中第二小的數(shù)為?！敬鸢浮俊眷柟獭?分?jǐn)?shù)中最大的一個是 ?！究键c】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級【解析】【答案】【鞏固】 有8個數(shù)，, , , 是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)是，那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)? 【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 , , , ，顯然有，即，8個數(shù)從小到大排列第4個是，所以有．(“□”表示未知的那2個數(shù)).所以，這8個數(shù)從大到小排列第4個數(shù)是．【答案】【鞏固】 在，中，最小的分?jǐn)?shù)是__________.【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)愛好者夏令營【解析】 因為，根據(jù)重要結(jié)論——對于兩個真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子和分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；而且：，所以，最小的是．【答案】【例 11】 （1）把下列各數(shù)按照從小到大的順序排列：，，（2）(幼苗杯數(shù)學(xué)邀請賽)把下列分?jǐn)?shù)用“”號連接起來： ，，【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 ⑴我們可以用通分子的方法，可得：，分母大的反而小，所以．⑵這五個分?jǐn)?shù)的分母都不相同，要通分變成同分母的分?jǐn)?shù)比較麻煩．再看分子，60正好是1160五個數(shù)的公倍數(shù)．利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以將題中的各分?jǐn)?shù)化為分子都是60的分?jǐn)?shù)．我們稱之為“通分子比大小”的方法．，，；可見 ；也就是 .【答案】⑴ ⑵【鞏固】 將、從小到大排列，第三個數(shù)是________.【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級，決賽【解析】 ，所以：，第三小的數(shù)是【答案】【鞏固】 這里有五個分?jǐn)?shù)： 如果按大小順序排列，排在中間的是哪個數(shù)?【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】【答案】【鞏固】 將下列乘式結(jié)果按從小到大排序：，，．【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 看式子前兩位相同，于是我們想到可不可以變成“前面部分一樣一個簡單算式”的形式．看，我們的目標(biāo)是把十位和百位的6提取出來，轉(zhuǎn)化算式：可以看到，這5個乘式的前兩項結(jié)果是一樣的，即我們只要比較，，的大小，就可以得出：＜＜＜＜．【答案】＜＜＜＜【鞏固】 編號為3的三只螞蟻分別舉起重量為，克的重物．問：金、銀、銅牌應(yīng)分別發(fā)給幾號螞蟻? 【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽【解析】所以，【答案】【鞏固】 請把這4個數(shù)從大到小排列?！究键c】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 將1與這四個分?jǐn)?shù)依次做差，得、,顯然有,被減數(shù)相同,差小的數(shù)反而大,所以.【答案】【例 12】 ，在上式的方框內(nèi)填入一個整數(shù)，使兩端的不等號成立，那么要填的整數(shù)是多少?【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 將不等式中的三個數(shù)同時除以80，不等號的方向不改變，有，而、的倒數(shù)分別為、而□應(yīng)該在之間，～(在計算循環(huán)小數(shù)時，將其小數(shù)點后保留2位數(shù)字)，其中的整數(shù)只有103，所以□內(nèi)所填的整數(shù)為103．【答案】103【鞏固】 ⑴比大比小的分?jǐn)?shù)有無數(shù)多個，則分子為27的分?jǐn)?shù)是_________.(寫出一個即可)⑵右面方框里填什么自然數(shù)時，不等式成立? １【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 ⑴設(shè)比大比小的分?jǐn)?shù)為，則：，即，所以，不妨取，那么，滿足題意．再比如等也滿足題意．⑵分子549，可以把1看成，利用加成分?jǐn)?shù)原理得□13.【答案】⑴ ⑵13【鞏固】 比大，比小的分?jǐn)?shù)有無窮多個，請寫出三個： ?！究键c】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試【解析】 ， 【答案】，【鞏固】 ⑴找出一個比大，比小的分?jǐn)?shù)。⑵滿足下式的括號里的數(shù)字有多少個自然數(shù)：【考點】多個數(shù)的大小比較 【難度】3星 【題型】填空【解析】 ⑴方法一：任意兩個分?jǐn)?shù)，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分?jǐn)?shù)叫做加成分?jǐn)?shù)．加 成分?jǐn)?shù)的值介于原來兩個分?jǐn)?shù)之間．根據(jù)加成分?jǐn)?shù)原理，是介于和之間的一個分?jǐn)?shù)．方法二：如果通分母，可以得到同分母分?jǐn)?shù)和．把這兩個分?jǐn)?shù)的分子、分母擴(kuò)大2倍，可以找出一個比大，比小的分?jǐn)?shù)；如果把這兩個分?jǐn)?shù)擴(kuò)大3倍，可以再得到兩個中間的分?jǐn)?shù)等等． 我們也可以用類似的方法，通過通分子去找比大、比小的分?jǐn)?shù)．同學(xué)們可以自己試一試． ⑵首先判斷第一個不等號兩邊的關(guān)系，因此( )35，再判斷第二個不等號兩邊的關(guān)系，因此( )15．根據(jù)以上分析，可以確定( )中能填入19個自然數(shù)．根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)等值放縮分?jǐn)?shù)是處理分?jǐn)?shù)問題最常用的方法．【答案】⑴