【正文】 教學(xué)目標(biāo)前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時(shí)已經(jīng)穿插講解了計(jì)數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹(shù)形圖法、標(biāo)數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學(xué)習(xí)一下計(jì)數(shù)中其他常見(jiàn)的方法，主要有歸納法、整體法、對(duì)應(yīng)法、遞推法．對(duì)這些計(jì)數(shù)方法與技巧要做到靈活運(yùn)用．例題精講從條件值較小的數(shù)開(kāi)始，找出其中規(guī)律，或找出其中的遞推數(shù)量關(guān)系，歸納出一般情況下的數(shù)量關(guān)系．【例 1】 如圖所示，在22方格中，畫一條直線最多穿過(guò)3個(gè)方格；在33方格中，畫一條直線最多穿過(guò)5個(gè)方可知；那么在55方格中，畫一條直線，最多穿過(guò) 個(gè)方格?！究键c(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第14題，6分【解析】 邊長(zhǎng)每多1，穿過(guò)的方格多2，那么55的最多穿過(guò)3+2+2+2=9個(gè)方格【答案】【例 2】 一條直線分一個(gè)平面為兩部分．兩條直線最多分這個(gè)平面為四部分．問(wèn)5條直線最多分這個(gè)平面為多少部分?【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方法一：我們可以在紙上試著畫出1條直線，2條直線，3條直線，……時(shí)的情形，于是得到下表： 由上表已知5條直線最多可將這個(gè)平面分成16個(gè)部分，并且不難知曉，當(dāng)有n條直線時(shí)，最多可將平面分成2+2+3+4+…+n=+1個(gè)部分．方法二：如果已有k條直線，再增加一條直線，這條直線與前k條直線的交點(diǎn)至多k個(gè)，因而至多被分成k+1段，每一段將原有的部分分成兩個(gè)部分，所以至多增加k+1個(gè)部分．于是3條直線至多將平面分為4+3=7個(gè)部分，4條直線至多將平面分為7+4=11個(gè)部分，5條直線至多將平面分為11+5=16個(gè)部分．一般的有k條直線最多將平面分成：1+1+2+…+k=+1個(gè)部分，所以五條直線可以分平面為16個(gè)部分．【答案】【鞏固】平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】4星 【題型】解答【解析】 假設(shè)用ak表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分?jǐn)?shù)，這里k＝0，1，2，……a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11……故5條直線可以把圓分成16部分，100條直線可以把圓分成5051部分【答案】部分【例 3】 平面上10個(gè)兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個(gè)區(qū)域？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】4星 【題型】解答【解析】 先考慮最簡(jiǎn)單的情形．為了敘述方便，設(shè)平面上個(gè)圓最多能將平面分割成個(gè)部分．從圖中可以看出，，，……可以發(fā)現(xiàn)滿足下列關(guān)系式：．實(shí)際上，當(dāng)平面上的()個(gè)圓把平面分成個(gè)區(qū)域時(shí)，如果再在平面上出現(xiàn)第個(gè)圓，為了保證劃分平面的區(qū)域盡可能多，新添的第個(gè)圓不能通過(guò)平面上前個(gè)圓之間的交點(diǎn)．這樣，第個(gè)圓與前面?zhèn)€圓共產(chǎn)生個(gè)交點(diǎn)，如下圖：這個(gè)交點(diǎn)把第個(gè)圓分成了段圓弧，而這段圓弧中的每一段都將所在的區(qū)域一分為二，所以也就是整個(gè)平面的區(qū)域數(shù)增加了個(gè)部分．所以，．那么，．故10個(gè)圓最多能將平面分成92部分．【答案】【例 4】 個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】4星 【題型】解答【解析】 設(shè)個(gè)三角形最多將平面分成個(gè)部分．時(shí)，；時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有個(gè)交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有（個(gè)）交點(diǎn)．這個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了段，這段中的每一段都將原來(lái)的每一個(gè)部分分成個(gè)部分，從而平面也增加了個(gè)部分，即．時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有（個(gè)）交點(diǎn)，從而平面也增加了個(gè)部分，即：．……一般地，第個(gè)三角形與前面?zhèn)€三角形最多有個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加個(gè)部分，故；特別地，當(dāng)時(shí)，即個(gè)三角形最多把平面分成個(gè)部分．【答案】【例 5】 一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長(zhǎng)方形最多把平面分成多少部分？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】4星 【題型】解答【解析】 一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分．第二個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊至多把第一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部分成2部分，這樣第一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部至多被第二個(gè)長(zhǎng)方形分成五部分． 　　同理，第二個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部至少被第一個(gè)長(zhǎng)方形分成五部分．這兩個(gè)長(zhǎng)方形有公共部分(如下圖，標(biāo)有數(shù)字9的部分)．還有一個(gè)區(qū)域位于兩個(gè)長(zhǎng)方形外面，所以兩個(gè)長(zhǎng)方形至多把平面分成10部分． 　　第三個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊至多與前兩個(gè)長(zhǎng)方形中的每一個(gè)的兩條邊相交，故第一條邊被隔成五條小線段，其中間的三條小線段中的每一條線段都把前兩個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部的某一部分一分為二，所以至多增加34=12個(gè)部分．而第三個(gè)長(zhǎng)方形的4個(gè)頂點(diǎn)都在前兩個(gè)長(zhǎng)方形的外面，至多能增加4個(gè)部分．所以三個(gè)長(zhǎng)方形最多能將平面分成10+12+4=26．【小結(jié)】個(gè)圖形最多可把平面分成部分?jǐn)?shù)：直線：；圓：；三角形： ；長(zhǎng)方形：．【答案】【例 6】 在平面上畫5個(gè)圓和1條直線，最多可把平面分成多少部分?【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】5星 【題型】解答【解析】 先考慮圓．1個(gè)圓將平面分成2個(gè)部分．這時(shí)增加1個(gè)圓，這個(gè)圓與原有的1個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，成為2條弧，每條弧將平面的一部分一分為二，增加了2個(gè)部分，所以2個(gè)圓最多將平面分成4個(gè)部分．當(dāng)有3個(gè)圓時(shí)，第3個(gè)圓與原有的2個(gè)產(chǎn)生4個(gè)交點(diǎn)而增加4個(gè)部分，所以3個(gè)圓最多將平面分成8個(gè)部分．同樣的道理，5個(gè)圓最多將平面分成22個(gè)部分．再考慮直線．直線與每個(gè)圓最多有2個(gè)交點(diǎn)，這樣與5個(gè)圓最多有10個(gè)交點(diǎn)．它們將直線分成11條線段或射線，而每條線段又將平面的一部分一分為二，2條射線增加了一部分，因此5個(gè)圓和1條直線最多可將平面分成32個(gè)部分．【答案】【例 7】 在一個(gè)西瓜上切刀，最多能將瓜皮切成多少片？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】4星 【題型】解答【解析】 將西瓜看做一個(gè)球體，球體上任意一個(gè)切割面都是圓形，所以球面上的切割線是封閉的圓周，考慮每一次切割能增加多少瓜皮片．當(dāng)切刀時(shí)，瓜皮被切成兩份，當(dāng)切第刀時(shí)，由于切割線相交，所以瓜皮被切成分，……，切第次時(shí)，新增加的切割線與原來(lái)的切割線最多有個(gè)交點(diǎn)．這些交點(diǎn)將第條切割線分成段，也就是說(shuō)新增加的切割線使瓜皮數(shù)量增加了，所以在西瓜上切刀，最多能將瓜皮切成片．【答案】【例 8】 在一大塊面包上切刀最多能將面包切成多少塊．（注：面包是一個(gè)立體幾何圖形，切面可以是任何方向）【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)之歸納法 【難度】5星 【題型】解答【解析】 題目相當(dāng)于個(gè)平面能將空間劃分為多少個(gè)部分．通過(guò)找規(guī)律來(lái)尋找遞推關(guān)系，顯然的個(gè)平面能將空間劃分成塊，個(gè)平面能將空間劃分成 塊，個(gè)平面能將空間劃分成個(gè)平面，當(dāng)增加到第四個(gè)平面時(shí)，第四個(gè)平面這能將原來(lái)空間中的個(gè)部分中的其中幾個(gè)劃分．如圖：注意到第四個(gè)平面與其他三個(gè)平面相交形成3條直線，這三條直線將第四個(gè)平面分割成個(gè)部分，而每一部分將原來(lái)三個(gè)平面劃分的個(gè)空間中的個(gè)劃分成兩份，所以個(gè)平面能將空間劃分成個(gè)部分．同樣的第五個(gè)平面與前四個(gè)平面分別相交成條直線，這四條直線能將第個(gè)平面分割成個(gè)部分，每一部分都劃分原空間中的某一區(qū)域，所以第五個(gè)平面能使空間中的區(qū)域增加到個(gè)部分．當(dāng)增加到個(gè)平面時(shí)，第六個(gè)平面共被劃分成個(gè)部分，所以第個(gè)平面能將空間中的區(qū)塊數(shù)增加到個(gè)部分．所以刀能將面包切成塊．【答案】閱讀下面的文字，根據(jù)要求作文。經(jīng)過(guò)中考的洗禮，你成了一名高中生。你有自己的優(yōu)點(diǎn)和特長(zhǎng)，也有缺點(diǎn)和不足。也許你長(zhǎng)大成熟了，不再懵懂幼稚，但你想更上一層樓；也許你正在走向成熟，不想渾渾噩噩，決心重塑自我。開(kāi)學(xué)以來(lái)，遇到的人，親歷的活動(dòng)，無(wú)不給你的思想、生活甚至是生命帶來(lái)沖擊，催你清醒，促你奮進(jìn)崛起，唯一的辦法就是改變你自己！請(qǐng)以“改變自己”為題，寫一篇記敘文要求：不少于800字。寫出你的真情實(shí)感。不抄襲，不套作?！敬鸢浮扛淖冏约簽踉?，有它存在的理由，它可以為我們遮擋住那刺眼的陽(yáng)光。暴風(fēng)雨，也有它存在的理由，它可以平靜我們內(nèi)心的煩躁，拂走我們心底的塵埃。那段日子，我眼中的一切都是灰色的。步入初三的殿堂，家，學(xué)校，補(bǔ)習(xí)班三點(diǎn)一線，構(gòu)成了我單調(diào)的生活，繁重的學(xué)業(yè)早已壓的我喘不過(guò)氣來(lái)。成績(jī)的下滑無(wú)疑又是雪上加霜。頓時(shí)感覺(jué)到自己的前途灰暗無(wú)比。我獨(dú)自走在回家的路上，又是一個(gè)陰天，烏云擅自為藍(lán)天裹了一件灰色的大衣，狂風(fēng)肆虐，咆哮著涼過(guò)每一次角落。不一會(huì)，便來(lái)臨了暴雨。無(wú)奈，我只好躲在一家屋檐下避雨。不經(jīng)意的向右一瞄，我的目光便被深深牽住了。透過(guò)那幾扇干凈的玻璃門，里面是一個(gè)畫室，畫室很簡(jiǎn)單，只有灰色和白色而已。里面的學(xué)生有的坐著，有的站著，他們輕輕的握著筆，纖細(xì)的手輕輕滑過(guò)，潔白的紙上出現(xiàn)了灰色的點(diǎn)綴，只有單調(diào)的灰白兩色，卻勾勒出如此美麗的世界。我不禁愛(ài)上了這里，愛(ài)上了這單調(diào)的世界。我便報(bào)名來(lái)到了這里，成了勾勒這世界的一份子。我懷著激動(dòng)和喜悅的心情靜靜的坐下，望著同學(xué)們他們筆中流露出的那份祥和與外面紛雜的世界形成了鮮明的對(duì)比。自信地拿起筆，輕輕地在紙上拂過(guò)，出現(xiàn)在我眼前的卻是如此污濁不堪，那灰色的痕線像一條猙獰的疤痕，怒目的盯著我，失望與痛苦瞬間襲入我的大腦。我將筆默默放回畫盒。難道我又要放棄了嗎？難道真的我什么也做不好了嗎？不，我不能就此放棄！我要努力獲得成功，徹底地改變自己！我重新拿起畫筆，不斷的練習(xí)，在我的堅(jiān)持不懈下，我終于尋到了一絲柔和的影子?？粗莾?yōu)美的線條，我對(duì)著鏡子里那張污濁的臉笑了。感受到那成功的喜悅，我迫不急待地向外奔去。還是陰天，灰色的天空與灰色的大地相互連接。我走在路上，那冰冷的雨水打在我身上，卻讓我感到了平靜。從此，我不再埋怨自己的生活，樂(lè)觀地去看待身邊的每一件事，一感到疲倦便畫一副畫來(lái)放松心情?；疑鞘謫握{(diào)的顏色，但又十分相襯，只有灰色才能體現(xiàn)出白色的亮麗，只有白色才能體現(xiàn)出黑色的柔和。烏云，有它存在的理由，它可以襯映出你身上的閃光點(diǎn)。暴風(fēng)雨，也有它存在的理由，它可以磨練你，讓你品嘗到成功的甘甜。改變自己，改變自己對(duì)灰色的厭惡，我的生活因此而十分充實(shí)?！窘馕觥俊驹斀狻勘绢}考查寫作能力。形式為命題作文。命題作文題目、寫作要求明確完整，利于考生通過(guò)審題立意構(gòu)思選材的步驟，迅速構(gòu)思行文。但是，審題要求較高，要求審清題目里隱含的內(nèi)容。只有審清題意才能根據(jù)寫作特長(zhǎng)或者生活積累，明確文體，確定寫作重點(diǎn)。寫記敘文時(shí)注意化虛為實(shí)、化顯為隱、化平為奇、化情為物、化理為形。同時(shí)，在成文的時(shí)候，還要注意時(shí)代感，要有時(shí)代意識(shí)?！緦忣}】此題考查“材料+命題”作文的寫作?！案淖儭钡膬?nèi)涵和外延，領(lǐng)悟“改變”的本質(zhì)和意蘊(yùn)。改變有積極和消極之分，有正面和反面之別。從幼稚到成熟是改變自己，從懦弱到勇敢是改變自己，從平凡到偉大，從拒絕到接納，從厭惡到熱愛(ài)……都是對(duì)自己的改變。巨大的改變可以是人生觀、世界觀、情感等，微小的改變也可以是態(tài)度、動(dòng)作，甚至只是一個(gè)表情。改變自己是一種成熟，一種勇氣，一種修養(yǎng)，同時(shí)更是一種睿智。改變自己的結(jié)果常是豐富人生的內(nèi)涵，完成自我的超越，獲得人生的成功；反之，不愿改變或不善于改變自己常導(dǎo)致失敗的降臨或悲劇的發(fā)生，給社會(huì)、人生留下遺憾、痛苦和悔恨。，一件小事，一種小物，一念之間……基本上都是積極的改變?？刹皇懿牧鲜`，只要扣題就行。參考立意：成功從改變自己開(kāi)始/世界因改變而美麗，人生因改變而精彩。我想改變生活，生活卻改變了我。微笑、鼓勵(lì)……，改變了我。改變，讓我感動(dòng)……以小見(jiàn)大；實(shí)題虛寫。例文分析：文章以學(xué)畫為中心事件，記敘了學(xué)畫的過(guò)程和結(jié)果，通過(guò)學(xué)畫自己變得開(kāi)朗樂(lè)觀，堅(jiān)持不懈，勇于面對(duì)現(xiàn)實(shí)。可用素材：當(dāng)你還沉浸在滿紙荒唐的言情、武俠小說(shuō)中時(shí)、你是否知道，你是一個(gè)生活在現(xiàn)實(shí)中的人類？當(dāng)你還在幻想著榮譽(yù)與富貴不勞而獲時(shí)，你是否知道，你是一個(gè)生活在現(xiàn)實(shí)生活中的人？當(dāng)你還在感受著天使與你同在時(shí)，你是否知道，你是一個(gè)生活在現(xiàn)實(shí)生活中的人？我們不過(guò)都是平凡人，忘卻那些虛有，改變自己的人生價(jià)值觀。丟掉羞澀，做一個(gè)活潑開(kāi)朗的人?？偸橇?xí)慣對(duì)人保持一種特定的距離，雖然相信世上的好人會(huì)比壞人多很多，卻還是習(xí)慣對(duì)人保持一種警惕。不敢接觸太多人，害怕受傷，害怕不知如何處理人際關(guān)系，總以保持一種孤傲的樣子存在，不與人交流接觸。高中后才發(fā)現(xiàn)，在這萬(wàn)千行人中，唯有自己最孤單，別人都是成群結(jié)隊(duì)，在一起談天說(shuō)笑，自己卻像只落單的孤鳥(niǎo)，想飛，卻找不到方向。遇到困難時(shí)，才發(fā)現(xiàn)自己有多么無(wú)助。終于發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)好交際能力是一件多么重要的事。從今以后，便丟掉自己身上的保護(hù)色，多與人接觸，成為一個(gè)交際達(dá)人。只有真正認(rèn)識(shí)自己，才會(huì)發(fā)現(xiàn)自身的不足之處，你才會(huì)改變自己，你只有改變了自己，才有可能改變世界。他通過(guò)泯去后天的經(jīng)過(guò)世俗熏染的“偽我”，以求返歸一個(gè)“真我”。他清晰地看到了社會(huì)的腐朽，卻沒(méi)有力量去改變它，于是只好改變自己——追求自身道德的完善。因?yàn)楦淖冏约?，他領(lǐng)悟到了“久在樊籠里，復(fù)得返自然”的真諦。因?yàn)楦淖冏约?，他欣賞到了“山氣日夕佳，飛鳥(niǎo)相與還”的自然之觀。因?yàn)楦淖冏约海删土酥袊?guó)文學(xué)史上的一大奇跡。根據(jù)要求作文。請(qǐng)以“我想要的幸福”為題，寫一篇700字以上的作文。要求：文體不限，立意自定，不要套作，不得抄襲?！敬鸢浮课蚁胍男腋Ｐ腋Ｊ且粋€(gè)十分美妙的詞，讓每個(gè)人不知疲倦地為它努力前行。幸福是一種感覺(jué)，不能用數(shù)據(jù)來(lái)衡量。雖然有“幸福指數(shù)”一說(shuō)，但冷冰冰的好像實(shí)驗(yàn)室的科研數(shù)據(jù)。對(duì)，幸福是一種滋味，是一種體驗(yàn)，是自我的一種滿足感。但并非每個(gè)人都能知道自己想要的幸福是什么，往往幸福的真諦會(huì)因我們所處的階段不同而變化。小時(shí)候，我想要的幸福是爸媽能不去工作，乖乖地留在家里陪我看卡通，陪我玩飛行棋，還有給我買好吃的糖果，年幼的我不懂什么大道理，只是簡(jiǎn)單地知道，如果父母天天都陪我玩，天天都給我買糖吃，那么將會(huì)是最幸福的事了，簡(jiǎn)單的陪伴與甜甜的糖就是我想要的幸福。然而，隨著年齡的增長(zhǎng)，我對(duì)幸福的定義有了新