【正文】 2013年第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小高組A卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．計算：19+281﹣＝　 ?。?．農(nóng)諺“逢冬數(shù)九”講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是　 　九的第　 　天．3．某些整數(shù)分別被，，除后，所得的商化作帶分數(shù)時，分數(shù)部分分別是，，則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是　 ?。?．如圖，在邊長為12厘米的正方形ABCD中，以AB為底邊作腰長為10厘米的等腰三角形PAB．則三角形PAC的面積等于　 　平方厘米．5．有一筐蘋果，甲班分，每人3個還剩11個；乙班分，每人4個還剩10個；丙班分，每人5個還剩12個．那么這筐蘋果至少有　 　個．6．兩個大小不同的正方體積木粘在一起，構成如圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個頂點分別是大積木的粘貼面各邊的一個三等分點．如果大積木的棱長為3，則這個立體圖形的表面積為　 ?。?．設n是小于50的自然數(shù)，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公約數(shù)的所有n的可能值之和為　 ?。?．由四個完全相同的正方體堆積成如右圖所示的立體，則立體的表面上（包括地面）所有黑點的總數(shù)至少是　 　．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．用四個數(shù)字4和一些加、減、乘、除號和括號，寫出四個分別等于5和6的算式．10．小明與小華同在小六（1）班，該班學生人數(shù)介于20和30之間，且每個人的出生日期均不相同．小明說：“本班比我大的人數(shù)是比我小的人數(shù)的兩倍”，小華說：“本班比我大的人數(shù)是比我小的人數(shù)的三倍”．問這個班有多少名學生？11．小虎周末到公園劃船，九點從租船處出發(fā)，計劃不超過十一點回到租船處．已知，租船處在河的中游，河道筆直，每劃船半小時，小虎就要休息十分鐘讓船順水漂流． 船在靜水中的速度是3 千米/小時；問：小虎的船最遠可以離租船處多少千米？12．由四個相同的小正方形拼成如圖，能否將連續(xù)的24個自然數(shù)分別放在圖中所示的24個黑點處（每處放一個，每個數(shù)只使用一次），使得圖中所有正方形邊上所放的數(shù)之和都相等？若能，請給出一個例子，請說明理由．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．（15分）用八個如圖所示的21的小長方形可以拼成一個44的正方形，若一個拼成的正方形圖形經(jīng)過旋轉與另一個拼成的正方形圖形相同，則認為兩個拼成的正方形相同．問：在所有可能拼成的正方形圖形中，上下對稱、第一行有兩個空白小方格且空白小方格相鄰的圖形有多少種？14．（15分）不為零的自然數(shù)n既是2010個數(shù)字和相同的自然數(shù)之和，也是2012個數(shù)字和相同的自然數(shù)之和，還是2013個數(shù)字和相同的自然數(shù)之和，那么n最小是多少？2013年第十八屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試卷（小高組A卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．計算：19+281﹣＝　25　．【分析】根據(jù)乘法分配律進行簡算即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：19+281﹣，＝19+281﹣100，＝（19+281﹣100），＝200，＝25．故答案為：25．2．農(nóng)諺“逢冬數(shù)九”講的是，從冬至之日起，每九天分為一段，依次稱之為一九，二九，…，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是　二　九的第　3　天．【分析】先求出2012年12月21日到2013年的元旦經(jīng)過了多少天，再求這些天里有幾個9天，還余幾天，再根據(jù)余數(shù)推算是幾九第幾天即可．【解答】解：2012年12月21日到2013年的元旦共有12天，12247。9＝1…3，說明已經(jīng)經(jīng)過了1個9天，還余3天，這一天就是二九的第3天．答：2013年的元旦是二九的第3天．故答案為：二，3．3．某些整數(shù)分別被，，除后，所得的商化作帶分數(shù)時，分數(shù)部分分別是，，則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是　316?。痉治觥坑^察所得的商的分數(shù)部分：，，分子都是2，分母分別為這些分數(shù)的，，分子，所以只要求出9的最小公倍數(shù)再加1即可．【解答】解：9的最小公倍數(shù)是：3357＝315，所以滿足條件且大于1的最小整數(shù)是：315+1＝316；故答案為：316．4．如圖，在邊長為12厘米的正方形ABCD中，以AB為底邊作腰長為10厘米的等腰三角形PAB．則三角形PAC的面積等于　12　平方厘米．【分析】過P點作PE⊥AB，PF⊥BC，三角形PAC的面積＝三角形PAB的面積+三角形PBC的面積﹣三角形ABC的面積．【解答】解：因為102﹣（12247。2）2＝64，則PE＝8，PF＝6，所以三角形PAB的面積為：128247。2＝48（平方厘米），三角形PBC的面積為：126247。2＝36（平方厘米），陰影部分的面積為：48+36﹣1212247。2，＝84﹣72，＝12（平方厘米）；答：三角形PAC的面積等于12平方厘米．故答案為：12．5．有一筐蘋果，甲班分，每人3個還剩11個；乙班分，每人4個還剩10個；丙班分，每人5個還剩12個．那么這筐蘋果至少有　62　個．【分析】因為11247。3，10247。4，12247。5余數(shù)都是2，因此這筐蘋果的個數(shù)就是5的最小公倍數(shù)加上2即可．【解答】解：11247。3＝3…2，10247。4＝2…2，12247。5＝2…2，345+2＝60+2＝62（個）；答：這筐蘋果至少有62個．故答案為：62．6．兩個大小不同的正方體積木粘在一起，構成如圖所示的立體圖形，其中，小積木的粘貼面的四個頂點分別是大積木的粘貼面各邊的一個三等分點．如果大積木的棱長為3，則這個立體圖形的表面積為　74?。痉治觥坑^察圖形可知，大正方體與小正方體的相連的兩個面如圖所示：因為大正方體的棱長是3，則四周的小直角三角形的直角邊分別是1；如果把四周的四個直角三角形剪下來，正好拼成一個邊長是2的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得：大正方體的一個面的面積是33＝9，則小正方體的一個面的面積就是9﹣22＝5；則這個立方體的表面積就是大正方體的表面積與小正方體的四個面的面積之和，據(jù)此即可解答．【解答】解：根據(jù)題干分析可得：大正方體的一個面的面積是：33＝9，小正方體一個面的面積是：22＝4，9﹣4＝5，所以這個立體圖形的表面積是：96+54，＝54+20，＝74，答：這個立體圖形的表面積是74．故答案為：74．7．設n是小于50的自然數(shù)，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公約數(shù)的所有n的可能值之和為　94?。痉治觥看祟}可以通過設公約數(shù)這個參數(shù)，將參數(shù)值求出，進而得出n的值．【解答】解：設4n+5和7n+6的公約數(shù)為k，則（4n+5）247。k為整數(shù)，（7n+6）247。k為整數(shù)，為了作差后消去n，則左邊的式子乘上7，右邊的式子乘上4，結果還是都為整數(shù)， 則[7（4n+5）﹣4（7n+6）]247。k＝11247。k為整數(shù)，因為k≠1，則11247。k為整數(shù)時k只能為11，即兩代數(shù)式大于1個公約數(shù)為11， 又因為[2（4n+5）﹣（7n+6）]247。k為整數(shù)，[這里（4n+5）乘上2來作差是為了讓n的系數(shù)變?yōu)?方便篩選]代入k＝11，有（n+4）247。11為整數(shù)因為n＜50則n＝7，18，29，40．7+18+29+40＝94．故所有n的可能值之和為94．故答案為：94．8．由四個完全相同的正方體堆積成如右圖所示的立體，則立體的表面上（包括地面）所有黑點的總數(shù)至少是　54?。痉治觥扛鶕?jù)圖意知，上面的正方體同下面正方體中間相連的面最大是5個黑點，下面中間的正方體面同上面正方體和左右兩個正方體三個面連接的面，最大是6，4，3個黑點，下面左面的正方體和下面右面的正方體，同中間的正方體連接的面，最大是6個黑點，然用四個正方體上的黑點總數(shù)，減去連接在一起看不到的黑點數(shù)，就是表面的黑點數(shù)．【解答】解：根據(jù)以上分析得：（1+2+3+4+5+6）4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣62，＝214﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，＝84﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，＝54（個）．故答案為：54．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．用四個數(shù)字4和一些加、減、乘、除號和括號，寫出四個分別等于5和6的算式．【分析】因為12247。4＝3，4+4+4＝12，所以可以寫成（4+4+4）247。4＝3；因為4（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以寫成4﹣（4﹣4）4＝4；因為45＝20，20247。4＝5，所以可以寫成（44+4）247。4＝5；因為2+4＝6，（4+4）247。4＝2，所以可以寫成（4+4）247。4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）247。4＝3； 4﹣（4﹣4）4＝4；（44+4）247。4＝5；（4+4）247。4+4＝6；10．小明與小華同在小六（1）班，該班學生人數(shù)介于20和30之間，且每個人的出生日期均不相同．小明說：“本班比我大的人數(shù)是比我小的人數(shù)的兩倍”，小華說：“本班比我大的人數(shù)是比我小的人數(shù)的三倍”．問這個班有多少名學生？【分析】設比小明小得學生為x人，比小華小的學生為y人，那么比小明大的學生為2x人，所以全班學生共有N＝3x+1人，又因為比小華大的學生為3y人，所以全班學生共有N＝4y+1人，則N﹣1既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)，因此N﹣1是34＝12的倍數(shù)，結合該班學生人數(shù)介于15到30人之間，所以N﹣只能是24，所以這個班共有學生N＝24+1＝25人．【解答】解：由分析知，設比小明小得學生為x人，比小華小的學生為y人，那么比小明大的學生為2x人，所以全班學生共有N＝3x+1人，又因為比小華大的學生為3y人，所以全班學生共有N＝4y+1人，則N﹣1既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)，因此N﹣1是34＝12的倍數(shù)，結合該班學生人數(shù)介于20到30人之間，所以N﹣1只能是24，所以這個班共有學生N＝24+1＝25人．答：這個班有25名學生．11．小虎周末到公園劃船，九點從租船處出發(fā)，計劃不超過十一點回到租船處．已知，租船處在河的中游，河道筆直，每劃船半小時，小虎就要休息十分鐘讓船順水漂流． 船在靜水中的速度是3 千米/小時；問：小虎的船最遠可以離租船處多少千米？【分析】小虎劃船的全部時間是120分鐘，他每劃行30分鐘，休息10分鐘，周期為40分鐘，所以一共可以分為3個30分鐘劃行時間段，有3個10分鐘休息；劃船時，：＝3：1；因為小虎要把船劃離到離租船處盡可能遠，他在劃船的過程中只能換一次劃船的方向，而且是在盡可能遠處，分為兩種情況討論，即開始向下游劃船或開始向上游劃船，然后再進一步解答即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：分為兩種情況，開始向下游劃船或開始向上游劃船；①我們假設開始時向下游劃，若劃30分鐘，則向下游劃（3+）+＝（千米）；返回時，向上游劃半小時，順水漂10分鐘為一個周期，可以向上游劃 （3﹣）﹣＝（千米）；在剩余的40分鐘內(nèi)回不了租船處．假設開始時向下游劃x（x＜30）分鐘，則在前40分鐘內(nèi)，他可以向下游劃（3+）﹣（3﹣）+＝﹣（千米）要保證能回到租船處，﹣≤+，即x≤15；所以最多可以劃（3+）＝（千米）；②開始時向上游劃，由①得向上游劃半小時，順水漂10分鐘為一個周期，（T＝40 分鐘）；可以向上游劃（3﹣）﹣＝（千米）；假設向上游劃240+x（x≤30）分鐘，則可以向上游劃2+（3﹣）＝1+；余下時間可以向下游劃 （3+）+＝﹣x；要保證能回到租船處，則要求1+≤﹣x，解得x≤15；所以最多可以離開租船處 1+＝（千米）；比較兩種情況， 千米．答：．12．由四個相同的小正方形拼成如圖，能否將連續(xù)的24個自然數(shù)分別放在圖中所示的24個黑點處（每處放一個，每個數(shù)只使用一次），使得圖中所有正方形邊上所放的數(shù)之和都相等？若能，請給出一個例子，請說明理由．【分析】不能．設放的最小自然數(shù)為a，則放的最小自然數(shù)為a+23．得到這24個自然數(shù)的和為A＝12（2a+23）．假設可能，設每個正方形邊上所放的數(shù)之和為S．因為共有5個正方形，這些和的和為5S．因為每個數(shù)在這些和中出現(xiàn)兩次，所以5S＝2A．記最小的16個數(shù)的和為B，則B＝8（2a+15）．再分兩種情況討論：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．【解答】解：不能．設放的最小自然數(shù)為a，則放的最大自然數(shù)為a+23．這24個自然數(shù)的和為A＝12（2a+23）．假設可能，設每個正方形邊上所放的數(shù)之和為S．因為共有5個正方形，這些和的和為5S．因為每個數(shù)在這些和中出現(xiàn)兩次，所以5S＝2A．記最小的16個數(shù)的和為B，則B＝8（2a+15）．分兩種情況討論：（1）若B≤S，則S＝A＝（2a+23）≥8（2a+15），+≥16a+120，不存在自然數(shù)a使得不等式成立．（2）若B＞S也是不可能的，因為此時不可能選擇最大正方形邊上的16個數(shù)使這16個數(shù)的和等于S．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．（15分）用八個如圖所示的21的小長方形可以拼成一個44的正方形，若一個拼成的正方形圖形經(jīng)過旋轉與另一個拼成的正方形圖形相同，則認為兩個拼成的正方形相同．問：在所有可能拼成的正方形圖形中，上下對稱、第一行有兩個空白小方格且空白小方格相鄰的圖形有多少種？【分析】用右圖代替題目中的21小長方形，因為題目所給的小長方形的上下不對稱，所以同一個小長方形在拼成的上下對稱的正方形中，不會既在上半部分也在下半部分，這樣，就可以只考慮上半部分的不同情形，據(jù)此畫圖分析解解答．【解答】解：（1）相鄰的空白格在第一行的最左邊或最右邊，因為要排除旋轉相同的，所以只考慮相鄰空白格在最右邊的情況，有下圖所示的兩