【正文】 2010年“迎春杯”數(shù)學解題能力展示復賽試卷（小高組）一、填空題（共15小題，每小題0分，滿分0分）1．2010+26﹣14＝　 ?。?．下表是人民幣存款基準利率表．小明現(xiàn)在有10000元人民幣，如果他按照三年期整存整取的方式存款，三年后他連本帶利一共能從銀行拿到　 　元人民幣．整存整取時間三個月半年一年三年五年年利率（%）3．如圖所示，有大小不同的兩個正方體，大正方體的棱長是小正方體棱長的6倍．將大正方體的6個面都染上紅色，將小正方體的6個面都染上黃色，再將兩個正方體粘合在一起．那么這個立體圖形表面上紅色面積是黃色面積的　 　倍．4．有一塊用于實驗新品種水稻的試驗田形狀如圖，面積共40畝，一部分種植新品種，另一部分種植舊品種（種植面積不一定相等），以方便比較成果．舊品種每畝產(chǎn)500千克；新的品種中有75%都沒有成功，每畝只產(chǎn)400千克，但是另外25%試驗成功，每畝產(chǎn)800千克．那么，這塊試驗田共產(chǎn)水稻　 　千克．5．在每個方框中填入一個數(shù)字，使得乘法豎式成立．已知乘積有兩種不同的得數(shù)，那么這兩個得數(shù)的差是　 　．6．直角邊長分別為18厘米，10厘米的直角△ABC和直角邊長分別為14厘米，4厘米的直角△ADE如圖擺放．M為AE的中點，則△ACM的面積為　 　平方厘米．7．黑板上一共寫了10040個數(shù)字，包括2006個1，2007個2，2008個3，2009個4，2010個5，每次操作都擦去其中4個不同的數(shù)字并寫上第5種數(shù)字（例如，擦去4各1個，寫上1個5；或者擦去5各1個，寫上1個1…）．如果經(jīng)過若干次有限的操作后，黑板上恰好有兩個數(shù)字，則這兩個數(shù)字的乘積是多少？8．蜜蜂王國為了迎接2010年春節(jié)的到來，特地筑了一個蜂巢如下．每個正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字0、1或2．春節(jié)到來之時，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個節(jié)拍恰好走過的四個數(shù)字：2010（從某個2出發(fā)最后走完四步后又回到2，如圖中箭頭所示為一個舞步），且蜜蜂每一步都只能從一個正六邊形移動到與之有公共邊的正六邊形上．蜜蜂要經(jīng)過四個正六邊形且所得數(shù)字依次為2010，共有　 　種方法．9．在反恐游戲中，一名“恐怖分子”隱藏在10個排成一行的窗戶后面，一位百發(fā)百中的“反恐精英”使用狙擊槍射擊這名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗戶就能射中這名“恐怖分子”．每次射擊完成后，如果“恐怖分子”沒有被射中，他就會向右移動一個窗戶．一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動．為了確保射中這名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射擊　 　次．10．如圖所示，直線上并排放置著兩個緊挨著的圓，它們的面積都等于1680平方厘米．陰影部分是夾在兩圓及直線之間的部分．如果要在陰影部分內(nèi)部放入一個盡可能大的圓，則這個圓的面積等于多少平方厘米？11．用1﹣9這9個數(shù)字各一次，組成一個兩位完全平方數(shù)，一個三位完全平方數(shù)，一個四位完全平方數(shù)，那么，其中四位完全平方數(shù)最小是　 ?。?2．現(xiàn)有一塊L形的蛋糕如圖所示，現(xiàn)在要求一刀把它切成三部分，因此只能按照如圖的方式切，但不能斜著切或橫著切．要使得到的最小的那塊面積盡可能大，那么最小的面積為　 　平方厘米．13．小李開車從甲地去乙地，出發(fā)后2小時，車在丙地出了故障，修車用了40分鐘，修好后，速度只為正常速度的75%，結(jié)果比計劃時間晚2小時到乙地．若車在行過丙地72千米的丁地才出故障，修車時間與修車后的速度分別還是40分鐘與正常速度的75%，．那么，甲、乙兩地全程　 　千米．14．9000名同學參加一次數(shù)學競賽．他們的考號分別是1000，1001，1002，…9999．小明發(fā)現(xiàn)他的考號是8210，而他的朋友小強的考號是2180他們兩人的考號由相同的數(shù)字組成（順序不 樣）差為2010的倍數(shù)，那么，這樣的考號（由相同的數(shù)字組成并且差為2010的倍數(shù)）共有　 　對．15．小華編了一個計算機程序．程序運行后一分鐘，電腦屏幕上首次出現(xiàn)一些肥皂泡，接下來每到整數(shù)分鐘的時刻都會出現(xiàn)一些新的肥皂泡，數(shù)量與第一分鐘出現(xiàn)的相同．第11次出現(xiàn)肥皂泡后半分鐘，有一個肥皂泡破裂．以后每隔一分鐘又會有肥皂泡破裂，且數(shù)量比前一分鐘多1個（即第12次出現(xiàn)肥皂泡后半分鐘，有2個肥皂泡破裂…）．到某一時刻，已破裂的肥皂泡的總數(shù)恰好等于電腦屏幕上出現(xiàn)過的肥皂泡的總數(shù)，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序運行的整個過程中，在電腦屏幕上最多同時有　 　個肥皂泡出現(xiàn)．2010年“迎春杯”數(shù)學解題能力展示復賽試卷（小高組）參考答案與試題解析一、填空題（共15小題，每小題0分，滿分0分）1．2010+26﹣14＝　2058?。窘獯稹拷猓?010+26﹣14＝2010+﹣＝﹣＝2058故答案為：2058．2．下表是人民幣存款基準利率表．小明現(xiàn)在有10000元人民幣，如果他按照三年期整存整取的方式存款，三年后他連本帶利一共能從銀行拿到　10999　元人民幣．整存整取時間三個月半年一年三年五年年利率（%）【解答】解：10000+10000%3＝10000+999＝10999（元）答：三年后他連本帶利一共能從銀行拿到 10999元人民幣．故答案為：10999．3．如圖所示，有大小不同的兩個正方體，大正方體的棱長是小正方體棱長的6倍．將大正方體的6個面都染上紅色，將小正方體的6個面都染上黃色，再將兩個正方體粘合在一起．那么這個立體圖形表面上紅色面積是黃色面積的　43　倍．【解答】解：假設小正方體棱長是1，大正方體棱長就是6，大正方體露在外面的表面積是666﹣1＝215，小正方體露在外面的表面積是5，所以有215247。5＝43倍．故答案為43．4．有一塊用于實驗新品種水稻的試驗田形狀如圖，面積共40畝，一部分種植新品種，另一部分種植舊品種（種植面積不一定相等），以方便比較成果．舊品種每畝產(chǎn)500千克；新的品種中有75%都沒有成功，每畝只產(chǎn)400千克，但是另外25%試驗成功，每畝產(chǎn)800千克．那么，這塊試驗田共產(chǎn)水稻　20000　千克．【解答】解：根據(jù)分析，設新品種有X畝，產(chǎn)量為75%400X+25%800千克，則舊品種有40﹣X畝，產(chǎn)量為（40﹣X）500千克，試驗田共產(chǎn)水稻總量＝新品種產(chǎn)量+舊品種產(chǎn)量＝75%400X+25%800+（40﹣X）500＝20000（千克）．故答案是：20000．5．在每個方框中填入一個數(shù)字，使得乘法豎式成立．已知乘積有兩種不同的得數(shù)，那么這兩個得數(shù)的差是　1080?。窘獯稹拷猓阂李}意可知：首先根據(jù)乘積的四位數(shù)的結(jié)果的個位數(shù)字是0可知第一個乘數(shù)的個位可能是5或者0．第一個乘數(shù)的首位數(shù)字是大于4的數(shù)字．所以第二個乘數(shù)的十位只能是1才能滿足乘積的結(jié)果是三位數(shù)．所以第一個乘數(shù)的十位數(shù)字是1．根據(jù)第一個四位數(shù)乘積的百位數(shù)字是0，那么第一個乘數(shù)的首位數(shù)字只能是5．那么滿足條件的有510216＝110160．515216＝111240．111240﹣110160＝1080．（或者直接用個位數(shù)字差是5216＝1080）故答案為：10806．直角邊長分別為18厘米，10厘米的直角△ABC和直角邊長分別為14厘米，4厘米的直角△ADE如圖擺放．M為AE的中點，則△ACM的面積為　53　平方厘米．【解答】解：S△ABC+S△ADE＝（1810+144）247。2＝（180+56）247。2＝118（平方厘米）根據(jù)△DEF∽△BCF得：BF：DF＝BC：DE＝10：4＝BF+DF＝4，解得DF＝，BF＝，∵AM＝ME，∴S陰＝（S△ABC+S△ADE+S△DEF﹣S△BCF）247。2＝（118+4﹣10）247。2＝53 （平方厘米）故答案為53．7．黑板上一共寫了10040個數(shù)字，包括2006個1，2007個2，2008個3，2009個4，2010個5，每次操作都擦去其中4個不同的數(shù)字并寫上第5種數(shù)字（例如，擦去4各1個，寫上1個5；或者擦去5各1個，寫上1個1…）．如果經(jīng)過若干次有限的操作后，黑板上恰好有兩個數(shù)字，則這兩個數(shù)字的乘積是多少？【解答】解：由于每一次操作后，每一種數(shù)字個數(shù)的奇偶性改變，原來有奇數(shù)個的變成了偶數(shù)個，原來有偶數(shù)個的變成了奇數(shù)個．即無論如何操作，原來2個奇數(shù)個數(shù)的奇偶性相同，原來3個偶數(shù)個數(shù)的奇偶性也相同．最后剩下2個數(shù)（1），說明剩下的是原來數(shù)字個數(shù)奇偶性相同的數(shù)，那么只能是原來的2個奇數(shù)（2002009），2和4．24＝8，結(jié)果就是8．8．蜜蜂王國為了迎接2010年春節(jié)的到來，特地筑了一個蜂巢如下．每個正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字0、1或2．春節(jié)到來之時，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個節(jié)拍恰好走過的四個數(shù)字：2010（從某個2出發(fā)最后走完四步后又回到2，如圖中箭頭所示為一個舞步），且蜜蜂每一步都只能從一個正六邊形移動到與之有公共邊的正六邊形上．蜜蜂要經(jīng)過四個正六邊形且所得數(shù)字依次為2010，共有　30　種方法．【解答】解：圖中標2的六邊形分兩類，第一類如左圖所示，第二類如右圖所示． 從第一類六邊形出發(fā)，每個六邊形都只有1種走法，因此共有6種走法．從第二類六邊形出發(fā)，每個六邊形有4種不同的走法，其中兩種是環(huán)形回路（細線表示），兩種是原路返回（粗線表示），因此共有46＝24種走法． 綜上所述，共有24+6＝30種不同的走法．故答案為30．9．在反恐游戲中，一名“恐怖分子”隱藏在10個排成一行的窗戶后面，一位百發(fā)百中的“反恐精英”使用狙擊槍射擊這名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗戶就能射中這名“恐怖分子”．每次射擊完成后，如果“恐怖分子”沒有被射中，他就會向右移動一個窗戶．一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動．為了確保射中這名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射擊　6　次．【解答】解：第一次射擊1號窗口，恐怖分子不可能在2號窗口出現(xiàn)；第二次射擊3號窗口，恐怖分子不可能在4號窗口出現(xiàn)；第三次射擊5號窗口，恐怖分子不可能在6號窗口出現(xiàn)；第四次射擊7號窗口，恐怖分子不可能在8號窗口出現(xiàn)；第五次射擊9號窗口，恐怖分子有可能早在10號窗口，所以還要射第6次．根據(jù)上面的分析，至少要射6次．10．如圖所示，直線上并排放置著兩個緊挨著的圓，它們的面積都等于1680平方厘米．陰影部分是夾在兩圓及直線之間的部分．如果要在陰影部分內(nèi)部放入一個盡可能大的圓，則這個圓的面積等于多少平方厘米？【解答】解：如圖，A、B、C分別是3個圓的圓心，設大圓的半徑是R厘米，小圓的半徑是r厘米，則AC＝R+r（厘米），CD＝R﹣r（厘米）；因為AD2+CD2＝AC2，所以R2+（R﹣r）2＝（R+r）2，整理，可得R＝4r，所以R2＝16r2，所以πR2＝16πr2，所以πr2＝πR2247。16＝1680247。16＝105（平方厘米）答：這個圓的面積等于105平方厘米．11．用1﹣9這9個數(shù)字各一次，組成一個兩位完全平方數(shù)，一個三位完全平方數(shù)，一個四位完全平方數(shù)，那么，其中四位完全平方數(shù)最小是　1369?。窘獯稹拷猓?232＝1024，含有0，不合要求3333＝1089，含有0，不合要求3434＝1156，含有兩個1，不合要求3535＝1225，含有兩個2，不合要求3636＝1296，剩下數(shù)字8沒有哪兩個數(shù)字可以組成兩位完全平方數(shù)，不合要求3737＝1369，剩下數(shù)字8，其中25＝55，784＝2828符合要求故填136912．現(xiàn)有一塊L形的蛋糕如圖所示，現(xiàn)在要求一刀把它切成三部分，因此只能按照如圖的方式切，但不能斜著切或橫著切．要使得到的最小的那塊面積盡可能大，那么最小的面積為　80　平方厘米．【解答】解：如圖，因為在圖中兩個三角形相似，大三角形是小三角形對應邊的2倍，2x（30﹣10）247。2＝1010﹣10x247。2解此方程得 x＝4，24（30﹣20）＝810＝80（平方厘米）或（10﹣4+10）10247。2＝16247。10247。2＝80（平方厘米）故答案為：80．13．小李開車從甲地去乙地，出發(fā)后2小時，車在丙地出了故障，修車用了40分鐘，修好后，速度只為正常速度的75%，結(jié)果比計劃時間晚2小時到乙地．若車在行過丙地72千米的丁地才出故障，修車時間與修車后的速度分別還是40分鐘與正常速度的75%，．那么，甲、乙兩地全程　288　千米．【解答】解：丙、丁兩地以兩個不同速度走，用時為3：4，3＝，車原速為72247。＝48千米/小時，現(xiàn)速為48＝36千米，丙到乙以不同速度走，用時比為：3：4，從丙到乙原計劃用時：（2﹣）3＝3＝4（小時）（4+2）48＝648＝288（千米）答：甲、乙兩地全程288千米．故答案為：288．14．9000名同學參加一次數(shù)學競賽．他們的考號分別是1000，1001，1002，…9999．小明發(fā)現(xiàn)他的考號是8210，而他的朋友小強的考號是2180他們兩人的考號由相同的數(shù)字組成（順序不 樣）差為2010的倍數(shù)，那么，這樣的考號（由相同的數(shù)字組成并且差為2010的倍數(shù)）共有　50　對．【解答】解：設與由相同的數(shù)字組成，且2010|（﹣）由于與的數(shù)字和相同，它們除以9的余數(shù)相同，即9|（﹣），從而6030|（﹣）．考慮到0＜﹣＜9000，于是﹣＝6030，＝+6030．從末位數(shù)字可知d＝h，﹣603＝．若c≥3，﹣603＝，但（a﹣6）+b+（c﹣3）＝a+b+c﹣9≠a+b+c，≠，﹣603＝，不成立．若c≤2，b＝0，﹣603＝﹣603＝，同上知這種情況也不成立．因此，b≥1．﹣603＝．c+7在這里可能等于a或者b．如果