【正文】 中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)平行四邊形的綜合題附答案一、平行四邊形1．（1）、動(dòng)手操作：如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕為EF，若∠ABE＝20176。，那么的度數(shù)為 .（2）、觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）、實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對(duì)折得折痕EF，折痕與AD邊交于點(diǎn)E，與BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展開紙片，此時(shí)恰好有MP＝MN＝PQ（如圖④），求∠MNF的大小.【答案】（1）125176。；（2）同意；（3）60176。【解析】試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠AEB=70176。，根據(jù)折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55176。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFC=125176。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EFC′=∠EFC=125176。；（2）根據(jù)第一次折疊，得∠BAD=∠CAD；根據(jù)第二次折疊，得EF垂直平分AD，根據(jù)等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，則△AEF是等腰三角形；（3）由題意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由對(duì)稱性可知，MF=PF，進(jìn)而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180176。求出即可．試題解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20176。，∴∠AEB=70176。，∴∠BED=110176。，根據(jù)折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55176。．∵AD∥BC，∴∠EFC=125176。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EFC′=∠EFC=125176。．；（2）、同意，如圖，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折疊知，∠AGE=∠DGE=90176。，所以∠AGE=∠AGF=90176。，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF為等腰三角形．（3）、由題意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF，∴MF＝NF，由折疊可知，MF＝PF，∴NF＝PF，而由題意得出：MP＝MN，又∵M(jìn)F＝MF，∴△MNF≌△MPF，∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180176。，即3∠MNF＝180176。，∴∠MNF＝60176。.考點(diǎn)：；；；2．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90176。；（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在∠BMC=90176。，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）存在，理由見解析。（3）不成立．理由如下見解析.【解析】試題分析：（1）由b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45176。，則可求得∠BMC=90176。；（2）由∠BMC=90176。，易證得△ABM∽△DMC，設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；（3）由（2），當(dāng)b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情況，即可求得答案．試題解析：（1）∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90176。，∴∠AMB=∠DMC=45176。，∴∠BMC=90176。．（2）存在，理由：若∠BMC=90176。，則∠AMB+∠DMC=90176。，又∵∠AMB+∠ABM=90176。，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90176。，∴△ABM∽△DMC，∴，設(shè)AM=x，則，整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，∴當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90176。，（3）不成立．理由：若∠BMC=90176。，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，∴當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90176。，即（2）中的結(jié)論不成立．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；根的判別式；矩形的性質(zhì)3．如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，求證：△PDH的周長(zhǎng)是定值；（3）當(dāng)BE+CF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求AP的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．（3）2．【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB，證明△EFM≌△BPA，設(shè)AP=x，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)用x表示出BE和CF，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．試題解析：（1）解：如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。，∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。，BP=BP，在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90176。，BH=BH，在△BCH和△BQH中，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周長(zhǎng)是定值．（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．又∵EF為折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90176。，在△EFM和△BPA中，∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP．設(shè)AP=x在Rt△APE中，（4BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BEEM=2+x，∴BE+CF=x+4=（x2）2+3．當(dāng)x=2時(shí)，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．4．如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折